Сторінка 15

Розв’язання

1. Розглядаємо перший вираз: $\sin 95^{\circ }>0$, $\sin 180^{\circ }=0$, $\cos 105^{\circ }<0$. Оскільки один із множників дорівнює нулю, то весь добуток дорівнює нулю.

2. Розглядаємо другий вираз: $\sin 138^{\circ }>0$ (другий координатний кут), $\cos 54^{\circ }>0$ (перший координатний кут), $\mathrm{tg}124^{\circ }<0$ (другий координатний кут). Добуток додатного числа, додатного числа та від'ємного числа є від'ємним.

Розв’язання

1. Для пункту 1: $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+4\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})-2\cdot (-1)=\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2=-\sqrt{3}+2$.

2. Для пункту 2: $2\cdot (-\frac{1}{2}{)}^2-8\cdot (\frac{1}{2}{)}^2+3\cdot 0\cdot \cos 162^{\circ }=2\cdot \frac{1}{4}-8\cdot \frac{1}{4}+0=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$.

3. Для пункту 3: Оскільки $\cos 180^{\circ }=-1$, а дужки в квадраті будуть додатними (квадрат будь-якого числа), то добуток буде від'ємним. Обчислимо вираз у дужках: $\sin 135^{\circ }\mathrm{tg}60^{\circ }-\cos 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$. Квадрат цього виразу додатний. Отже, $-1\cdot (\text{додатне число})<0$. Точне значення: $-(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}{)}^2=-(\frac{6+2+2\sqrt{12}}{4})=-(\frac{8+4\sqrt{3}}{4})=-(2+\sqrt{3})$.

Розв’язання

1. Для пункту 1: $2\cdot \frac{1}{2}-4\cdot (-\frac{1}{2})=1+2=3$.

2. Для пункту 2: Спочатку спростимо вираз у дужках, винесемо спільний множник $\cos 135^{\circ }$: $(\mathrm{tg}150^{\circ }-\mathrm{tg}120^{\circ })\cos 135^{\circ }$. Підставимо значення: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}-(-\sqrt{3}))\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=(-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3})\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\sqrt{6}}{3}$. Тепер піднесемо до квадрата та помножимо на $\sin 90^{\circ }$: $1\cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}{)}^2=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Розв’язання

1. Знайдемо суміжний кут до $162^{\circ }$: $180^{\circ }-162^{\circ }=18^{\circ }$.

2. Розглянемо перший вираз: $\frac{\sin 18^{\circ }}{\sin (180^{\circ }-18^{\circ })}=\frac{\sin 18^{\circ }}{\sin 18^{\circ }}=1$.

3. Розглянемо другий вираз: $\frac{\cos 18^{\circ }}{\cos (180^{\circ }-18^{\circ })}=\frac{\cos 18^{\circ }}{-\cos 18^{\circ }}=-1$.

4. Розглянемо третій вираз: $\frac{\mathrm{tg}18^{\circ }}{\mathrm{tg}(180^{\circ }-18^{\circ })}=\frac{\mathrm{tg}18^{\circ }}{-\mathrm{tg}18^{\circ }}=-1$.

Розв’язання

1. У першому випадку $28^{\circ }+152^{\circ }=180^{\circ }$. Оскільки $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$, то $\frac{\sin 28^{\circ }}{\sin 152^{\circ }}=\frac{\sin 28^{\circ }}{\sin 28^{\circ }}=1$.

2. У другому випадку $49^{\circ }+131^{\circ }=180^{\circ }$. Оскільки $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, то $\frac{\cos 49^{\circ }}{\cos 131^{\circ }}=\frac{\cos 49^{\circ }}{-\cos 49^{\circ }}=-1$.

3. У третьому випадку $14^{\circ }+166^{\circ }=180^{\circ }$. Оскільки $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$, то $\frac{\mathrm{tg}14^{\circ }}{\mathrm{tg}166^{\circ }}=\frac{\mathrm{tg}14^{\circ }}{-\mathrm{tg}14^{\circ }}=-1$.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $B$: $\cos B=0\Rightarrow B=90^{\circ }$ (оскільки в трикутнику кути менші за $180^{\circ }$).

2. Знайдемо можливі значення для кута $C$: $\sin C=\frac{1}{2}$. Це відповідає двом гострим і тупим кутам: $30^{\circ }$ та $150^{\circ }$.

3. Перевіримо суму кутів. Якщо $C=150^{\circ }$, то $A+B+C=A+90^{\circ }+150^{\circ }>180^{\circ }$, що неможливо. Отже, $C$ має бути гострим: $C=30^{\circ }$.

4. Знайдемо третій кут $A$: $A=180^{\circ }-(B+C)=180^{\circ }-(90^{\circ }+30^{\circ })=60^{\circ }$.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $A$. Оскільки $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $A$ може дорівнювати $45^{\circ }$ або $135^{\circ }$.

2. Знайдемо кут $B$. Оскільки $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, кут $B$ є гострим, отже $B=30^{\circ }$.

3. Перевіримо суму кутів для обох випадків:
   - Якщо $A=45^{\circ }$, то $C=180^{\circ }-(45^{\circ }+30^{\circ })=105^{\circ }$. Це допустимий трикутник.
   - Якщо $A=135^{\circ }$, то сума $A+B=135^{\circ }+30^{\circ }=165^{\circ }$, що менше $180^{\circ }$, отже $C=15^{\circ }$. Це також допустимий трикутник.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $C$. Оскільки $\mathrm{tg}C=1$, то $C=45^{\circ }$.

2. Знайдемо кут $A$. Оскільки $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, можливі варіанти: $A=60^{\circ }$ або $A=120^{\circ }$.

3. Перевіримо суму кутів:
   - Якщо $A=60^{\circ }$, то $B=180^{\circ }-(60^{\circ }+45^{\circ })=75^{\circ }$. Трикутник існує.
   - Якщо $A=120^{\circ }$, то $B=180^{\circ }-(120^{\circ }+45^{\circ })=15^{\circ }$. Трикутник існує.

Розв’язання

1. У прямокутному трикутнику $\angle C=90^{\circ }$, тому $\sin C=\sin 90^{\circ }=1$. Тоді ${\sin }^{2}C=1^2=1$.

2. Для гострих кутів $A$ та $B$ виконується властивість: $\sin A=\cos B$.

3. Підставимо це у вираз: ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A$. Згідно з основною тригонометричною тотожністю, сума дорівнює $1$.

4. Додамо результати: $1(\text{від }A,B)+1(\text{від }C)=2$.

Розв’язання

1. Нехай кути прямокутного трикутника дорівнюють $\alpha$, $\beta$ та $90^{\circ }$.

2. Сума квадратів косинусів кутів дорівнює ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^{2}90^{\circ }$.

3. Оскільки $\cos 90^{\circ }=0$, то ${\cos }^{2}90^{\circ }=0$. Також у прямокутному трикутнику $\sin \alpha =\cos \beta$ (бо $\alpha +\beta =90^{\circ }$).

4. Підставимо: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta ={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$.

5. За основною тригонометричною тотожністю ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.

Розв’язання

1. Оскільки $O$ — центр вписаного кола, то $AO$ і $CO$ є бісектрисами кутів $A$ та $C$ відповідно.

2. Нехай $\angle BAC=\alpha$ і $\angle BCA=\gamma$. Тоді $\angle OAC=\frac{\alpha }{2}$ і $\angle OCA=\frac{\gamma }{2}$.

3. Сума кутів трикутника $ABC$: $\alpha +\gamma +60^{\circ }=180^{\circ }$, звідки $\alpha +\gamma =120^{\circ }$.

4. У трикутнику $AOC$ сума кутів: $\angle AOC+\frac{\alpha }{2}+\frac{\gamma }{2}=180^{\circ }$.

5. Підставимо $\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$: $\angle AOC+60^{\circ }=180^{\circ }$, отже, $\angle AOC=120^{\circ }$.

6. Знайдемо косинус: $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $BOC$: $\cos \angle BOC=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Це значення відповідає куту $150^{\circ }$ (оскільки косинус тупого кута від'ємний).

2. Використаємо властивість центра вписаного кола: $\angle BOC=90^{\circ }+\frac{\angle A}{2}$.

3. Підставимо значення: $150^{\circ }=90^{\circ }+\frac{\angle A}{2}$.

4. Віднімемо $90^{\circ }$ від обох частин: $\frac{\angle A}{2}=60^{\circ }$.

5. Помножимо на 2: $\angle A=120^{\circ }$.