ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 13

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 1.15–1.24 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 1.15

Суміжні кути та тригонометрія

Кути $α$ і $β$ суміжні, $cos α = - \frac{1}{6}$ .
1) Знайдіть $cos β$ .
2) Який із кутів $α$ і $β$ є гострим, а який — тупим?

Розв’язання

Оскільки кути $α$ і $β$ суміжні, то $β = 18 0^{\circ} - α$ . Звідси $cos β = cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ . Підставимо значення: $cos β = - (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$ .
Знак косинуса вказує на тип кута (для кутів від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ ): якщо $cos > 0$ , кут гострий; якщо $cos < 0$ , кут тупий. Оскільки $cos α = - \frac{1}{6} < 0$ , то $α$ — тупий кут. Оскільки $cos β = \frac{1}{6} > 0$ , то $β$ — гострий кут.

Відповідь:

1) $cos β = \frac{1}{6}$ ; 2) $α$ — тупий, $β$ — гострий.

Завдання 1.16

Значення тригонометричних функцій стандартних кутів

Знайдіть значення виразів:
1) $2 sin 9 0^{\circ} + 3 cos 0^{\circ}$ ;
2) $3 sin 0^{\circ} - 5 cos 18 0^{\circ}$ ;
3) $tg 2 3^{\circ} \cdot tg 0^{\circ} \cdot tg 10 6^{\circ}$ ;
4) $cos^{2} 16 5^{\circ} + sin^{2} 16 5^{\circ}$ .

Розв’язання

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$ .
$3 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1) = 0 + 5 = 5$ .
Оскільки $tg 0^{\circ} = 0$ , то весь добуток дорівнює нулю: $x \cdot 0 \cdot y = 0$ .
За основною тригонометричною тотожністю сума квадратів синуса і косинуса будь-якого кута дорівнює одиниці: $cos^{2} 16 5^{\circ} + sin^{2} 16 5^{\circ} = 1$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $5$ ; 3) $0$ ; 4) $1$ .

Завдання 1.17

Обчислення тригонометричних виразів та розшифрування слова

Обчисліть значення виразів:
1) $6 tg 18 0^{\circ} + 5 sin 18 0^{\circ}$ ;
2) $4 cos 9 0^{\circ} + 2 cos 18 0^{\circ}$ ;
3) $cos 0^{\circ} - cos 18 0^{\circ} + sin 9 0^{\circ}$ ;
4) $- cos^{2} 12 6^{\circ} - sin^{2} 12 6^{\circ}$ ;
5) $\frac{sin 0 ^{\circ} + sin 9 0 ^{\circ}}{cos 0 ^{\circ} - cos 9 0 ^{\circ}}$ .
Використовуючи знайдені значення виразів, розшифруйте назву українського музичного інструмента. Номер завдання відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові.

Розв’язання

$6 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0$ . У таблиці за числом $0$ стоїть буква «К».
$4 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) = - 2$ . У таблиці за числом $- 2$ стоїть буква «О».
$1 - (- 1) + 1 = 3$ . У таблиці за числом $3$ стоїть буква «Б».
$- (cos^{2} 12 6^{\circ} + sin^{2} 12 6^{\circ}) = - 1$ . У таблиці за числом $- 1$ стоїть буква «З».
$\frac{0 + 1}{1 - 0} = 1$ . У таблиці за числом $1$ стоїть буква «А».
Отримуємо послідовність букв: К, О, Б, З, А. Прочитавши слово задом наперед (оскільки номери йдуть від 1 до 5), або просто збираючи слова за порядком виконання, ми отримуємо «КОЗА».

Відповідь:

Відповідно до таблиці: 1) К, 2) О, 3) Б, 4) З, 5) А. Слово: КОЗА.

Завдання 1.18

Синус кута за косинуса

Знайти значення синуса кута, якщо його косинус дорівнює: 1) $1$ ; 2) $0$ .

Розв’язання

Для випадку 1): якщо $cos α = 1$ , то кут $α = 0^{\circ}$ . Синус нуля дорівнює $0$ ( $sin 0^{\circ} = 0$ ).
Для випадку 2): якщо $cos α = 0$ , то кут $α = 9 0^{\circ}$ . Синус прямого кута дорівнює $1$ ( $sin 9 0^{\circ} = 1$ ).

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $1$ .

Завдання 1.19

Косинус кута за синусом

Знайти значення косинуса кута, якщо його синус дорівнює: 1) $1$ ; 2) $0$ .

Розв’язання

Для випадку 1): якщо $sin α = 1$ , то кут $α = 9 0^{\circ}$ . Косинус прямого кута дорівнює $0$ ( $cos 9 0^{\circ} = 0$ ).
Для випадку 2): якщо $sin α = 0$ , то кут $α = 0^{\circ}$ (оскільки розглядаємо діапазон від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ ). Косинус нуля дорівнює $1$ ( $cos 0^{\circ} = 1$ ).

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $1$ .

Завдання 1.20

Тригонометричні функції кута 135°

Знайти $sin 13 5^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $t g 13 5^{\circ}$ .

Розв’язання

Знаходимо синус: $sin 13 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .
Знаходимо косинус: $cos 13 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .
Знаходимо тангенс: $t g 13 5^{\circ} = t g (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = - t g 4 5^{\circ} = - 1$ .

Відповідь:

$sin 13 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , $t g 13 5^{\circ} = - 1$ .

Завдання 1.21

Тригонометричні функції кута 150°

Знайти значення $sin 15 0^{\circ}$ , $cos 15 0^{\circ}$ та $tg 15 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Знайдемо суміжний гострий кут: $18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .
Обчислимо синус: $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ .
Обчислимо косинус: $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .
Обчислимо тангенс: $tg 15 0^{\circ} = - tg 3 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ (або $- \frac{1}{3}$ ).

Відповідь:

$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ , $tg 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ .

Завдання 1.22

Кути рівнобічної трапеції

У рівнобічній трапеції $A B C D$ ( $B C ∥ A D$ ) відомо, що $cos C = - \frac{3}{2}$ . Потрібно знайти всі кути трапеції.

Розв’язання

Знайдемо кут $C$ : оскільки $cos C = - \frac{3}{2}$ , то $C = 15 0^{\circ}$ (кут у II чверті).
Оскільки трапеція рівнобічна, кут $D$ також дорівнює $15 0^{\circ}$ .
Кути при основі $A D$ ( $A$ і $B$ ) є суміжними з тупими кутами, тому вони гострі: $∠ A = ∠ B = 18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути трапеції: $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 3 0^{\circ}$ , $C = 15 0^{\circ}$ , $D = 15 0^{\circ}$ .

Завдання 1.23

Кути паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ відомо, що $tg B = - 1$ . Потрібно знайти всі кути фігури.

Розв’язання

Знайдемо гострий кут, тангенс якого дорівнює $1$ : це $4 5^{\circ}$ .
Оскільки $tg B = - 1$ , кут $B$ є тупим і дорівнює $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .
Суміжні кути $A$ і $C$ дорівнюють $18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути паралелограма: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 13 5^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ , $∠ D = 13 5^{\circ}$ .

Завдання 1.24

Знаходження тригонометричних функцій за умовою

Знайти значення $cos α$ та $sin α$ , якщо відомі відповідні функції та діапазон кута $α$ :
1) $sin α = \frac{3}{5}$ , $0^{\circ} ⩽ α ⩽ 9 0^{\circ}$ .
2) $sin α = \frac{1}{3}$ , $9 0^{\circ} ⩽ α ⩽ 18 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для пункту 1: обчислимо $cos α = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ . Оскільки кут гострий, знак «+».
Для пункту 2: обчислимо $cos α = - 1 - (\frac{1}{3})^{2} = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{8}{9} = - \frac{2 2}{3}$ . Знак «мінус», бо кут тупий.

Відповідь:

1) $cos α = \frac{4}{5}$ ; 2) $cos α = - \frac{2 2}{3}$ .