ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 14

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 1.25–1.28 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 1.25

Знаходження тригонометричних функцій

Знайти: 1) $cos α$ , якщо $sin α = \frac{5}{13}$ ; 2) $sin α$ , якщо $cos α = \frac{1}{6}$ ; 3) $t g α$ , якщо $cos α = \frac{5}{13}$ і $0^{\circ} ⩽ α ⩽ 9 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Пункт 1: Знайдемо $cos α$ за формулою $cos^{2} α = 1 - sin^{2} α$ . Підставимо значення: $cos^{2} α = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ . Отже, $cos α = \pm \frac{144}{169} = \pm \frac{12}{13}$ . Оскільки в умові не вказано діапазон кута, обидва знаки можливі.
Пункт 2: Знайдемо $sin α$ за формулою $sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$ . Підставимо значення: $sin^{2} α = 1 - (\frac{1}{6})^{2} = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ . Отже, $sin α = \pm \frac{35}{36} = \pm \frac{35}{6}$ .
Пункт 3: Спочатку знайдемо $sin α$ як у пункті 1: $sin^{2} α = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = \frac{144}{169}$ , звідки $sin α = \frac{12}{13}$ (знак «плюс», оскільки кут гострий). Тепер знайдемо тангенс: $t g α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$ .

Відповідь:

1) $\pm \frac{12}{13}$ ; 2) $\pm \frac{35}{6}$ ; 3) $\frac{12}{5}$ .

Завдання 1.26

Аналіз тверджень про тригонометричні функції

Оцінити правильність тверджень: 1) косинус гострого кута більший за косинус тупого; 2) існує тупий кут з рівним синусом і косинусом; 3) існує кут з нульовими синусом і косинусом; 4) синус кута (відмінний від прямого) менший за синус прямого; 5) косинус розгорнутого кута менший за косинус будь-якого іншого кута; 6) синуси суміжних кутів рівні; 7) косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами; 8) якщо косинуси двох кутів рівні, то кути рівні; 9) якщо синуси двох кутів рівні, то кути рівні; 10) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого.

Розв’язання

Твердження 1: Правильне. Косинус гострого кута ( $> 0$ ) завжди більший за косинус тупого ( $< 0$ ).
Твердження 2: Неправильне. Для тупого кута синус додатний, а косинус від'ємний, тому вони не можуть бути рівними.
Твердження 3: Неправильне. Синус дорівнює нулю тільки при $0^{\circ}$ і $18 0^{\circ}$ , де косинус дорівнює $\pm 1$ . Косинус дорівнює нулю тільки при $9 0^{\circ}$ , де синус дорівнює $1$ .
Твердження 4: Правильне. Синус прямого кута ( $1$ ) — це максимум функції в діапазоні від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .
Твердження 5: Неправильне. Косинус розгорнутого кута ( $- 1$ ) менший за косинус гострого, але більший за косинус тупого кута (наприклад, $cos 17 0^{\circ} \approx - 0, 98 > - 1$ ).
Твердження 6: Правильне. Суміжні кути доповнюють один одного до $18 0^{\circ}$ , тому їх синуси рівні ( $sin α = sin (18 0^{\circ} - α)$ ).
Твердження 7: Правильне. Оскільки $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , косинуси суміжних кутів є протилежними числами.
Твердження 8: Правильне (в межах $0^{\circ} \dots 18 0^{\circ}$ ). Якщо $cos α = cos β$ , то $α = β$ .
Твердження 9: Неправильне. Наприклад, $sin 3 0^{\circ} = sin 15 0^{\circ} = 0, 5$ , але кути різні.
Твердження 10: Правильне. Тангенс гострого кута додатний і зростає до нескінченності, тангенс тупого кута від'ємний.

Відповідь:

1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так; 5) ні; 6) так; 7) так; 8) так; 9) ні; 10) так.

Завдання 1.27

Можливість від'ємних косинусів у трикутнику

Чи можуть косинуси двох кутів трикутника дорівнювати від'ємним числам? Обґрунтуйте.

Розв’язання

Припустимо, що два кути $α$ та $β$ мають від'ємні косинуси. Це означає, що обидва вони є тупими ( $α > 9 0^{\circ}$ і $β > 9 0^{\circ}$ ).
Сума цих двох кутів буде $α + β > 18 0^{\circ}$ .
Третій кут $γ = 18 0^{\circ} - (α + β)$ мав би бути від'ємним, що неможливо для трикутника.

Відповідь:

Ні, косинуси двох кутів трикутника не можуть одночасно бути від'ємними, оскільки це вимагало б наявності двох тупих кутів, а сума кутів у трикутнику дорівнює $18 0^{\circ}$ .

Завдання 1.28

Порівняння з нулем тригонометричних виразів

1) $sin 11 0^{\circ} cos 14 0^{\circ}$ ;
2) $sin 8 0^{\circ} cos 10 0^{\circ} cos 14 8^{\circ}$ ;
3) $sin 12 8^{\circ} cos^{2} 13 0^{\circ} t g 9 2^{\circ}$ ;
4) $sin 7 0^{\circ} cos 9 0^{\circ} t g 10 4^{\circ}$ .

Розв’язання

Розглядаємо пункт 1: $sin 11 0^{\circ}$ — кут тупий, синус додатний ( $+$ ); $cos 14 0^{\circ}$ — кут тупий, косинус від'ємний ( $-$ ). Добуток додатного і від'ємного є від'ємним. Отже, $sin 11 0^{\circ} cos 14 0^{\circ} < 0$ .
Розглядаємо пункт 2: $sin 8 0^{\circ}$ — кут гострий, синус додатний ( $+$ ); $cos 10 0^{\circ}$ — кут тупий, косинус від'ємний ( $-$ ); $cos 14 8^{\circ}$ — кут тупий, косинус від'ємний ( $-$ ). Добуток трьох множників: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$ . Отже, $sin 8 0^{\circ} cos 10 0^{\circ} cos 14 8^{\circ} > 0$ .
Розглядаємо пункт 3: $sin 12 8^{\circ}$ — кут тупий, синус додатний ( $+$ ); $cos^{2} 13 0^{\circ}$ — квадрат будь-якого числа (крім нуля) додатний, а косинус відмінний від нуля, отже квадрат додатний ( $+$ ); $t g 9 2^{\circ}$ — кут тупий, тангенс від'ємний ( $-$ ). Добуток: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$ . Отже, $sin 12 8^{\circ} cos^{2} 13 0^{\circ} t g 9 2^{\circ} < 0$ .
Розглядаємо пункт 4: $sin 7 0^{\circ}$ — кут гострий, синус додатний ( $+$ ); $cos 9 0^{\circ} = 0$ ; $t g 10 4^{\circ}$ — кут тупий, тангенс від'ємний ( $-$ ). Добуток будь-яких чисел на нуль дорівнює нулю. Отже, $sin 7 0^{\circ} cos 9 0^{\circ} t g 10 4^{\circ} = 0$ .

Відповідь:

1) $< 0$ ;
2) $> 0$ ;
3) $< 0$ ;
4) $= 0$ .