ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 11

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 1.2–1.6 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 1.2

Побудова кутів за тригонометричними функціями

Накреслити одиничне півколо (радіус $R = 6$ клітинок). Побудувати кути $α$ , що мають вершину в початку координат і одну сторону на додатній піввісі абсцис, такі що:
1) $sin α = \frac{1}{3}$ ;
2) $cos α = \frac{1}{6}$ ;
3) $cos α = - \frac{2}{3}$ .

Розв’язання

Визначаємо координати точок на колі радіуса 6 клітинок:
- Для пункту 1: $sin α = \frac{1}{3}$ . Оскільки $R = 6$ , ордината $y = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ клітинки. Абсциса $x = 6^{2} - 2^{2} = 32 \approx 5, 7$ (будуємо як гіпотенузу).
- Для пункту 2: $cos α = \frac{1}{6}$ . Абсциса $x = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$ клітинка. Ордината $y = 36 - 1 = 35 \approx 5, 9$ (будуємо як гіпотенузу).
- Для пункту 3: $cos α = - \frac{2}{3}$ . Абсциса $x = 6 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 4$ клітинки. Ордината $y = 36 - 16 = 20 \approx 4, 5$ (будуємо як гіпотенузу).
Проводимо координатні осі та півколо радіусом у 6 клітинок.
Відкладаємо знайдені координати на колі і проводимо кути.

Відповідь:

Кути побудовані за координатами $(\approx 5, 7; 2)$ , $(1; \approx 5, 9)$ та $(- 4; \approx 4, 5)$ .

Завдання 1.3

Знаходження точок на півколі за сумою функцій

Накреслити одиничне півколо і знайти точки, для яких $sin α + cos α = 0$ . Визначити кількість таких точок.

Розв’язання

Перетворимо умову: $sin α = - cos α$ . Це означає, що точка лежить на прямій $y = - x$ .
Знайдемо перетин прямої $y = - x$ з одиничним півколом ( $x^{2} + y^{2} = 1, x \geq 0$ ).
Оскільки $sin α > 0$ і $cos α < 0$ , кут має бути тупим (друга координатна четверть). Єдиний розв'язок у межах $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ — це $α = 13 5^{\circ}$ .

Відповідь:

Існує одна така точка, що відповідає куту $13 5^{\circ}$ .

Завдання 1.4

Перевірка можливих значень синуса

Чи може синус кута $α$ , де $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ , дорівнювати числам:
1) $\frac{1}{2}$ ;
2) $0, 3$ ;
3) $- 0, 4$ ;
4) $1, 001$ .

Розв’язання

$\frac{1}{2} = 0, 5$ . Число від'ємне? Ні. Більше за 1? Ні. Можливо.
$0, 3$ . Число від'ємне? Ні. Більше за 1? Ні. Можливо.
$- 0, 4$ . Число від'ємне? Так. Синус не може бути від'ємним у цьому діапазоні кутів. Неможливо.
$1, 001$ . Число більше за 1. Синус не перевищує 1. Неможливо.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні; 4) Ні.

Завдання 1.5

Межі значень косинуса тупого кута

Дати відповідь на питання, чи може косинус тупого кута дорівнювати числам: 1) $0, 7$ ; 2) $- \frac{5}{6}$ ; 3) $- 1, 1$ ; 4) $- 0, 99$ . Обговорити відповіді.

Розв’язання

Перевіримо кожне число на відповідність умовам: воно має бути від'ємним (оскільки кут тупий) і не перевищувати за модулем 1.
Число $0, 7$ — додатне, тому не може бути косинусом тупого кута.
Число $- \frac{5}{6}$ — від'ємне і менше за модулем 1, тому такий кут існує.
Число $- 1, 1$ — має модуль більший за 1, значення косинуса не може перевищувати 1 або бути меншим -1, тому такого кута немає.
Число $- 0, 99$ — від'ємне і менше за модулем 1, тому такий кут існує.

Відповідь:

1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 1.6

Визначення типу кута за тригонометричною функцією

Визначити, гострим чи тупим є кут $α$ у випадках: 1) $cos α = 0, 24$ ; 2) $cos α = - \frac{4}{7}$ ; 3) $sin α = \frac{6}{11}$ ; 4) $t g α = - 5$ ; 5) $t g α = 7$ ; 6) $sin α = 0, 1$ .

Розв’язання

$cos α = 0, 24 > 0$ . Косинус додатний, отже кут гострий.
$cos α = - \frac{4}{7} < 0$ . Косинус від'ємний, отже кут тупий.
$sin α = \frac{6}{11} > 0$ . Синус додатний для всіх кутів від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , але це не дозволяє однозначно визначити тип кута без додатних даних. Однак у контексті таких задач часто шукають конкретний випадок, але тут лише знак синуса не вказує на гострий чи тупий (синус і того й іншого додатний). Якщо ж розглядати лише знаки: синус додатний для обох типів кутів.
$t g α = - 5 < 0$ . Тангенс від'ємний, отже кут тупий.
$t g α = 7 > 0$ . Тангенс додатний, отже кут гострий.
$sin α = 0, 1 > 0$ . Як і у пункті 3, синус додатний для обох типів кутів, тому лише за цим не можна визначити тип кута.

Відповідь:

1) Гострий; 2) Тупий; 3) Не можна визначити (синус додатний для обох); 4) Тупий; 5) Гострий; 6) Не можна визначити (синус додатний для обох).