ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 145

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 12.15–12.23 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 12.15

Модулі векторів на координатній сітці

Знайти довжини векторів $a$ та $b$ (рис. 12.19), якщо сторона клітинки = $1 см$ . Вектор $a$ зміщується на $3$ клітини вправо і $2$ вниз. Вектор $b$ зміщується на $4$ клітини вправо і $1$ вниз.

Розв’язання

Для вектора $a$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $3$ , по осі $y$ — $2$ . Модуль $∣ a ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13 см$ .
Для вектора $b$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $4$ , по осі $y$ — $1$ . Модуль $∣ b ∣ = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17 см$ .

Відповідь:

$∣ a ∣ = 13 см$ , $∣ b ∣ = 17 см$ .

Завдання 12.16

Модулі векторів на координатній сітці

Знайти довжини векторів $m$ , $n$ та $p$ (рис. 12.20), якщо сторона клітинки = $1 см$ . Вектор $m$ зміщується на $4$ клітини вправо. Вектор $n$ зміщується на $3$ клітини вниз і $3$ ліворуч. Вектор $p$ зміщується на $2$ клітини вгору і $1$ вліво.

Розв’язання

Для вектора $m$ : зміщення тільки по осі $x$ дорівнює $4$ , по $y$ — $0$ . Модуль $∣ m ∣ = 4^{2} + 0^{2} = 4 см$ .
Для вектора $n$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $- 3$ , по $y$ — $- 3$ . Модуль $∣ n ∣ = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18 = 32 см$ .
Для вектора $p$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $- 1$ , по $y$ — $2$ . Модуль $∣ p ∣ = (- 1)^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5 см$ .

Відповідь:

$∣ m ∣ = 4 см$ , $∣ n ∣ = 32 см$ , $∣ p ∣ = 5 см$ .

Завдання 12.17

Модулі векторів у прямокутнику

У прямокутнику $A B C D$ сторона $A B = 6 см$ , $B C = 8 см$ . Точка $O$ — перетин діагоналей. Знайти модулі векторів $C A$ , $B O$ та $O C$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину діагоналі $A C$ : $A C = A B^{2} + B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 см$ . Оскільки $C A$ — це вектор на цьому відрізку, $∣ C A ∣ = 10 см$ .
Точка $O$ ділить діагоналі навпіл, тому $A O = O C = B O = \frac{1}{2} A C = 5 см$ . Модуль вектора $B O$ дорівнює довжині відрізка $B O$ , тобто $∣ B O ∣ = 5 см$ .
Модуль вектора $O C$ дорівнює довжині відрізка $O C$ , тобто $∣ O C ∣ = 5 см$ .

Відповідь:

$∣ C A ∣ = 10 см$ , $∣ B O ∣ = 5 см$ , $∣ O C ∣ = 5 см$ .

Завдання 12.18

Знаходження довжин векторів у прямокутнику

У прямокутнику $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $∣ \overline{A B} ∣ = 5 см$ , $∣ \overline{A O} ∣ = 6, 5 см$ . Потрібно знайти модулі векторів $\overline{B D}$ і $\overline{A D}$ .

Розв’язання

Оскільки діагоналі прямокутника рівні і діляться навпіл, то $∣ \overline{B D} ∣ = 2 \cdot ∣ \overline{A O} ∣ = 2 \cdot 6, 5 см = 13 см$ .
Розглянемо прямокутний трикутник $A B D$ , де $∠ B D A = 9 0^{\circ}$ (оскільки це кут при вершині прямокутника). Згідно з теоремою Піфагора: $∣ \overline{B D} ∣^{2} = ∣ \overline{A B} ∣^{2} + ∣ \overline{A D} ∣^{2}$ .
Підставимо відомі значення: $1 3^{2} = 5^{2} + ∣ \overline{A D} ∣^{2} \Rightarrow 169 = 25 + ∣ \overline{A D} ∣^{2} \Rightarrow ∣ \overline{A D} ∣^{2} = 144$ . Отже, $∣ \overline{A D} ∣ = 144 = 12 см$ .

Відповідь:

$∣ \overline{B D} ∣ = 13 см$ ; $∣ \overline{A D} ∣ = 12 см$ .

Завдання 12.19

Визначення виду чотирикутника за векторами

Чотирикутник $A B C D$ має властивість, що $\overline{A B} ∥ \overline{D C}$ і $\overline{B C} ∥ \overline{D A}$ . Потрібно визначити вид цього чотирикутника.

Розв’язання

За умовою $\overline{A B} ∥ \overline{D C}$ (одна пара протилежних сторін паралельна).
Також за умовою $\overline{B C} ∥ \overline{D A}$ (друга пара протилежних сторін паралельна).
За означенням, чотирикутник, у якого дві пари протилежних сторін паралельні, є паралелограмом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм.

Завдання 12.20

Визначення виду чотирикутника за колінеарністю сторін

У чотирикутнику $A B C D$ вектори $\overline{B C}$ і $\overline{A D}$ колінеарні, а їх довжини різні ( $∣ \overline{B C} ∣ \neq = ∣ \overline{A D} ∣$ ). Потрібно визначити вид чотирикутника.

Розв’язання

Оскільки вектори $\overline{B C}$ і $\overline{A D}$ колінеарні, то прямі $B C$ і $A D$ паралельні ( $\overline{B C} ∥ \overline{A D}$ ).
За умовою довжини цих сторін різні ( $∣ \overline{B C} ∣ \neq = ∣ \overline{A D} ∣$ ), отже, це не паралелограм (де протилежні сторони рівні).
Чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, а інша — ні (або довжини нерівні), називається трапецією.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ — трапеція.

Завдання 12.21

Властивість вектора при зміні напрямку

Дано вектор $\overline{A B}$ . Відомо, що $\overline{A B} = \overline{B A}$ . Обговорити це твердження.

Розв’язання

Запишемо умову рівності: $\overline{A B} = \overline{B A}$ .
Аналізуємо напрямок: вектор $\overline{A B}$ спрямований від $A$ до $B$ , а вектор $\overline{B A}$ — від $B$ до $A$ . Це протилежні напрямки.
Порівнюємо модулі: довжина відрізка $A B$ дорівнює довжині відрізка $B A$ , тобто $∣ \overline{A B} ∣ = ∣ \overline{B A} ∣$ .
Висновком є те, що рівність $\overline{A B} = \overline{B A}$ неможлива для різних точок $A$ і $B$ , оскільки напрямки протилежні. Рівність можлива лише якщо $A$ збігається з $B$ .

Відповідь:

Твердження $\overline{A B} = \overline{B A}$ є хибним, якщо точки $A$ і $B$ різні, оскільки вектори мають протилежні напрямки. Це питання для обговорення в класі щодо визначення рівності векторів.

Завдання 12.22

Визначення виду чотирикутника за векторами

Дано чотирикутник $A B C D$ . Відомо, що $\overline{A B} = \overline{D C}$ і $∣ \overline{A B} ∣ = ∣ \overline{B C} ∣$ . Потрібно визначити вид чотирикутника.

Розв’язання

За умовою $\overline{A B} = \overline{D C}$ маємо, що вектори $\overline{A B}$ і $\overline{D C}$ співнапрямлені і мають однакову довжину. Це означає, що сторони $A B$ і $C D$ паралельні ( $A B ∥ C D$ ) і рівні ( $A B = C D$ ).
Чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін рівна і паралельна, є паралелограмом.
Друга умова: $∣ \overline{A B} ∣ = ∣ \overline{B C} ∣$ , тобто сусідні сторони $A B$ і $B C$ рівні ( $A B = B C$ ).
Паралелограм з рівними сусідніми сторонами називається ромбом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є ромбом.

Завдання 12.23

Визначення виду чотирикутника за діагоналями та сторонами

Дано чотирикутник $A B C D$ . Відомо, що вектори $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ колінеарні (сторони паралельні) і $∣ \overline{A C} ∣ = ∣ \overline{B D} ∣$ (діагоналі рівні). Потрібно визначити вид чотирикутника.

Розв’язання

Умова колінеарності векторів $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ означає, що прямі $A B$ і $C D$ паралельні ( $A B ∥ C D$ ).
Якщо при цьому $A B = C D$ , то чотирикутник є паралелограмом. Якщо ж $A B \neq = C D$ , то це трапеція. Узагальнено — це трапеція (оскільки одна пара сторін паралельна).
Додаткова умова: діагоналі рівні ( $A C = B D$ ).
Трапеція з рівними діагоналями називається ізометричною трапецією. Якщо ж $A B = C D$ , то це прямокутник (оскільки паралелограм з рівними діагоналями завжди є прямокутником).

Відповідь:

Якщо $A B \neq = C D$ , чотирикутник — ізометрична трапеція. Якщо $A B = C D$ , чотирикутник — прямокутник. Без додаткової інформації про довжину сторін точний вид визначити неможливо, але загальна класифікація — це трапеція з рівними діагоналями або прямокутник.