ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 144

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 12.10–12.14 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 12.10

Рівні вектори в паралелограмі

M і N — середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Знайти вектори з точками A, B, C, D, M, N, рівні векторам: 1) $B C$ ; 2) $A M$ ; 3) $N D$ .

Розв’язання

Для вектора $B C$ шукаємо вектор з тією ж довжиною і напрямком, який лежить на прямій $A D$ . Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $A D = B C$ . Також оскільки $M$ і $N$ — середини, то відрізок $M N$ рівний сторінці $B C$ , але напрямлений протилежно ( $N M$ ). Отже, $A D = B C$ .
Для вектора $A M$ шукаємо вектор на прямій $B N$ . Оскільки $M$ — середина $A B$ , то $B M = \frac{1}{2} B A$ . Але нам потрібен рівний $A M$ . Оскільки $N$ — середина $C D$ , а $A B = C D$ , то відрізок $B N$ не підходить. Розглянемо вектор $C N$ . Оскільки $A B ∥ C D$ і $A B = C D$ , то чотирикутник $A M N C$ є паралелограмом? Ні. Давайте розглянемо вектор $B M$ і $A N$ . $A M$ лежить на прямій $A B$ . Рівний йому вектор має бути на прямій $D C$ . Оскільки $N$ — середина $C D$ , то $D N = \frac{1}{2} D C$ . Або $C N = - \frac{1}{2} D C$ . Оскільки $A B = D C$ , то $A M = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C = D N$ .
Для вектора $N D$ шукаємо рівний йому вектор на прямій $A B$ . Оскільки $A M = N D$ (з попереднього пункту), то відповідь одна й та сама. Перевіримо: $N D$ — це половина сторони $C D$ у напрямку до $D$ . Рівний йому вектор має бути на $A B$ , починаючи від середини $M$ і йдучи до $B$ . Це вектор $M B$ . Отже, $N D = M B$ .

Відповідь:

1) $A D$ ; 2) $D N$ ; 3) $M B$ .

Завдання 12.11

Аналіз векторів на координатній сітці

За рисунком 12.18 визначити відношення між векторами $a, b, c, d, f, g, m, n, p$ : 1) рівні; 2) протилежно напрямлені; 3) колінеарні.

Розв’язання

Рівні вектори: $a$ і $b$ мають однакову довжину (2 клітинки вправо, 2 вгору) і напрямок. Отже, $a = b$ . Вектор $g$ також має таку ж довжину і напрямок, як $a$ і $b$ . Отже, $a = b = g$ .
Протилежно напрямлені вектори: $c$ йде вправо на 3 клітинки. $m$ йде вліво на 3 клітинки. Вони лежать на паралельних прямих, але напрям протилежний. Отже, $c$ і $m$ протилежно напрямлені. Вектор $n$ йде вгору, $f$ — вниз (на 4 клітинки). Вони не рівні за довжиною ( $f$ довший), але напрям протилежний.
Колінеарні вектори: Всі вектори, що лежать на одній або паралельних прямих. Це пари: $(c, d)$ (лежать на паралельних горизонтальних), $(m, n)$ (паралельні вертикальні/горизонтальні? Ні, $m$ горизонтальний, $n$ вертикальний — не колінеарні). Правильно: $c$ і $d$ лежать на паралельних прямих. $f$ і $n$ лежать на паралельних прямих (вертикальних). $a, b, g, p$ лежать на паралельних діагональних прямих.

Відповідь:

1) Рівні: $a = b = g$ . 2) Протилежно напрямлені: $c$ і $m$ ; $f$ і $n$ (якщо взяти за модуль, але напрямок протилежний). 3) Колінеарні: $(a, b, g, p)$ , $(c, d)$ , $(f, n)$ .

Завдання 12.12

Вектори в серединних трикутника

M, N, P — середини сторін AB, BC, CA трикутника ABC. Знайти вектори з точками A, B, C, M, N, P: 1) рівні $M N$ ; 2) колінеарні $A B$ ; 3) протилежно напрямлені $M P$ ; 4) співнапрямлені $C A$ .

Розв’язання

Вектор $M N$ є середньою лінією трикутника, тому він рівний половині сторони $A C$ . Тобто $M N = \frac{1}{2} A C$ . Але нам потрібен вектор з точок A, B, C, M, N, P. Оскільки $M N$ іде від середини AB до середини BC, він паралельний AC. Рівного йому вектора серед перелічених немає, окрім самого $M N$ . Але можливо, мається на увазі $N P$ ? Ні, $N P$ паралельна AB. Перевіримо: $M N = \frac{1}{2} A C$ . Векторів рівних $M N$ серед інших немає, окрім самого себе.
Колінеарні вектору $A B$ : Це вектори, що лежать на прямій AB або паралельній їй. Серед точок A, B, C, M, N, P такі є: $A B, B A, A M, M B, P M, M P$ . Також вектор $N P$ є середньою лінією до сторони AB, тому $N P = \frac{1}{2} A C$ ? Ні, $N P$ з'єднує середини AC і BC, тому він паралельний AB. Отже, $N P$ колінеарний $A B$ .
Протилежно напрямлені $M P$ : $M P$ є середньою лінією до сторони BC, тому він паралельний BC. Вектор $P M$ протилежно напрямлений $M P$ . Також вектори на прямій BC: $B C, C B, B N, N C$ . Але вони не лежать на одній прямій з MP, а паралельні. Протилежно напрямлені — це лише $P M$ .
Співнапрямлені $C A$ : Це вектори, що йдуть від C до A або паралельно цьому напрямку. Середньою лінією є $M N$ ? Ні, $M N ∥ A C$ , але напрямок від M до N такий самий як від A до C (якщо розглядати орієнтацію). Тобто $M N$ співнапрямлений $A C$ , а не $C A$ . Вектор $N P$ паралельний AB. Вектор $P M$ паралельний BC. Отже, вектора, співнапрямлені $C A$ , серед перелічених немає, окрім самого $C A$ (якщо він є). Але в умові сказано "з точок A, B, C...". Тобто $C A$ .

Відповідь:

1) $M N$ ; 2) $A B, B A, A M, M B, P M, M P, N P, P N$ ; 3) $P M$ ; 4) $C A$ .

Завдання 12.13

Вектори в паралелограмі з діагональною точкою

$O$ — точка перетину діагоналей паралелограма $A B C D$ . Знайти вектори, що: 1) рівні $\overline{A O}$ ; 2) співнапрямлені з $\overline{O B}$ ; 3) протилежно напрямлені з $\overline{A D}$ .

Розв’язання

Вектор $\overline{O C}$ рівний вектору $\overline{A O}$ , оскільки $O$ — середина діаметра $A C$ .
Вектори $\overline{O B}$ та $\overline{O D}$ лежать на одній прямій і мають однакове напрямлення (від $O$ до $B$ ), отже вони співнапрямлені.
Вектор $\overline{B C}$ рівний вектору $\overline{A D}$ , але орієнтований в протилежному напрямку, тому він є шуканим вектором.

Відповідь:

1) $\overline{O C}$ ; 2) $\overline{O B}$ (сам собі); 3) $\overline{B C}$ .

Завдання 12.14

Перевірка властивостей векторів

Чи є правильними твердження: 1) якщо $\overline{m} = \overline{n}$ , то $∣ \overline{m} ∣ = ∣ \overline{n} ∣$ ; 2) якщо $\overline{m} = \overline{n}$ , то $\overline{m} ∥ \overline{n}$ ; 3) якщо $\overline{m} \neq = \overline{n}$ , то $∣ \overline{m} ∣ \neq = ∣ \overline{n} ∣$ ?

Розв’язання

Твердження 1 є правильним, оскільки рівні вектори мають однакові довжини.
Твердження 2 є правильним, бо рівні вектори завжди лежать на паралельних прямим (або збігаються), тобто є колінеарними.
Твердження 3 є неправильним, оскільки нерівні вектори можуть мати однаковий модуль (наприклад, різно напрямлені вектори однакової довжини).

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні.