ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 146

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 12.24–12.31 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 12.24

Властивість паралелограма

Довести, що у чотирикутнику $A B C D$ , якщо це паралелограм, виконується рівність $A B = D C$ . Також розглянути обернене твердження: чи збігаються точки $A, B, C, D$ в вершини паралелограма, якщо виконується $A B = D C$ ?

Розв’язання

За означенням паралелограма його протилежні сторони рівні ( $A B = D C$ ) і паралельні ( $A B ∥ D C$ ).
Оскільки вектори $A B$ і $D C$ мають однакові модулі (довжини відрізків) і співнапрямлені, то $A B = D C$ .
Для оберненого твердження: якщо $A B = D C$ , то $A B = D C$ і вектори співнапрямлені, що означає $A B ∥ D C$ . Чотирикутник з двома парами рівних і паралельних сторін є паралелограмом.

Відповідь:

$A B = D C$ ; так, обернене твердження справедливе.

Завдання 12.25

Модулі векторів у прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) точка $M$ — середина гіпотенузи $A B$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A C = 2 см$ . Знайти модулі векторів $A B$ і $M C$ .

Розв’язання

У $△ A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}, ∠ B = 3 0^{\circ}$ ) маємо $A C = 2 см$ . Оскільки кут $B$ дорівнює $3 0^{\circ}$ , то $A C = \frac{1}{2} A B$ . Звідси $A B = 2 \cdot A C = 2 \cdot 2 = 4 см$ .
Точка $M$ — середина гіпотенузи $A B$ , тому медіана $C M$ дорівнює половині гіпотенузи: $M C = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 см$ .

Відповідь:

$∣ A B ∣ = 4 см$ , $∣ M C ∣ = 2 см$ .

Завдання 12.26

Знаходження сторін за медіаною

У прямокутному трикутнику $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) медіана $C M = 6 см$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Знайти модулі векторів $A B$ і $A C$ .

Розв’язання

Оскільки $△ A B C$ прямокутний ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) і $C M$ — медіана, то $C M = \frac{1}{2} A B$ . Звідси $A B = 2 \cdot C M = 2 \cdot 6 = 12 см$ .
У $△ A B C$ маємо $sin A = \frac{B C}{A B}$ , але нам потрібен $A C$ . Знайдемо $A C$ через косинус: $cos A = \frac{A C}{A B}$ . Тоді $A C = A B \cdot cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63 см$ .

Відповідь:

$∣ A B ∣ = 12 см$ , $∣ A C ∣ = 63 см$ .

Завдання 12.27

Існування вектора, колінеарного двом неколінеарним

Відомо, що вектори $b$ і $c$ неколінеарні. Чи існує такий вектор $a$ , який колінеарний кожному з векторів $b$ і $c$ ?

Розв’язання

За означенням, якщо $a$ колінеарний $b$ , то вони лежать на одній прямій або паралельних прямих (утворюють площину).
Якщо $a$ також колінеарний $c$ , то $a$ має лежати на одній прямій з $c$ .
Оскільки $b$ і $c$ неколінеарні, вони не лежать на одній прямій і не паралельні, отже, утворюють площину. Єдиний вектор, який може бути колінеарний обома таким векторам одночасно — це нульовий вектор $0$ .

Відповідь:

Так, існує такий вектор — це лише нульовий вектор $0$ (бо він колінеарний будь-якому вектору).

Завдання 12.28

Колінеарність векторів та розташування точок

Відомо, що вектори $A B$ і $A C$ колінеарні. Доведіть, що точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій. Чи є правильним обернене твердження?

Розв’язання

Оскільки $A B$ і $A C$ колінеарні, точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Але вектори мають спільну точку $A$ , тому вони не можуть лежати на паралельних прямих (якщо б вони були ненульовими). Отже, точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій.
Обернене твердження правильне: якщо точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій, то вектори $A B$ і $A C$ також колінеарні (бо вони лежать на одній прямій).

Відповідь:

Точки $A$ , $B$ , $C$ лежать на одній прямій. Обернене твердження є правильним.

Завдання 12.29

Властивість середин відрізків при рівних векторах

Для чотирьох точок $A$ , $B$ , $C$ і $D$ відомо, що $A B = C D$ . Доведіть, що середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються. Доведіть обернене твердження: якщо середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються, то $A B = C D$ .

Розв’язання

Оскільки $A B = C D$ , то $A B$ паралельно і рівне $C D$ . Це означає, що чотирикутник $A B D C$ є паралелограмом (або деградуючим випадком — коли точки лежать на одній прямій).
У паралелограма діагоналі ( $A D$ і $B C$ ) діляться навпіл у точці перетину, тобто їхні середини збігаються.
Обернене твердження: якщо середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються в точці $O$ , то $A O = O D$ і $B O = O C$ . Звідси $A O = O D$ і $O B = O C$ . Тоді $A B = A O + O B$ і $C D = C O + O D = - O C + O D = O B + O A$ . Але краще: $A B = A O + O B$ , а $C D = C O + O D = - O C + O D$ . Оскільки $O$ — середина, то $O A = - O D$ і $O B = - O C$ . Тоді $A B = A O + O B$ і $C D = C O + O D = - O B - O A = A O + O B$ . Отже, $A B = C D$ .

Відповідь:

Середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються. Обернене твердження також є правильним.

Завдання 12.30

Властивість середини відрізка

Дано, що вектори $\overline{M O}$ і $\overline{O N}$ рівні ( $\overline{M O} = \overline{O N}$ ). Потрібно довести дві речі: 1) точка $O$ є серединою відрізка $M N$ ; 2) обернене твердження (якщо $O$ — середина, то $\overline{M O} = \overline{O N}$ ).

Розв’язання

Доведемо перше твердження: Оскільки $\overline{M O} = \overline{O N}$ , то за означенням рівних векторів їх довжини дорівнюють ( $M O = O N$ ), а напрямки співпадають (вектори спрямовані в один бік). Це означає, що точка $O$ лежить між точками $M$ і $N$ . Отже, $O$ — середина відрізка $M N$ .
Доведемо обернене твердження: Якщо точка $O$ є серединою відрізка $M N$ , то за означенням середини маємо $M O = O N$ і точка $O$ лежить між $M$ і $N$ . Оскільки вектори $\overline{M O}$ і $\overline{O N}$ мають однакову довжину ( $M O = O N$ ) і спрямовані в один бік (оскільки $O$ між $M$ та $N$ ), то за означенням рівних векторів $\overline{M O} = \overline{O N}$ .

Відповідь:

Точка $O$ є серединою відрізка $M N$ , і обернене твердження також є правильним.

Завдання 12.31

Побудова векторів переміщення

Катер рухається з точки $A$ на північ на відстань $40 км$ до точки $B$ , а потім з точки $B$ на захід на відстань $60 км$ до точки $C$ . Потрібно намалювати вектори $\overline{A B}$ , $\overline{B C}$ та $\overline{A C}$ .

Розв’язання

Намалюйте відрізок $\overline{A B}$ вертикально вгору (на північ). Його довжина у масштабі відповідає $40 км$ .
З кінця відрізка $B$ намалюйте відрізок $\overline{B C}$ горизонтально вліво (на захід). Його довжина у масштабі відповідає $60 км$ .
Проведіть стрілку від початкової точки $A$ до кінцевої точки $C$ , щоб зобразити вектор $\overline{A C}$ .

Відповідь:

Вектори $\overline{A B}$ (на північ), $\overline{B C}$ (на захід) та $\overline{A C}$ (діагональ) намальовані. (Рисунка неможливо відтворити в текстовому форматі, але схема має вигляд прямокутного трикутника з катетами $40 км$ і $60 км$ ).