ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 12

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 1.7–1.14 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 1.7

Існування трикутників за значеннями тригонометричних функцій

1) Синуси двох кутів дорівнюють 1;
2) Синус одного кута дорівнює 1;
3) Косинус кута дорівнює 1 або –1;
4) Косинус кута від'ємний.

Розв’язання

Розглянемо пункт 1): $sin α = 1$ означає $α = 9 0^{\circ}$ . Якщо синуси двох кутів дорівнюють 1, то обидва кути прямі ( $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ), що неможливо в трикутнику.
Розглянемо пункт 2): $sin α = 1$ означає $α = 9 0^{\circ}$ . Трикутник з одним прямим кутом існує (прямокутний).
Розглянемо пункт 3): $cos α = 1$ означає $α = 0^{\circ}$ , а $cos α = - 1$ означає $α = 18 0^{\circ}$ . Кути $0^{\circ}$ і $18 0^{\circ}$ не можуть бути кутами трикутника.
Розглянемо пункт 4): Косинус від'ємний для тупого кута ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ ). Трикутник з одним тупим кутом існує (тупокутний).

Відповідь:

1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 1.8

Заповнення таблиці типів кутів за значеннями тригонометричних функцій

Дано значення тригонометричних функцій для кутів $A, B, C, D, E, F$ :
$sin A = 0, 9$ ; $cos B = \frac{2}{9}$ ; $t g C = - 0, 48$ ; $t g D = 10$ ; $sin E = \frac{3}{4}$ ; $cos F = - 0, 36$ .
Потрібно визначити вид кута (гострий, тупий) або встановити неможливість для кожного.

Розв’язання

Кут $A$ : $sin A = 0, 9 > 0$ . Це може бути як гострий, так і тупий кут (синус додатний у обох випадках). Встановити неможливо.
Кут $B$ : $cos B = \frac{2}{9} > 0$ . Косинус додатний, отже, кут гострий.
Кут $C$ : $t g C = - 0, 48 < 0$ . Тангенс від'ємний, отже, кут тупий.
Кут $D$ : $t g D = 10 > 0$ . Тангенс додатний, отже, кут гострий.
Кут $E$ : $sin E = \frac{3}{4} > 0$ . Синус додатний, це може бути як гострий, так і тупий кут. Встановити неможливо.
Кут $F$ : $cos F = - 0, 36 < 0$ . Косинус від'ємний, отже, кут тупий.

Відповідь:

$A$ : Встановити неможливо; $B$ : Гострий; $C$ : Тупий; $D$ : Гострий; $E$ : Встановити неможливо; $F$ : Тупий.

Завдання 1.9

Перевірка правильності тригонометричних рівностей

Визначити, чи є правильною наступна рівність:
1) $sin 17 0^{\circ} = sin 1 0^{\circ}$ ;
2) $sin 4 0^{\circ} = - sin 14 0^{\circ}$ ;
3) $cos 10 5^{\circ} = cos 7 5^{\circ}$ ;
4) $cos 13 0^{\circ} = - cos 5 0^{\circ}$ ;
5) $t g 5^{\circ} = t g 17 5^{\circ}$ ;
6) $t g 17 8^{\circ} = - t g 2^{\circ}$ .

Розв’язання

$sin 17 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = sin 1 0^{\circ}$ . Рівність правильна.
$- sin 14 0^{\circ} = - sin (18 0^{\circ} - 4 0^{\circ}) = - (sin 4 0^{\circ}) = - sin 4 0^{\circ}$ . Отже, $sin 4 0^{\circ} \neq = - sin 14 0^{\circ}$ . Рівність неправильна.
$cos 10 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 7 5^{\circ}) = - cos 7 5^{\circ}$ . Отже, $cos 10 5^{\circ} \neq = cos 7 5^{\circ}$ . Рівність неправильна.
$cos 13 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 5 0^{\circ}) = - cos 5 0^{\circ}$ . Рівність правильна.
$t g 17 5^{\circ} = t g (18 0^{\circ} - 5^{\circ}) = - t g 5^{\circ}$ . Отже, $t g 5^{\circ} \neq = t g 17 5^{\circ}$ . Рівність неправильна.
$- t g 2^{\circ} = - t g (18 0^{\circ} - 17 8^{\circ}) = - (- t g 17 8^{\circ}) = t g 17 8^{\circ}$ . Рівність правильна.

Відповідь:

1) Так; 2) Ні; 3) Ні; 4) Так; 5) Ні; 6) Так.

Завдання 1.10

Перетворення синуса тупого кута

Використати формулу $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , щоб виразити синус кутів: 1) $14 5^{\circ}$ ; 2) $9 2^{\circ}$ ; 3) $17 1^{\circ}$ .

Розв’язання

Для кута $14 5^{\circ}$ : $sin 14 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 14 5^{\circ}) = sin 3 5^{\circ}$ .
Для кута $9 2^{\circ}$ : $sin 9 2^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 9 2^{\circ}) = sin 8 8^{\circ}$ .
Для кута $17 1^{\circ}$ : $sin 17 1^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 17 1^{\circ}) = sin 9^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $sin 3 5^{\circ}$ ; 2) $sin 8 8^{\circ}$ ; 3) $sin 9^{\circ}$ .

Завдання 1.11

Перетворення синуса тупого кута (продовження)

Виразити через синус гострого кута синус кутів: 1) $11 2^{\circ}$ ; 2) $12 5^{\circ}$ ; 3) $15 9^{\circ}$ .

Розв’язання

Для кута $11 2^{\circ}$ : $sin 11 2^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 11 2^{\circ}) = sin 6 8^{\circ}$ .
Для кута $12 5^{\circ}$ : $sin 12 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 12 5^{\circ}) = sin 5 5^{\circ}$ .
Для кута $15 9^{\circ}$ : $sin 15 9^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 15 9^{\circ}) = sin 2 1^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $sin 6 8^{\circ}$ ; 2) $sin 5 5^{\circ}$ ; 3) $sin 2 1^{\circ}$ .

Завдання 1.12

Перетворення косинуса тупого кута

Виразити через косинус гострого кута косинус кутів: 1) $10 0^{\circ}$ ; 2) $13 6^{\circ}$ ; 3) $16 3^{\circ}$ .

Розв’язання

Для кута $10 0^{\circ}$ : $cos 10 0^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 10 0^{\circ}) = - cos 8 0^{\circ}$ .
Для кута $13 6^{\circ}$ : $cos 13 6^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 13 6^{\circ}) = - cos 4 4^{\circ}$ .
Для кута $16 3^{\circ}$ : $cos 16 3^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 16 3^{\circ}) = - cos 1 7^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $- cos 8 0^{\circ}$ ; 2) $- cos 4 4^{\circ}$ ; 3) $- cos 1 7^{\circ}$ .

Завдання 1.13

Косинус тупого кута через косинус гострого

Виразити через косинус гострого кута косинус кута для: 1) $16 0^{\circ}$ ; 2) $10 4^{\circ}$ ; 3) $14 1^{\circ}$ .

Розв’язання

Для $16 0^{\circ}$ : $cos 16 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = - cos 2 0^{\circ}$ .
Для $10 4^{\circ}$ : $cos 10 4^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 7 6^{\circ}) = - cos 7 6^{\circ}$ .
Для $14 1^{\circ}$ : $cos 14 1^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 3 9^{\circ}) = - cos 3 9^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $- cos 2 0^{\circ}$ ; 2) $- cos 7 6^{\circ}$ ; 3) $- cos 3 9^{\circ}$ .

Завдання 1.14

Значення тригонометричних функцій тупого кута

Знайти значення виразів: 1) $sin (18 0^{\circ} - α)$ , якщо $sin α = \frac{1}{3}$ ; 2) $cos (18 0^{\circ} - α)$ , якщо $cos α = 0, 7$ ; 3) $cos (18 0^{\circ} - α)$ , якщо $cos α = - \frac{4}{9}$ ; 4) $tg (18 0^{\circ} - α)$ , якщо $tg α = - 5$ .

Розв’язання

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α = \frac{1}{3}$ .
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α = - 0, 7$ .
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α = - (- \frac{4}{9}) = \frac{4}{9}$ .
$tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α = - (- 5) = 5$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{3}$ ; 2) $- 0, 7$ ; 3) $\frac{4}{9}$ ; 4) $5$ .