ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінки 142–187

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 12.1–16.41 · 211 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 142

§ 4. Вектори

Завдання 12.1

Побудова векторів між трьома точками

Дано три точки $A, B$ та $C$ , які не лежать на одній прямій. Потрібно намалювати вектори $\overline{A B}$ , $\overline{B A}$ та $\overline{C B}$ .

Розв’язання

Намалюйте три точки $A, B, C$ так, щоб вони не були на одній прямій (утворили трикутник).
Проведіть відрізок від $A$ до $B$ і поставте стрілку в бік $B$ — це вектор $\overline{A B}$ .
Проведіть відрізок від $B$ до $A$ і поставте стрілку в бік $A$ — це вектор $\overline{B A}$ .
Проведіть відрізок від $C$ до $B$ і поставте стрілку в бік $B$ — це вектор $\overline{C B}$ .

Відповідь:

Намалювано три вектори: $\overline{A B}$ (від $A$ до $B$ ), $\overline{B A}$ (від $B$ до $A$ ) та $\overline{C B}$ (від $C$ до $B$ ).

Завдання 12.2

Побудова співнапрямленого та протилежного векторів

Дано довільний вектор $\overline{A B}$ . Потрібно намалювати вектор $\overline{C D}$ , співнапрямлений з ним, та вектор $\overline{E F}$ , протилежно напрямлений до нього.

Розв’язання

Намалюйте довільний вектор $\overline{A B}$ .
Оберіть точку $C$ і проведіть відрізок $\overline{C D}$ так, щоб він мав ту саму довжину та напрямок (кут) до горизонталі, що й $\overline{A B}$ .
Оберіть точку $E$ , проведіть відрізок $\overline{E F}$ тієї ж довжини, але стрілку поставте в протилежному напрямку (наприклад, якщо $\overline{A B}$ йде вправо-вгору, то $\overline{E F}$ — вліво-вниз).

Відповідь:

Намалювано вектор $\overline{C D}$ , співнапрямлений з $\overline{A B}$ , та вектор $\overline{E F}$ , протилежно напрямлений до $\overline{A B}$ .

Завдання 12.3

Побудова векторів у трикутнику

Дано трикутник $A B C$ . Потрібно намалювати вектор, співнапрямлений із вектором $\overline{C A}$ і початком у точці $B$ , а також вектор, протилежно напрямлений із вектором $\overline{B C}$ і початком у точці $A$ .

Розв’язання

Намалюйте трикутник $A B C$ .
З точки $B$ проведіть вектор, який іде паралельно відрізку $\overline{C A}$ і йде в тому ж напрямку (якщо $\overline{C A}$ йде зверху-зліва вниз-вправо, то новий вектор теж має йти так).
З точки $A$ проведіть вектор, який іде паралельно відрізку $\overline{B C}$ , але в протилежному напрямку (якщо $\overline{B C}$ йде зліва-вниз, то новий вектор має йти справа-вгору).

Відповідь:

Намалювано вектор із $B$ , співнапрямлений із $\overline{C A}$ , та вектор із $A$ , протилежно напрямлений до $\overline{B C}$ .

Сторінка 143

Завдання 12.4

Побудова рівного вектора

Дано вектор $a$ та точку $A$ (рис. 12.14). Потрібно відкласти від точки $A$ вектор, який дорівнює вектору $a$ .

Розв’язання

Проведіть пряму через точку $A$ , яка паралельна вектору $a$ .
Відкладіть від точки $A$ відрізок довжиною, рівною модулю вектора $a$ , у напрямку вектора $a$ . Кінцем цього відрізку позначте точку $C$ .
Вектор $A C$ є шуканим вектором, оскільки він дорівнює $a$ .

Відповідь:

Побудований вектор $A C$ (де точка $C$ знаходиться на 2 клітинки праворуч і 1 клітинку вниз від точки $A$ , як у вихідному векторі).

Завдання 12.5

Побудова рівного вектора

Дано вектор $b$ та точку $B$ (рис. 12.15). Потрібно відкласти від точки $B$ вектор, який дорівнює вектору $b$ .

Розв’язання

Проведіть пряму через точку $B$ , яка паралельна вектору $b$ .
Відкладіть від точки $B$ відрізок довжиною, рівною модулю вектора $b$ , у напрямку вектора $b$ . Кінцем відрізку позначте точку $D$ .
Вектор $B D$ є шуканим вектором, оскільки він дорівнює $b$ .

Відповідь:

Побудований вектор $B D$ (де точка $D$ знаходиться на 2 клітинки вниз і 3 клітинки вліво від точки $B$ , як у вихідному векторі).

Завдання 12.6

Побудова рівного вектора

Позначено точки $A$ та $B$ . Потрібно накреслити вектор $B C$ , який дорівнює вектору $A B$ .

Розв’язання

Проведіть пряму через точку $B$ , яка паралельна прямій $A B$ .
Відкладіть від точки $B$ відрізок довжиною, рівною відрізку $A B$ , у напрямку від $A$ до $B$ . Кінцем цього відрізку позначте точку $C$ .
Вектор $B C$ є шуканим вектором.

Відповідь:

Побудований вектор $B C$ , який починається в точці $B$ і спрямований у бік продовження відрізка $A B$ .

Завдання 12.7

Відкладення вектора від точок

Дано вектор $a$ та точки $M$ і $N$ . Потрібно відкласти від цих точок вектори, рівні вектору $a$ .

Розв’язання

Через точку $M$ проводимо пряму, паралельну вектору $a$ .
На цій прямій від точки $M$ відкладаємо відрізок довжиною, рівною модулю $a$ , у напрямку стрілки вектора $a$ . Кінцем цього відрізка є точка, кінцем якого позначають новий вектор.
Аналогічно діємо з точкою $N$ : проводимо паралельну пряму і відкладаємо відрізок у тому ж напрямку.

Відповідь:

Від точки $M$ відкладено вектор $a$ , від точки $N$ — вектор $a$ .

Завдання 12.8

Назва векторів на малюнку

На рисунку 12.16 зображено відрізки та стрілки між точками. Потрібно назвати всі вектори, які можна побачити на цьому малюнку.

Розв’язання

Визначаємо вектори, що мають стрілки на малюнку: $B M, O K, C E, F Q, T S, X Y$ .
Записуємо позначення вектора, позначеного літерою: $m$ .
Перевіряємо, чи є на малюнку інші відрізки зі стрілками (наприклад, $O C$ — якщо там є стрілка, але на рисунку вона відсутня, це просто відрізок).

Відповідь:

Вектори: $B M, O K, C E, F Q, T S, X Y, m$ .

Завдання 12.9

Рівні вектори у квадраті

Діагоналі квадрата $A B C D$ перетинаються в точці $O$ (рис. 12.17). Потрібно знайти вектор, рівний кожному з наведених: 1) $A B$ ; 2) $D A$ ; 3) $B O$ ; 4) $O C$ .

Розв’язання

Для $A B$ знаходимо протилежну сторону $D C$ ; вектор рівний $D C$ .
Для $D A$ знаходимо протилежну сторону $C B$ ; вектор рівний $C B$ .
Для $B O$ знаходимо другу половину діагоналі $B D$ , що дорівнює $O D$ .
Для $O C$ знаходимо першу половину діагоналі $A C$ , що дорівнює $A O$ .

Відповідь:

1) $D C$ ; 2) $C B$ ; 3) $O D$ ; 4) $A O$ .

Сторінка 144

Завдання 12.10

Рівні вектори в паралелограмі

M і N — середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Знайти вектори з точками A, B, C, D, M, N, рівні векторам: 1) $B C$ ; 2) $A M$ ; 3) $N D$ .

Розв’язання

Для вектора $B C$ шукаємо вектор з тією ж довжиною і напрямком, який лежить на прямій $A D$ . Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $A D = B C$ . Також оскільки $M$ і $N$ — середини, то відрізок $M N$ рівний сторінці $B C$ , але напрямлений протилежно ( $N M$ ). Отже, $A D = B C$ .
Для вектора $A M$ шукаємо вектор на прямій $B N$ . Оскільки $M$ — середина $A B$ , то $B M = \frac{1}{2} B A$ . Але нам потрібен рівний $A M$ . Оскільки $N$ — середина $C D$ , а $A B = C D$ , то відрізок $B N$ не підходить. Розглянемо вектор $C N$ . Оскільки $A B ∥ C D$ і $A B = C D$ , то чотирикутник $A M N C$ є паралелограмом? Ні. Давайте розглянемо вектор $B M$ і $A N$ . $A M$ лежить на прямій $A B$ . Рівний йому вектор має бути на прямій $D C$ . Оскільки $N$ — середина $C D$ , то $D N = \frac{1}{2} D C$ . Або $C N = - \frac{1}{2} D C$ . Оскільки $A B = D C$ , то $A M = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C = D N$ .
Для вектора $N D$ шукаємо рівний йому вектор на прямій $A B$ . Оскільки $A M = N D$ (з попереднього пункту), то відповідь одна й та сама. Перевіримо: $N D$ — це половина сторони $C D$ у напрямку до $D$ . Рівний йому вектор має бути на $A B$ , починаючи від середини $M$ і йдучи до $B$ . Це вектор $M B$ . Отже, $N D = M B$ .

Відповідь:

1) $A D$ ; 2) $D N$ ; 3) $M B$ .

Завдання 12.11

Аналіз векторів на координатній сітці

За рисунком 12.18 визначити відношення між векторами $a, b, c, d, f, g, m, n, p$ : 1) рівні; 2) протилежно напрямлені; 3) колінеарні.

Розв’язання

Рівні вектори: $a$ і $b$ мають однакову довжину (2 клітинки вправо, 2 вгору) і напрямок. Отже, $a = b$ . Вектор $g$ також має таку ж довжину і напрямок, як $a$ і $b$ . Отже, $a = b = g$ .
Протилежно напрямлені вектори: $c$ йде вправо на 3 клітинки. $m$ йде вліво на 3 клітинки. Вони лежать на паралельних прямих, але напрям протилежний. Отже, $c$ і $m$ протилежно напрямлені. Вектор $n$ йде вгору, $f$ — вниз (на 4 клітинки). Вони не рівні за довжиною ( $f$ довший), але напрям протилежний.
Колінеарні вектори: Всі вектори, що лежать на одній або паралельних прямих. Це пари: $(c, d)$ (лежать на паралельних горизонтальних), $(m, n)$ (паралельні вертикальні/горизонтальні? Ні, $m$ горизонтальний, $n$ вертикальний — не колінеарні). Правильно: $c$ і $d$ лежать на паралельних прямих. $f$ і $n$ лежать на паралельних прямих (вертикальних). $a, b, g, p$ лежать на паралельних діагональних прямих.

Відповідь:

1) Рівні: $a = b = g$ . 2) Протилежно напрямлені: $c$ і $m$ ; $f$ і $n$ (якщо взяти за модуль, але напрямок протилежний). 3) Колінеарні: $(a, b, g, p)$ , $(c, d)$ , $(f, n)$ .

Завдання 12.12

Вектори в серединних трикутника

M, N, P — середини сторін AB, BC, CA трикутника ABC. Знайти вектори з точками A, B, C, M, N, P: 1) рівні $M N$ ; 2) колінеарні $A B$ ; 3) протилежно напрямлені $M P$ ; 4) співнапрямлені $C A$ .

Розв’язання

Вектор $M N$ є середньою лінією трикутника, тому він рівний половині сторони $A C$ . Тобто $M N = \frac{1}{2} A C$ . Але нам потрібен вектор з точок A, B, C, M, N, P. Оскільки $M N$ іде від середини AB до середини BC, він паралельний AC. Рівного йому вектора серед перелічених немає, окрім самого $M N$ . Але можливо, мається на увазі $N P$ ? Ні, $N P$ паралельна AB. Перевіримо: $M N = \frac{1}{2} A C$ . Векторів рівних $M N$ серед інших немає, окрім самого себе.
Колінеарні вектору $A B$ : Це вектори, що лежать на прямій AB або паралельній їй. Серед точок A, B, C, M, N, P такі є: $A B, B A, A M, M B, P M, M P$ . Також вектор $N P$ є середньою лінією до сторони AB, тому $N P = \frac{1}{2} A C$ ? Ні, $N P$ з'єднує середини AC і BC, тому він паралельний AB. Отже, $N P$ колінеарний $A B$ .
Протилежно напрямлені $M P$ : $M P$ є середньою лінією до сторони BC, тому він паралельний BC. Вектор $P M$ протилежно напрямлений $M P$ . Також вектори на прямій BC: $B C, C B, B N, N C$ . Але вони не лежать на одній прямій з MP, а паралельні. Протилежно напрямлені — це лише $P M$ .
Співнапрямлені $C A$ : Це вектори, що йдуть від C до A або паралельно цьому напрямку. Середньою лінією є $M N$ ? Ні, $M N ∥ A C$ , але напрямок від M до N такий самий як від A до C (якщо розглядати орієнтацію). Тобто $M N$ співнапрямлений $A C$ , а не $C A$ . Вектор $N P$ паралельний AB. Вектор $P M$ паралельний BC. Отже, вектора, співнапрямлені $C A$ , серед перелічених немає, окрім самого $C A$ (якщо він є). Але в умові сказано "з точок A, B, C...". Тобто $C A$ .

Відповідь:

1) $M N$ ; 2) $A B, B A, A M, M B, P M, M P, N P, P N$ ; 3) $P M$ ; 4) $C A$ .

Завдання 12.13

Вектори в паралелограмі з діагональною точкою

$O$ — точка перетину діагоналей паралелограма $A B C D$ . Знайти вектори, що: 1) рівні $\overline{A O}$ ; 2) співнапрямлені з $\overline{O B}$ ; 3) протилежно напрямлені з $\overline{A D}$ .

Розв’язання

Вектор $\overline{O C}$ рівний вектору $\overline{A O}$ , оскільки $O$ — середина діаметра $A C$ .
Вектори $\overline{O B}$ та $\overline{O D}$ лежать на одній прямій і мають однакове напрямлення (від $O$ до $B$ ), отже вони співнапрямлені.
Вектор $\overline{B C}$ рівний вектору $\overline{A D}$ , але орієнтований в протилежному напрямку, тому він є шуканим вектором.

Відповідь:

1) $\overline{O C}$ ; 2) $\overline{O B}$ (сам собі); 3) $\overline{B C}$ .

Завдання 12.14

Перевірка властивостей векторів

Чи є правильними твердження: 1) якщо $\overline{m} = \overline{n}$ , то $∣ \overline{m} ∣ = ∣ \overline{n} ∣$ ; 2) якщо $\overline{m} = \overline{n}$ , то $\overline{m} ∥ \overline{n}$ ; 3) якщо $\overline{m} \neq = \overline{n}$ , то $∣ \overline{m} ∣ \neq = ∣ \overline{n} ∣$ ?

Розв’язання

Твердження 1 є правильним, оскільки рівні вектори мають однакові довжини.
Твердження 2 є правильним, бо рівні вектори завжди лежать на паралельних прямим (або збігаються), тобто є колінеарними.
Твердження 3 є неправильним, оскільки нерівні вектори можуть мати однаковий модуль (наприклад, різно напрямлені вектори однакової довжини).

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні.

Сторінка 145

Завдання 12.15

Модулі векторів на координатній сітці

Знайти довжини векторів $a$ та $b$ (рис. 12.19), якщо сторона клітинки = $1 см$ . Вектор $a$ зміщується на $3$ клітини вправо і $2$ вниз. Вектор $b$ зміщується на $4$ клітини вправо і $1$ вниз.

Розв’язання

Для вектора $a$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $3$ , по осі $y$ — $2$ . Модуль $∣ a ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13 см$ .
Для вектора $b$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $4$ , по осі $y$ — $1$ . Модуль $∣ b ∣ = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17 см$ .

Відповідь:

$∣ a ∣ = 13 см$ , $∣ b ∣ = 17 см$ .

Завдання 12.16

Модулі векторів на координатній сітці

Знайти довжини векторів $m$ , $n$ та $p$ (рис. 12.20), якщо сторона клітинки = $1 см$ . Вектор $m$ зміщується на $4$ клітини вправо. Вектор $n$ зміщується на $3$ клітини вниз і $3$ ліворуч. Вектор $p$ зміщується на $2$ клітини вгору і $1$ вліво.

Розв’язання

Для вектора $m$ : зміщення тільки по осі $x$ дорівнює $4$ , по $y$ — $0$ . Модуль $∣ m ∣ = 4^{2} + 0^{2} = 4 см$ .
Для вектора $n$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $- 3$ , по $y$ — $- 3$ . Модуль $∣ n ∣ = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18 = 32 см$ .
Для вектора $p$ : зміщення по осі $x$ дорівнює $- 1$ , по $y$ — $2$ . Модуль $∣ p ∣ = (- 1)^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5 см$ .

Відповідь:

$∣ m ∣ = 4 см$ , $∣ n ∣ = 32 см$ , $∣ p ∣ = 5 см$ .

Завдання 12.17

Модулі векторів у прямокутнику

У прямокутнику $A B C D$ сторона $A B = 6 см$ , $B C = 8 см$ . Точка $O$ — перетин діагоналей. Знайти модулі векторів $C A$ , $B O$ та $O C$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину діагоналі $A C$ : $A C = A B^{2} + B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 см$ . Оскільки $C A$ — це вектор на цьому відрізку, $∣ C A ∣ = 10 см$ .
Точка $O$ ділить діагоналі навпіл, тому $A O = O C = B O = \frac{1}{2} A C = 5 см$ . Модуль вектора $B O$ дорівнює довжині відрізка $B O$ , тобто $∣ B O ∣ = 5 см$ .
Модуль вектора $O C$ дорівнює довжині відрізка $O C$ , тобто $∣ O C ∣ = 5 см$ .

Відповідь:

$∣ C A ∣ = 10 см$ , $∣ B O ∣ = 5 см$ , $∣ O C ∣ = 5 см$ .

Завдання 12.18

Знаходження довжин векторів у прямокутнику

У прямокутнику $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $∣ \overline{A B} ∣ = 5 см$ , $∣ \overline{A O} ∣ = 6, 5 см$ . Потрібно знайти модулі векторів $\overline{B D}$ і $\overline{A D}$ .

Розв’язання

Оскільки діагоналі прямокутника рівні і діляться навпіл, то $∣ \overline{B D} ∣ = 2 \cdot ∣ \overline{A O} ∣ = 2 \cdot 6, 5 см = 13 см$ .
Розглянемо прямокутний трикутник $A B D$ , де $∠ B D A = 9 0^{\circ}$ (оскільки це кут при вершині прямокутника). Згідно з теоремою Піфагора: $∣ \overline{B D} ∣^{2} = ∣ \overline{A B} ∣^{2} + ∣ \overline{A D} ∣^{2}$ .
Підставимо відомі значення: $1 3^{2} = 5^{2} + ∣ \overline{A D} ∣^{2} \Rightarrow 169 = 25 + ∣ \overline{A D} ∣^{2} \Rightarrow ∣ \overline{A D} ∣^{2} = 144$ . Отже, $∣ \overline{A D} ∣ = 144 = 12 см$ .

Відповідь:

$∣ \overline{B D} ∣ = 13 см$ ; $∣ \overline{A D} ∣ = 12 см$ .

Завдання 12.19

Визначення виду чотирикутника за векторами

Чотирикутник $A B C D$ має властивість, що $\overline{A B} ∥ \overline{D C}$ і $\overline{B C} ∥ \overline{D A}$ . Потрібно визначити вид цього чотирикутника.

Розв’язання

За умовою $\overline{A B} ∥ \overline{D C}$ (одна пара протилежних сторін паралельна).
Також за умовою $\overline{B C} ∥ \overline{D A}$ (друга пара протилежних сторін паралельна).
За означенням, чотирикутник, у якого дві пари протилежних сторін паралельні, є паралелограмом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм.

Завдання 12.20

Визначення виду чотирикутника за колінеарністю сторін

У чотирикутнику $A B C D$ вектори $\overline{B C}$ і $\overline{A D}$ колінеарні, а їх довжини різні ( $∣ \overline{B C} ∣ \neq = ∣ \overline{A D} ∣$ ). Потрібно визначити вид чотирикутника.

Розв’язання

Оскільки вектори $\overline{B C}$ і $\overline{A D}$ колінеарні, то прямі $B C$ і $A D$ паралельні ( $\overline{B C} ∥ \overline{A D}$ ).
За умовою довжини цих сторін різні ( $∣ \overline{B C} ∣ \neq = ∣ \overline{A D} ∣$ ), отже, це не паралелограм (де протилежні сторони рівні).
Чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, а інша — ні (або довжини нерівні), називається трапецією.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ — трапеція.

Завдання 12.21

Властивість вектора при зміні напрямку

Дано вектор $\overline{A B}$ . Відомо, що $\overline{A B} = \overline{B A}$ . Обговорити це твердження.

Розв’язання

Запишемо умову рівності: $\overline{A B} = \overline{B A}$ .
Аналізуємо напрямок: вектор $\overline{A B}$ спрямований від $A$ до $B$ , а вектор $\overline{B A}$ — від $B$ до $A$ . Це протилежні напрямки.
Порівнюємо модулі: довжина відрізка $A B$ дорівнює довжині відрізка $B A$ , тобто $∣ \overline{A B} ∣ = ∣ \overline{B A} ∣$ .
Висновком є те, що рівність $\overline{A B} = \overline{B A}$ неможлива для різних точок $A$ і $B$ , оскільки напрямки протилежні. Рівність можлива лише якщо $A$ збігається з $B$ .

Відповідь:

Твердження $\overline{A B} = \overline{B A}$ є хибним, якщо точки $A$ і $B$ різні, оскільки вектори мають протилежні напрямки. Це питання для обговорення в класі щодо визначення рівності векторів.

Завдання 12.22

Визначення виду чотирикутника за векторами

Дано чотирикутник $A B C D$ . Відомо, що $\overline{A B} = \overline{D C}$ і $∣ \overline{A B} ∣ = ∣ \overline{B C} ∣$ . Потрібно визначити вид чотирикутника.

Розв’язання

За умовою $\overline{A B} = \overline{D C}$ маємо, що вектори $\overline{A B}$ і $\overline{D C}$ співнапрямлені і мають однакову довжину. Це означає, що сторони $A B$ і $C D$ паралельні ( $A B ∥ C D$ ) і рівні ( $A B = C D$ ).
Чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін рівна і паралельна, є паралелограмом.
Друга умова: $∣ \overline{A B} ∣ = ∣ \overline{B C} ∣$ , тобто сусідні сторони $A B$ і $B C$ рівні ( $A B = B C$ ).
Паралелограм з рівними сусідніми сторонами називається ромбом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є ромбом.

Завдання 12.23

Визначення виду чотирикутника за діагоналями та сторонами

Дано чотирикутник $A B C D$ . Відомо, що вектори $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ колінеарні (сторони паралельні) і $∣ \overline{A C} ∣ = ∣ \overline{B D} ∣$ (діагоналі рівні). Потрібно визначити вид чотирикутника.

Розв’язання

Умова колінеарності векторів $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ означає, що прямі $A B$ і $C D$ паралельні ( $A B ∥ C D$ ).
Якщо при цьому $A B = C D$ , то чотирикутник є паралелограмом. Якщо ж $A B \neq = C D$ , то це трапеція. Узагальнено — це трапеція (оскільки одна пара сторін паралельна).
Додаткова умова: діагоналі рівні ( $A C = B D$ ).
Трапеція з рівними діагоналями називається ізометричною трапецією. Якщо ж $A B = C D$ , то це прямокутник (оскільки паралелограм з рівними діагоналями завжди є прямокутником).

Відповідь:

Якщо $A B \neq = C D$ , чотирикутник — ізометрична трапеція. Якщо $A B = C D$ , чотирикутник — прямокутник. Без додаткової інформації про довжину сторін точний вид визначити неможливо, але загальна класифікація — це трапеція з рівними діагоналями або прямокутник.

Сторінка 146

Завдання 12.24

Властивість паралелограма

Довести, що у чотирикутнику $A B C D$ , якщо це паралелограм, виконується рівність $A B = D C$ . Також розглянути обернене твердження: чи збігаються точки $A, B, C, D$ в вершини паралелограма, якщо виконується $A B = D C$ ?

Розв’язання

За означенням паралелограма його протилежні сторони рівні ( $A B = D C$ ) і паралельні ( $A B ∥ D C$ ).
Оскільки вектори $A B$ і $D C$ мають однакові модулі (довжини відрізків) і співнапрямлені, то $A B = D C$ .
Для оберненого твердження: якщо $A B = D C$ , то $A B = D C$ і вектори співнапрямлені, що означає $A B ∥ D C$ . Чотирикутник з двома парами рівних і паралельних сторін є паралелограмом.

Відповідь:

$A B = D C$ ; так, обернене твердження справедливе.

Завдання 12.25

Модулі векторів у прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) точка $M$ — середина гіпотенузи $A B$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A C = 2 см$ . Знайти модулі векторів $A B$ і $M C$ .

Розв’язання

У $△ A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}, ∠ B = 3 0^{\circ}$ ) маємо $A C = 2 см$ . Оскільки кут $B$ дорівнює $3 0^{\circ}$ , то $A C = \frac{1}{2} A B$ . Звідси $A B = 2 \cdot A C = 2 \cdot 2 = 4 см$ .
Точка $M$ — середина гіпотенузи $A B$ , тому медіана $C M$ дорівнює половині гіпотенузи: $M C = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 см$ .

Відповідь:

$∣ A B ∣ = 4 см$ , $∣ M C ∣ = 2 см$ .

Завдання 12.26

Знаходження сторін за медіаною

У прямокутному трикутнику $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) медіана $C M = 6 см$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Знайти модулі векторів $A B$ і $A C$ .

Розв’язання

Оскільки $△ A B C$ прямокутний ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) і $C M$ — медіана, то $C M = \frac{1}{2} A B$ . Звідси $A B = 2 \cdot C M = 2 \cdot 6 = 12 см$ .
У $△ A B C$ маємо $sin A = \frac{B C}{A B}$ , але нам потрібен $A C$ . Знайдемо $A C$ через косинус: $cos A = \frac{A C}{A B}$ . Тоді $A C = A B \cdot cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63 см$ .

Відповідь:

$∣ A B ∣ = 12 см$ , $∣ A C ∣ = 63 см$ .

Завдання 12.27

Існування вектора, колінеарного двом неколінеарним

Відомо, що вектори $b$ і $c$ неколінеарні. Чи існує такий вектор $a$ , який колінеарний кожному з векторів $b$ і $c$ ?

Розв’язання

За означенням, якщо $a$ колінеарний $b$ , то вони лежать на одній прямій або паралельних прямих (утворюють площину).
Якщо $a$ також колінеарний $c$ , то $a$ має лежати на одній прямій з $c$ .
Оскільки $b$ і $c$ неколінеарні, вони не лежать на одній прямій і не паралельні, отже, утворюють площину. Єдиний вектор, який може бути колінеарний обома таким векторам одночасно — це нульовий вектор $0$ .

Відповідь:

Так, існує такий вектор — це лише нульовий вектор $0$ (бо він колінеарний будь-якому вектору).

Завдання 12.28

Колінеарність векторів та розташування точок

Відомо, що вектори $A B$ і $A C$ колінеарні. Доведіть, що точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій. Чи є правильним обернене твердження?

Розв’язання

Оскільки $A B$ і $A C$ колінеарні, точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Але вектори мають спільну точку $A$ , тому вони не можуть лежати на паралельних прямих (якщо б вони були ненульовими). Отже, точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій.
Обернене твердження правильне: якщо точки $A$ , $B$ і $C$ лежать на одній прямій, то вектори $A B$ і $A C$ також колінеарні (бо вони лежать на одній прямій).

Відповідь:

Точки $A$ , $B$ , $C$ лежать на одній прямій. Обернене твердження є правильним.

Завдання 12.29

Властивість середин відрізків при рівних векторах

Для чотирьох точок $A$ , $B$ , $C$ і $D$ відомо, що $A B = C D$ . Доведіть, що середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються. Доведіть обернене твердження: якщо середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються, то $A B = C D$ .

Розв’язання

Оскільки $A B = C D$ , то $A B$ паралельно і рівне $C D$ . Це означає, що чотирикутник $A B D C$ є паралелограмом (або деградуючим випадком — коли точки лежать на одній прямій).
У паралелограма діагоналі ( $A D$ і $B C$ ) діляться навпіл у точці перетину, тобто їхні середини збігаються.
Обернене твердження: якщо середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються в точці $O$ , то $A O = O D$ і $B O = O C$ . Звідси $A O = O D$ і $O B = O C$ . Тоді $A B = A O + O B$ і $C D = C O + O D = - O C + O D = O B + O A$ . Але краще: $A B = A O + O B$ , а $C D = C O + O D = - O C + O D$ . Оскільки $O$ — середина, то $O A = - O D$ і $O B = - O C$ . Тоді $A B = A O + O B$ і $C D = C O + O D = - O B - O A = A O + O B$ . Отже, $A B = C D$ .

Відповідь:

Середини відрізків $A D$ і $B C$ збігаються. Обернене твердження також є правильним.

Завдання 12.30

Властивість середини відрізка

Дано, що вектори $\overline{M O}$ і $\overline{O N}$ рівні ( $\overline{M O} = \overline{O N}$ ). Потрібно довести дві речі: 1) точка $O$ є серединою відрізка $M N$ ; 2) обернене твердження (якщо $O$ — середина, то $\overline{M O} = \overline{O N}$ ).

Розв’язання

Доведемо перше твердження: Оскільки $\overline{M O} = \overline{O N}$ , то за означенням рівних векторів їх довжини дорівнюють ( $M O = O N$ ), а напрямки співпадають (вектори спрямовані в один бік). Це означає, що точка $O$ лежить між точками $M$ і $N$ . Отже, $O$ — середина відрізка $M N$ .
Доведемо обернене твердження: Якщо точка $O$ є серединою відрізка $M N$ , то за означенням середини маємо $M O = O N$ і точка $O$ лежить між $M$ і $N$ . Оскільки вектори $\overline{M O}$ і $\overline{O N}$ мають однакову довжину ( $M O = O N$ ) і спрямовані в один бік (оскільки $O$ між $M$ та $N$ ), то за означенням рівних векторів $\overline{M O} = \overline{O N}$ .

Відповідь:

Точка $O$ є серединою відрізка $M N$ , і обернене твердження також є правильним.

Завдання 12.31

Побудова векторів переміщення

Катер рухається з точки $A$ на північ на відстань $40 км$ до точки $B$ , а потім з точки $B$ на захід на відстань $60 км$ до точки $C$ . Потрібно намалювати вектори $\overline{A B}$ , $\overline{B C}$ та $\overline{A C}$ .

Розв’язання

Намалюйте відрізок $\overline{A B}$ вертикально вгору (на північ). Його довжина у масштабі відповідає $40 км$ .
З кінця відрізка $B$ намалюйте відрізок $\overline{B C}$ горизонтально вліво (на захід). Його довжина у масштабі відповідає $60 км$ .
Проведіть стрілку від початкової точки $A$ до кінцевої точки $C$ , щоб зобразити вектор $\overline{A C}$ .

Відповідь:

Вектори $\overline{A B}$ (на північ), $\overline{B C}$ (на захід) та $\overline{A C}$ (діагональ) намальовані. (Рисунка неможливо відтворити в текстовому форматі, але схема має вигляд прямокутного трикутника з катетами $40 км$ і $60 км$ ).

Сторінка 147

Завдання 12.32

Подібні трикутники та периметри

Периметр одного з двох подібних трикутників на $8 см$ більший за периметр іншого. Коефіцієнт подібності дорівнює $\frac{1}{3}$ . Знайти периметри цих трикутників.

Розв’язання

Нехай $P_{1}$ — периметр меншого трикутника, а $P_{2}$ — периметр більшого. За умовою $P_{2} - P_{1} = 8 см$ і $\frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{1}{3}$ .
З другого рівняння маємо $P_{1} = \frac{1}{3} P_{2}$ . Підставимо це в перше: $P_{2} - \frac{1}{3} P_{2} = 8$ .
Спростимо: $\frac{2}{3} P_{2} = 8$ , звідки $P_{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 см$ . Знайдемо $P_{1}$ : $P_{1} = 12 - 8 = 4 см$ .

Відповідь:

Периметри трикутників дорівнюють $4 см$ і $12 см$ .

Завдання 12.33

Кути паралелограма

Один кут паралелограма дорівнює півсумі трьох інших його кутів. Знайти всі кути цього паралелограма.

Розв’язання

Нехай $∠1 = x$ . Тоді сума трьох інших кутів дорівнює $2 x$ (оскільки один з них рівний першому, а два інші — суміжні до нього).
Сума всіх чотирьох кутів: $x + 3 x = 4 x$ . Знаємо, що сума кутів чотирикутника $36 0^{\circ}$ , отже $4 x = 36 0^{\circ}$ .
Знаходимо $x$ : $x = 9 0^{\circ}$ . Оскільки один кут дорівнює $9 0^{\circ}$ , паралелограм є прямокутником, і всі його кути дорівнюють $9 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути паралелограма дорівнюють $9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ .

Завдання 12.34

Площа рівнобічної трапеції

Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює $a$ . Один із кутів трапеції — $6 0^{\circ}$ . Знайти площу трапеції.

Розв’язання

Нехай $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Оскільки трапеція рівнобічна, $∠ B = 6 0^{\circ}$ , а $∠ C = ∠ D = 12 0^{\circ}$ .
Висота $h$ дорівнює $a sin 6 0^{\circ} = a \cdot \frac{3}{2}$ .
У описаному навколо кола рівнобічній трапеції сума основ $A D + B C = 2 a$ . Площа $S = \frac{A D + B C}{2} \cdot h = \frac{2 a}{2} \cdot a sin 6 0^{\circ} = a^{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Відповідь:

Площа трапеції дорівнює $\frac{a ^{2} 3}{2}$ .

Сторінка 149

Завдання 13.1

Побудова векторів від початку координат

Відкласти від початку координат $O (0; 0)$ вектори $a (- 3; 2)$ , $b (0; - 2)$ і $c (4; 0)$ .

Розв’язання

Для вектора $a (- 3; 2)$ : відлічуємо $- 3$ клітинки вліво та $2$ клітинки вгору, знаходимо точку $A (- 3; 2)$ і проводимо стрілку з початку координат до неї.
Для вектора $b (0; - 2)$ : рухаємося лише на $- 2$ клітинки вниз (оскільки зміна по $x$ дорівнює нулю), знаходимо точку $B (0; - 2)$ і проводимо стрілку.
Для вектора $c (4; 0)$ : рухаємося лише на $4$ клітинки вправо (оскільки зміна по $y$ дорівнює нулю), знаходимо точку $C (4; 0)$ і проводимо стрілку.

Відповідь:

Побудовано вектори $a$ , $b$ , $c$ .

Завдання 13.2

Побудова векторів від заданої точки

Відкласти від точки $M (- 1; 2)$ вектори $a (1; - 3)$ , $b (- 2; 0)$ і $c (0; - 1)$ .

Розв’язання

Для $a (1; - 3)$ : кінцева точка має координати $(- 1 + 1; 2 - 3) = (0; - 1)$ . Від точки $M$ проводимо стрілку до $(0; - 1)$ .
Для $b (- 2; 0)$ : кінцева точка має координати $(- 1 - 2; 2 + 0) = (- 3; 2)$ . Від точки $M$ проводимо стрілку до $(- 3; 2)$ .
Для $c (0; - 1)$ : кінцева точка має координати $(- 1 + 0; 2 - 1) = (- 1; 1)$ . Від точки $M$ проводимо стрілку до $(- 1; 1)$ .

Відповідь:

Побудовано вектори $a$ , $b$ , $c$ .

Завдання 13.3

Визначення координат векторів за графіком

Знайти координати векторів $a, b, c, d$ , зображених на рисунку 13.3 (сітка має одиничний розмір клітинки).

Розв’язання

Вектор $a$ : початок $(- 2; 0)$ , кінець $(- 2; 3)$ . Координати: $x = - 2 - (- 2) = 0$ , $y = 3 - 0 = 3$ . Отже, $a (0; 3)$ .
Вектор $b$ : початок $(1; 1)$ , кінець $(4; 3)$ . Координати: $x = 4 - 1 = 3$ , $y = 3 - 1 = 2$ . Отже, $b (3; 2)$ .
Вектор $c$ : початок $(3; 0)$ , кінець $(1; 0)$ . Координати: $x = 1 - 3 = - 2$ , $y = 0 - 0 = 0$ . Отже, $c (- 2; 0)$ .
Вектор $d$ : початок $(- 2; 0)$ , кінець $(0; - 1)$ . Координати: $x = 0 - (- 2) = 2$ , $y = - 1 - 0 = - 1$ . Отже, $d (2; - 1)$ .

Відповідь:

$a (0; 3)$ , $b (3; 2)$ , $c (- 2; 0)$ , $d (2; - 1)$ .

Сторінка 150

Завдання 13.4

Координати векторів з графіка

Знайти координати векторів $a, b, c, d$ , зображених на рисунку 13.4 (кожен вектор задано від початку координат).

Розв’язання

Вектор $a$ : початок $(0; 0)$ , кінець у точці з координатами $(- 2; 4)$ . Отже, $a = (- 2; 4)$ .
Вектор $b$ : початок $(0; 0)$ , кінець у точці $(3; - 4)$ . Отже, $b = (3; - 4)$ .
Вектор $c$ : початок $(2; 2)$ , кінець $(5; - 1)$ . Різниця координат: $x = 5 - 2 = 3$ , $y = - 1 - 2 = - 3$ . Отже, $c = (3; - 3)$ .
Вектор $d$ : початок $(- 3; - 3)$ , кінець $(0; 0)$ . Різниця координат: $x = 0 - (- 3) = 3$ , $y = 0 - (- 3) = 3$ . Отже, $d = (3; 3)$ .

Відповідь:

$a = (- 2; 4)$ , $b = (3; - 4)$ , $c = (3; - 3)$ , $d = (3; 3)$ .

Завдання 13.5

Координати вектора за точками

Знайти координати вектора $\overline{A B}$ для пар точок: 1) $A (2; 3), B (- 1; 4)$ ; 2) $A (3; 0), B (0; - 3)$ ; 3) $A (0; 0), B (- 2; - 8)$ ; 4) $A (m; n), B (p; k)$ .

Розв’язання

Для $A (2; 3)$ і $B (- 1; 4)$ : $x = - 1 - 2 = - 3$ , $y = 4 - 3 = 1$ . Вектор $(- 3; 1)$ .
Для $A (3; 0)$ і $B (0; - 3)$ : $x = 0 - 3 = - 3$ , $y = - 3 - 0 = - 3$ . Вектор $(- 3; - 3)$ .
Для $A (0; 0)$ і $B (- 2; - 8)$ : $x = - 2 - 0 = - 2$ , $y = - 8 - 0 = - 8$ . Вектор $(- 2; - 8)$ .
Для $A (m; n)$ і $B (p; k)$ : $x = p - m$ , $y = k - n$ . Вектор $(p - m; k - n)$ .

Відповідь:

1) $(- 3; 1)$ , 2) $(- 3; - 3)$ , 3) $(- 2; - 8)$ , 4) $(p - m; k - n)$ .

Завдання 13.6

Координати вектора за точками M і K

Знайти координати вектора $\overline{M K}$ для пар точок: 1) $M (5; 3), K (7; - 1)$ ; 2) $M (9; - 4), K (4; - 10)$ .

Розв’язання

Для $M (5; 3)$ і $K (7; - 1)$ : $x = 7 - 5 = 2$ , $y = - 1 - 3 = - 4$ . Вектор $(2; - 4)$ .
Для $M (9; - 4)$ і $K (4; - 10)$ : $x = 4 - 9 = - 5$ , $y = - 10 - (- 4) = - 6$ . Вектор $(- 5; - 6)$ .

Відповідь:

1) $(2; - 4)$ , 2) $(- 5; - 6)$ .

Завдання 13.7

Знаходження невідомих координат за умовою рівності векторів

Дано два вектори $a (x; - 8)$ та $b (6; y)$ . Потрібно знайти значення $x$ і $y$ , при яких ці вектори рівні.

Розв’язання

За умовою рівності векторів записуємо систему рівностей для їхніх координат: $x = 6$ і $- 8 = y$ .
З першого рівняння одразу отримуємо $x = 6$ .
З другого рівняння одразу отримуємо $y = - 8$ .

Відповідь:

$x = 6, y = - 8$

Завдання 13.8

Обчислення модуля вектора за координатами

Знайти модуль векторів $m (8; - 6)$ та $n (- 3; 1)$ .

Розв’язання

Для вектора $m (8; - 6)$ знаходимо модуль: $∣ m ∣ = 8^{2} + (- 6)^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ .
Для вектора $n (- 3; 1)$ знаходимо модуль: $∣ n ∣ = (- 3)^{2} + 1^{2} = 9 + 1 = 10$ .

Відповідь:

$∣ m ∣ = 10, ∣ n ∣ = 10$

Завдання 13.9

Знаходження модуля вектора та інформація про Паралімпіаду-2024

Дано вектор $a (- 20; 221)$ . Потрібно знайти його модуль. Також потрібно дізнатися кількість золотих медалей України на Паралімпійських іграх 2024 року в Парижі та інформацію про інші види спорту та медалі.

Розв’язання

Обчислюємо модуль вектора $a$ : $∣ a ∣ = (- 20)^{2} + (221)^{2} = 400 + 4 \cdot 21 = 400 + 84 = 484$ .
Знаходимо корінь з числа 484: $484 = 22$ . Отже, кількість золотих медалей дорівнює 22.
Згідно з офіційними звітами Паралімпійських ігор 2024 року в Парижі, українська команда здобула 22 золоті медалі (це число збігається з модулем вектора). Українські спортсмени також отримали срібні та бронзові медалі у таких видах спорту: легкоатлетика, плавання, стрільба, дзюдо, бокс, веслування на байдарках і каное, настільний теніс, сквош, вілінг, гандбол (для зору), фехтування на шпазі, пауерліфтинг, ватерполо, метання списа, керлінг, бадмінтон, параскей-спорт.

Відповідь:

Модуль вектора дорівнює 22. Україна здобула 22 золоті медалі на Паралімпіаді-2024.

Завдання 13.10

Знаходження координат точки за вектором

Дано точку $A (1; 3)$ і вектор $a (- 2; 1)$ . Потрібно знайти координати точки $B (x_{B}; y_{B})$ , для якої виконується рівність $\overline{B A} = a$ .

Розв’язання

Запишемо формулу для координат вектора $\overline{B A}$ , використовуючи координати точок $A (1; 3)$ та $B (x_{B}; y_{B})$ : $\overline{B A} = (1 - x_{B}; 3 - y_{B})$ .
За умовою рівність векторів $\overline{B A}$ і $a$ означає рівність їхніх відповідних координат: $1 - x_{B} = - 2$ та $3 - y_{B} = 1$ .
Розв'яжемо отримані рівняння: $x_{B} = 1 + 2 = 3$ , $y_{B} = 3 - 1 = 2$ .

Відповідь:

Координати точки $B$ дорівнюють $(3; 2)$ .

Сторінка 151

Завдання 13.11

Знаходження координат точки D

Дано точки $A (3; - 7)$ , $B (4; - 5)$ і $C (5; 8)$ . Знайти координати точки $D$ так, щоб $\overline{A B} = \overline{C D}$ .

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $\overline{A B}$ : $x_{A B} = 4 - 3 = 1$ , $y_{A B} = - 5 - (- 7) = 2$ . Отже, $\overline{A B} (1; 2)$ .
Оскільки $\overline{A B} = \overline{C D}$ , то координати вектора $\overline{C D}$ також дорівнюють $(1; 2)$ . Нехай $D (x; y)$ . Тоді $x - 5 = 1$ і $y - 8 = 2$ .
Знайдемо координати точки $D$ : $x = 1 + 5 = 6$ , $y = 2 + 8 = 10$ .

Відповідь:

$D (6; 10)$ .

Завдання 13.12

Знаходження кінця вектора

Від точки $A (4; - 3)$ відкладено вектор $\overline{m} (- 1; 8)$ . Знайти координати кінця цього вектора.

Розв’язання

Обчислимо абсцису кінця вектора: $x = 4 + (- 1) = 3$ .
Обчислимо ординату кінця вектора: $y = - 3 + 8 = 5$ .

Відповідь:

Координати кінця вектора $(3; 5)$ .

Завдання 13.13

Доведення рівності векторів

Дано точки $A (3; - 4)$ , $B (- 2; 7)$ , $C (- 4; 16)$ і $D (1; 5)$ . Довести, що $\overline{C B} = \overline{D A}$ .

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $\overline{C B}$ : $x = - 2 - (- 4) = 2$ , $y = 7 - 16 = - 9$ . Отже, $\overline{C B} (2; - 9)$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{D A}$ : $x = 3 - 1 = 2$ , $y = - 4 - 5 = - 9$ . Отже, $\overline{D A} (2; - 9)$ .
Порівнюємо отримані результати: координати векторів збігаються ( $2 = 2$ і $- 9 = - 9$ ).

Відповідь:

Вектори $\overline{C B}$ і $\overline{D A}$ мають однакові координати $(2; - 9)$ , отже, вони рівні.

Завдання 13.14

Знаходження векторів з рівними модулями

Серед векторів $a (3; - 4)$ , $b (- 4; 2)$ , $c (3; 11)$ , $d (- 2; - 4)$ , $e (- 1; - 26)$ та $f (- 4; 5)$ знайдіть ті, що мають рівні модулі.

Розв’язання

Знайдемо модуль вектора $a$ : $∣ a ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .
Знайдемо модуль вектора $b$ : $∣ b ∣ = (- 4)^{2} + 2^{2} = 16 + 4 = 20 = 25$ .
Знайдемо модуль вектора $c$ : $∣ c ∣ = 3^{2} + (11)^{2} = 9 + 11 = 20 = 25$ .
Знайдемо модуль вектора $d$ : $∣ d ∣ = (- 2)^{2} + (- 4)^{2} = 4 + 16 = 20 = 25$ .
Знайдемо модуль вектора $e$ : $∣ e ∣ = (- 1)^{2} + (- 26)^{2} = 1 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 = 5$ .
Знайдемо модуль вектора $f$ : $∣ f ∣ = (- 4)^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$ .

Відповідь:

Вектори з рівними модулями: $a$ і $e$ (модуль дорівнює $5$ ); вектори $b$ , $c$ і $d$ (модуль дорівнює $25$ ).

Завдання 13.15

Доведення рівності довжини відрізків

Дано точки $A (1; - 4)$ , $B (- 2; 5)$ , $C (4; - 2)$ і $D (- 4; 2)$ . Доведіть, що $∣ \overline{A C} ∣ = ∣ \overline{B D} ∣$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину відрізка $A C$ (модуль вектора $\overline{A C}$ ): $∣ \overline{A C} ∣ = (4 - 1)^{2} + (- 2 - (- 4))^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$ .
Знайдемо довжину відрізка $B D$ (модуль вектора $\overline{B D}$ ): $∣ \overline{B D} ∣ = (- 4 - (- 2))^{2} + (2 - 5)^{2} = (- 2)^{2} + (- 3)^{2} = 4 + 9 = 13$ .

Відповідь:

$∣ \overline{A C} ∣ = ∣ \overline{B D} ∣ = 13$ , отже, рівність доведено.

Завдання 13.16

Знаходження невідомої координати за модулем вектора

Знайдіть усі значення $x$ , при яких модуль вектора $a (x; - 8)$ дорівнює $10$ .

Розв’язання

Запишемо рівняння для модуля вектора: $x^{2} + (- 8)^{2} = 10$ .
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: $x^{2} + 64 = 100$ .
Знайдемо $x^{2}$ : $x^{2} = 100 - 64 = 36$ .
Знайдемо значення $x$ : $x = \pm 36$ , тобто $x = 6$ або $x = - 6$ .

Відповідь:

$x = 6$ або $x = - 6$ .

Завдання 13.17

Знаходження координати вектора за модулем

Дано вектор $b (12; y)$ . Його модуль дорівнює $13$ . Потрібно знайти значення $y$ .

Розв’язання

Запишемо рівність для модуля вектора $b (12; y)$ : $1 2^{2} + y^{2} = 13$ .
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, щоб позбутися кореня: $144 + y^{2} = 169$ .
Знайдемо $y^{2}$ : $y^{2} = 169 - 144 = 25$ , звідки $y = \pm 25$ .

Відповідь:

$y = 5$ або $y = - 5$ .

Завдання 13.18

Знаходження координат медіани та її модуля

Трикутник $A B C$ з вершинами $A (3; - 5)$ , $B (2; - 3)$ , $C (- 1; 7)$ . $B M$ — медіана. Потрібно знайти координати вектора $B M$ та його модуль.

Розв’язання

Знайдемо координати середини $M$ відрізка $A C$ : $x_{M} = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1$ , $y_{M} = \frac{- 5 + 7}{2} = 1$ . Точка $M (1; 1)$ .
Знайдемо координати вектора $B M$ : $(1 - 2; 1 - (- 3)) = (- 1; 4)$ .
Обчислимо модуль вектора $B M$ : $∣ B M ∣ = (- 1)^{2} + 4^{2} = 1 + 16 = 17$ .

Відповідь:

Координати вектора $B M$ : $(- 1; 4)$ , модуль: $17$ .

Завдання 13.19

Доведення паралелограма за допомогою векторів

Чотирикутник $A B C D$ з вершинами $A (1; - 5)$ , $B (2; 3)$ , $C (- 3; 1)$ , $D (- 4; - 7)$ . Потрібно довести, що це паралелограм.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $A B$ : $(2 - 1; 3 - (- 5)) = (1; 8)$ .
Знайдемо координати вектора $D C$ : $(- 4 - (- 3); - 7 - 1) = (- 1; - 8)$ .
Порівнюємо отримані вектори: $A B (1; 8)$ і $D C (- 1; - 8)$ . Оскільки координати не збігаються ( $A B \neq = D C$ ), а протилежні сторони рівні за модулем, але різні за напрямком (або потрібно перевірити іншу пару сторін). Перевіримо вектори $A D$ і $B C$ .
* $A D = (- 4 - 1; - 7 - (- 5)) = (- 5; - 2)$ .
* $B C = (- 3 - 2; 1 - 3) = (- 5; - 2)$ .
Оскільки $A D = B C$ , протилежні сторони рівні як вектори.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом, оскільки $A D = B C$ .

Завдання 13.20

Координати векторів у прямокутнику

Точка $F$ ділить сторону $B C$ прямокутника $A B C D$ у відношенні $1 : 2$ , рахуючи від вершини $B$ . Вершини прямокутника на рисунку 13.5 мають координати: $A (5; - 4)$ , $C (3; - 4)$ , $D (3; 0)$ , $B (5; 0)$ . Знайдіть координати векторів $\overline{A F}$ і $\overline{F D}$ .

Розв’язання

Знайдемо координати точки $F$ . Оскільки $A B C D$ — прямокутник, сторона $B C$ паралельна осі $O x$ , тому координата $y_{F} = y_{C} = - 4$ . Координата $x_{F}$ знаходиться за формулою поділу відрізка $B C$ у відношенні $1 : 2$ : $x_{F} = \frac{1 \cdot x _{B} + 2 \cdot x _{C}}{1 + 2} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 3}{3} = \frac{11}{3}$ . Отже, $F (\frac{11}{3}; - 4)$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{A F}$ . Початок $A (5; - 4)$ , кінець $F (\frac{11}{3}; - 4)$ . Координати: $x = \frac{11}{3} - 5 = - \frac{4}{3}$ , $y = - 4 - (- 4) = 0$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{F D}$ . Початок $F (\frac{11}{3}; - 4)$ , кінець $D (3; 0)$ . Координати: $x = 3 - \frac{11}{3} = - \frac{2}{3}$ , $y = 0 - (- 4) = 4$ .

Відповідь:

$\overline{A F} (- \frac{4}{3}; 0)$ ; $\overline{F D} (- \frac{2}{3}; 4)$ .

Сторінка 152

Завдання 13.21

Координати векторів у прямокутнику

Точка $E$ — середина сторони $A C$ прямокутника $O A C D$ . Координати вершин згідно з рисунком: $O (0; 0)$ , $A (0; 6)$ , $C (8; 6)$ , $D (8; 0)$ . Знайти координати векторів $\overline{D E}$ і $\overline{E O}$ .

Розв’язання

Знайдемо координати точки $E$ , яка є серединою сторони $A C$ . Координати $A (0; 6)$ і $C (8; 6)$ .
$x_{E} = \frac{0 + 8}{2} = 4, y_{E} = \frac{6 + 6}{2} = 6$
Отже, $E (4; 6)$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{D E}$ , де $D (8; 0)$ і $E (4; 6)$ .
$x_{\overline{D E}} = 4 - 8 = - 4$
$y_{\overline{D E}} = 6 - 0 = 6$
Знайдемо координати вектора $\overline{E O}$ , де $E (4; 6)$ і $O (0; 0)$ .
$x_{\overline{E O}} = 0 - 4 = - 4$
$y_{\overline{E O}} = 0 - 6 = - 6$

Відповідь:

$\overline{D E} (- 4; 6)$ , $\overline{E O} (- 4; - 6)$ .

Завдання 13.22

Знаходження координат вектора за модулем

Модуль вектора $a$ дорівнює $10$ ( $∣ a ∣ = 10$ ). Його перша координата на $2$ більша за другу. Знайти координати вектора $a$ .

Розв’язання

Нехай друга координата вектора дорівнює $y$ , тоді перша координата дорівнює $x = y + 2$ .
Запишемо рівняння для модуля вектора: $(y + 2)^{2} + y^{2} = 10$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату та розкриємо дужки: $(y + 2)^{2} + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} = 100 \Rightarrow 2 y^{2} + 4 y - 96 = 0$ .
Розділимо рівняння на $2$ : $y^{2} + 2 y - 48 = 0$ . Знайдемо корені: $(y + 8) (y - 6) = 0$ , отже $y_{1} = - 8$ або $y_{2} = 6$ .
Знайдемо відповідні значення для $x$ :
Якщо $y = - 8$ , то $x = - 8 + 2 = - 6$ . Вектор $a (- 6; - 8)$ .
Якщо $y = 6$ , то $x = 6 + 2 = 8$ . Вектор $a (8; 6)$ .

Відповідь:

$a (- 6; - 8)$ або $a (8; 6)$ .

Завдання 13.23

Знаходження координат вектора за модулем та умовою рівності

Модуль вектора $c$ дорівнює $2$ ( $∣ c ∣ = 2$ ). Його координати рівні. Знайти координати вектора $c$ .

Розв’язання

Нехай координати вектора $c$ дорівнюють $(x; x)$ .
Запишемо рівність для модуля: $x^{2} + x^{2} = 2 \Rightarrow 2 x^{2} = 2$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату: $2 x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 2$ .
Знайдемо корені рівняння: $x = 2$ або $x = - 2$ .
Запишемо координати вектора для обох випадків.

Відповідь:

$c (2; 2)$ або $c (- 2; - 2)$ .

Завдання 13.24

Координати вершин прямокутника

Дано точки $A (2; 5)$ і $B (7; 5)$ — сусідні вершини прямокутника $A B C D$ . Відомо, що довжина діагоналі $B D$ дорівнює $13$ . Потрібно знайти координати точок $C$ і $D$ .

Розв’язання

Оскільки точки $A (2; 5)$ і $B (7; 5)$ мають однакову ординату ( $y = 5$ ), відрізок $A B$ паралельний осі $O x$ . Довжина сторони $A B = ∣7 - 2∣ = 5$ .
Нехай координати точки $D (x_{D}; y_{D})$ . Оскільки $A D ⊥ A B$ , то точка $D$ лежить на прямій $x = 2$ . Тоді довжина $A D = ∣ y_{D} - 5∣$ .
У прямокутному трикутнику $A B D$ за теоремою Піфагора: $A D^{2} + A B^{2} = B D^{2}$ . Підставимо відомі значення: $(y_{D} - 5)^{2} + 5^{2} = 1 3^{2}$ .
Розв'яжемо рівняння: $(y_{D} - 5)^{2} + 25 = 169 \Rightarrow (y_{D} - 5)^{2} = 144 \Rightarrow y_{D} - 5 = \pm 12$ . Отримуємо два варіанти для $y_{D}$ : $17$ або $- 7$ .
Знайдемо координати точки $C$ . Оскільки $A B C D$ — прямокутник, координати $C (x_{C}; y_{C})$ можна знайти як $(x_{B} + x_{D} - x_{A}; y_{B} + y_{D} - y_{A}) = (7 + 2 - 2; 5 + y_{D} - 5) = (7; y_{D})$ .

Відповідь:

Дві можливі системи координат для точок $C$ і $D$ :
1) $D (2; 17)$ , $C (7; 17)$ ;
2) $D (2; - 7)$ , $C (7; - 7)$ .

Завдання 13.25

Координати вершин прямокутника

Дано точки $A (1; 2)$ і $D (1; - 6)$ — сусідні вершини прямокутника $A B C D$ . Відомо, що довжина діагоналі $A C$ дорівнює $17$ . Потрібно знайти координати точок $B$ і $C$ .

Розв’язання

Довжина сторони $A D = ∣2 - (- 6) ∣ = 8$ . Оскільки $A B C D$ — прямокутник, кут $D$ прямий, тому $△ A D C$ є прямокутним.
За теоремою Піфагора для трикутника $A D C$ : $A D^{2} + C D^{2} = A C^{2}$ . Підставимо значення: $8^{2} + C D^{2} = 1 7^{2} \Rightarrow 64 + C D^{2} = 289 \Rightarrow C D^{2} = 225 \Rightarrow C D = 15$ .
Оскільки $C D$ горизонтальна (паралельна осі $O x$ ), координата $y$ точки $C$ дорівнює $- 6$ . Координата $x$ точки $C$ може бути на $15$ одиниць праворуч або ліворуч від $D (1; - 6)$ .
Знайдемо координати $C$ : $x_{C} = 1 + 15 = 16$ або $x_{C} = 1 - 15 = - 14$ . Точки $C_{1} (16; - 6)$ або $C_{2} (- 14; - 6)$ .
Знайдемо координати точки $B$ . Оскільки $A B$ паралельна $C D$ , то $y_{B} = y_{A} = 2$ . Координата $x_{B}$ дорівнює $x_{C}$ . Отже, $B_{1} (16; 2)$ або $B_{2} (- 14; 2)$ .

Відповідь:

Дві можливі системи координат для точок $B$ і $C$ :
1) $B (16; 2)$ , $C (16; - 6)$ ;
2) $B (- 14; 2)$ , $C (- 14; - 6)$ .

Завдання 13.26

Вид чотирикутника за властивостями трикутників

Два рівних рівнобедрених трикутники $A D B$ і $C B D$ мають спільну бічну сторону $B D$ . Відомо, що $A B = B D = C D$ . Потрібно визначити вид чотирикутника $A B C D$ .

Розв’язання

За умовою трикутники $A D B$ і $C B D$ рівні ( $△ A D B ≅ △ C B D$ ). Звідси випливає, що відповідні сторони рівні: $A D = C B$ і $A B = C D$ .
Оскільки протилежні сторони чотирикутника $A B C D$ рівні ( $A D = C B$ і $A B = C D$ ), то за ознакою паралелограма $A B C D$ є паралелограмом.
За умовою також відомо, що $A B = B D$ . Оскільки $B D = C D$ (за умовою рівності трикутників або прямої в умові $A B = B D = C D$ ), то сусідні сторони ромба $A B$ і $B C$ (де $B C = A D$ , а з рівності трикутників $A D = C B$ ) — тут важливо звернути увагу на умову $A B = B D = C D$ .
Перевіримо сторони: $A B = C D$ (протилежні), $A D = C B$ (з рівності трикутників). Також за умовою $A B = B D$ . Якщо $B D = C D$ , то в ромбі сусідні сторони рівні ( $A B = B C$ ? Ні, умова $A B = B D = C D$ означає $A B = C D$ і $B D = C D$ . Оскільки $A D = C B$ з рівності трикутників, а $B D$ — спільна сторона. Якщо $A B = B D$ , то $A B = B D = C D$ . З рівності трикутників $A D = C B$ . Чотирикутник має дві пари рівних протилежних сторін ( $A B = C D$ і $A D = B C$ ), отже, це паралелограм.
Оскільки в умові зазначено $A B = B D = C D$ , а з рівності трикутників $A D = C B$ , то всі чотири сторони $A B, B C, C D, D A$ не обов'язково рівні одне одному просто так, але якщо $A B = B D$ і $B D = C D$ , то $A B = C D$ . З рівності трикутників $A D = C B$ . Якщо це паралелограм, де одна пара протилежних сторін ( $A B, C D$ ) рівна, а інша ( $A D, C B$ ) теж рівна. Але умова $A B = B D = C D$ вказує на те, що $A B = C D$ і $B D = C D$ . Якщо трикутники рівні, то $A D = C B$ . Отже, ми маємо паралелограм. Чи ромб? Якщо $A B = B D$ , а $B D$ не є стороною чотирикутника, це діагональ. Умова $A B = B D = C D$ означає, що сторона $A B$ дорівнює діагоналі $B D$ і стороні $C D$ . Це не обов'язково ромб, якщо $A D \neq = A B$ . Але зазвичай такі умови в підручниках ведуть до ромба або трапеції. Перевіримо ще раз: $△ A D B ≅ △ C B D \Rightarrow A D = C B$ і $A B = C D$ . Отже, протилежні сторони рівні — це паралелограм.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом (або ромбом, якщо врахувати додаткові властивості рівності діагоналі та сторін, але базовий висновок — паралелограм).

Завдання 13.27

Сторони трикутника за периметром і бісектрисою

Периметр $P = 48 см$ . Бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки $m = 5 см$ та $n = 15 см$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони, на яку ділить бісектриса: $c = 5 + 15 = 20 см$ .
За властивістю бісектриси маємо пропорцію $\frac{a}{b} = \frac{15}{5}$ , звідки $a = 3 b$ .
Складіть рівняння для периметру: $a + b + c = 48$ , підставте відомі значення ( $3 b + b + 20 = 48$ ).
Розв'яжіть рівняння щодо $b$ : $4 b = 28 \Rightarrow b = 7 см$ .
Знайдіть $a$ : $a = 3 \cdot 7 = 21 см$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $21 см$ , $7 см$ та $20 см$ .

Завдання 13.28

Можливість вирізання кіл з квадрата

Квадрат зі стороною $10 см$ . Потрібно вирізати кілька кругів, сума діаметрів яких більша за $5 м$ ( $500 см$ ).

Розв’язання

Переведемо одиниці виміру: $5 м = 500 см$ .
Знайдемо площу квадрата: $S_{квадрат} = 10 \cdot 10 = 100 см^{2}$ .
Оцінимо мінімальну площу кіл, сума діаметрів яких $500 см$ . Навіть якщо взяти один круг з діаметром $500 см$ , його радіус $R = 250 см$ , і площа буде $S_{круг} = π R^{2} = π \cdot 25 0^{2} \approx 196350 см^{2}$ .
Порівняй площі: $196350 > 100$ . Навіть найменший круг із такої групи в 1963 рази більший за квадрат.

Відповідь:

Ні, вирізати такі круги неможливо, оскільки площа одного такого круга (або кількох разом) значно перевищує площу квадрата.

Сторінка 159

Завдання 14.1

Побудова суми векторів правилом трикутника

За допомогою правила трикутника побудувати суму векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.11 (підпункти а, б, в, г).

Розв’язання

Розглянемо підпункт а): Червоний вектор $b$ починається в точці, де закінчується синій вектор $a$ . Сумою буде вектор від початку синього до кінця червоного (візуально це діагональ трикутника).
Аналогічно для підпунктів б), в) та г): перекладіть вектори так, щоб кінець одного збігався з початком іншого, і проведіть третю сторону трикутника.

Відповідь:

Суми векторів побудовані візуально на рисунках (а–г) як діагоналі утворених трикутників; конкретні вектори-суми з'єднують початок першого вектора з кінцем другого після їхнього прикладання.

Завдання 14.2

Побудова суми векторів правилом трикутника (другий набір)

За допомогою правила трикутника побудувати суму векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.12 (підпункти а, б, в).

Розв’язання

Підпункт а): Переміщуємо вектор $b$ паралельно самому собі до точки кінця вектора $a$ . Сумою є вектор, що сполучає початок $a$ з новою точкою кінця $b$ .
Підпункт б): Вектори спрямовані в різні боки; прикладання $b$ до кінця $a$ дає вектор, що йде назад від початку $a$ .
Підпункт в): Вектори утворюють гострий кут; сума буде діагоналлю трикутника, що йде вгору-вправо.

Відповідь:

Суми векторів побудовані відповідно до правила трикутника для кожного випадку на рисунку 14.12.

Завдання 14.3

Побудова суми векторів правилом паралелограма

За допомогою правила паралелограма побудувати суму векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.11, а та б.

Розв’язання

Підпункт а): Проводимо лінії, паралельні векторам $a$ і $b$ , щоб утворити паралелограм. Сумою буде діагональ, що виходить з початку векторів.
Підпункт б): Аналогічно будуємо паралелограм для векторів $a$ і $b$ . Діагональ від спільного початку до протилежного вершини є шуканою сумою.

Відповідь:

Суми векторів побудовані як діагоналі паралелограмів, утворених векторами $a$ і $b$ на рисунку 14.11 (а) та (б).

Завдання 14.4

Побудова суми векторів правилом паралелограма

За допомогою правила паралелограма побудувати суму векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.12 (пункти а та б).

Розв’язання

Для випадку а: Побудуйте паралелограм на векторах $a$ та $b$ з рисунка 14.12, а і проведіть діагональ від спільної точки початків до протилежного кута.
Для випадку б: Побудуйте паралелограм на векторах $a$ та $b$ з рисунка 14.12, б і проведіть діагональ від спільної точки початків до протилежного кута.

Відповідь:

Сума векторів побудована як діагональ паралелограма (визначити візуально на малюнку).

Сторінка 160

Завдання 14.5

Побудова різниці векторів

Побудувати різницю векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.11 (де $a$ — синій вектор, що йде вгору-вправо, а $b$ — червоний горизонтальний вектор).

Розв’язання

Побудуйте вектор $- b$ , відкладши його від кінця вектора $a$ . Оскільки $b$ спрямований вправо, то $- b$ спрямовуватиметься вліво.
Проведіть діагональ трикутника, утвореного цими векторами, починаючи від початку $a$ . Це і є шукана різниця.

Відповідь:

Вектор, що з'єднує початок $a$ з кінцем $- b$ (спрямований вниз-вліво).

Завдання 14.6

Побудова різниці векторів

Побудувати різницю векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.12 (де $a$ — червоний вектор, що йде вниз-вправо, а $b$ — синій вектор, що йде вгору-вправо).

Розв’язання

Відкладіть від кінця вектора $a$ вектор $- b$ , який спрямований протилежно до $b$ .
Вектор, що з'єднує початок $a$ з кінцем вектора $- b$ , є шуканою різницею $a - b$ .

Відповідь:

Вектор, спрямований вниз-вправо (якщо $b$ йде вгору-вправо).

Завдання 14.7

Побудова протилежних векторів

Накреслити трикутник $A B C$ . Від точки $A$ відкласти вектори, протилежні до: 1) $A B$ ; 2) $C A$ ; 3) $B C$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Вектор $- A B$ починається в точці $A$ і спрямований навпроти вектора $A B$ (в бік точки, що лежить на продовженні відрізка $B A$ ).
Для пункту 2: Вектор $- C A$ починається в точці $A$ . Оскільки $C A$ йде від $C$ до $A$ , то $- C A$ (який дорівнює $A C$ ) спрямований від $A$ до $C$ .
Для пункту 3: Вектор $- B C$ починається в точці $A$ . Оскільки $B C$ паралельний стороні $A C$ (якщо розглядати як вектор на площині), то $- B C$ має протилежний напрямок до $B C$ .

Відповідь:

1) Вектор від $A$ у напрямку, протилежному до $B$ ; 2) Вектор $A C$ (від $A$ до $C$ ); 3) Вектор, паралельний стороні $B C$ , спрямований навпроти руху від $B$ до $C$ .

Завдання 14.8

Побудова суми векторів у паралелограмі

Накреслити паралелограм $A B C D$ . Побудувати вектори: 1) $B C + B A$ ; 2) $B C + D C$ ; 3) $B C + C A$ ; 4) $B C + A D$ ; 5) $A C + D B$ .

Розв’язання

Накресліть довільний паралелограм $A B C D$ .
Для кожного пункту знайдіть еквівалентні вектори (наприклад, $D C = A B$ ) і зобразьте суму за правилом трикутника або побудуйте діагональ відповідного паралелограма/трикутника.
Для пункту 5 ( $A C + D B$ ) врахуйте, що $D B = - B D$ , і побудуйте різницю діагоналей.

Відповідь:

Вектори-суми зображуються як діагоналі трикутників або паралелограмів, утворених точками $A, B, C, D$ . Конкретні вектори: 1) $B D$ ; 2) $A C$ ; 3) $B A$ ; 4) $B B$ (нуль-вектор); 5) Вектор, що дорівнює сумі діагоналей.

Завдання 14.9

Побудова суми векторів у трикутнику

Накреслити трикутник $M N P$ . Побудувати вектори: 1) $M P + P N$ ; 2) $M N + P N$ ; 3) $M N + M P$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $M P + P N$ ): оскільки $M P + P N = M N$ , побудуйте вектор $M N$ .
Для пункту 2 ( $M N + P N$ ): перенесіть вектор $P N$ на початок $M$ (отримаємо $M N^{'}$ , де $N^{'}$ — точка, симетрична $N$ відносно $P$ ) або скористайтеся правилом паралелограма для точок $M, N, P$ .
Для пункту 3 ( $M N + M P$ ): побудуйте діагональ паралелограма, сторони якого $M N$ і $M P$ (це вектор від $M$ до точки перетину продовжень).

Відповідь:

1) Вектор $M N$ ; 2) Діагональ паралелограма, побудованого на сторонах $M N$ і $P N$ (перенесених); 3) Діагональ паралелограма, побудованого на сторонах $M N$ і $M P$ .

Завдання 14.10

Побудова різниці векторів у паралелограмі

Накреслити паралелограм $A B C D$ . Побудувати вектори: 1) $B A - B C$ ; 2) $B A - D A$ ; 3) $B A - A D$ ; 4) $A C - D B$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $B A - B C$ ): замінюємо на $B A + C B = C A$ . Побудуйте вектор $C A$ .
Для пункту 2 ( $B A - D A$ ): оскільки $D A = C B$ , то $B A - C B = B A + B C$ . Побудуйте діагональ паралелограма від $B$ до точки перетину продовжень.
Для пункту 3 ( $B A - A D$ ): оскільки $A D = B C$ , то це $B A - B C = C A$ .
Для пункту 4 ( $A C - D B$ ): оскільки $D B = - B D$ , то це $A C + B D$ . Побудуйте діагональ паралелограма, побудованого на векторах $A C$ і $B D$ .

Відповідь:

1) Вектор $C A$ ; 2) Діагональ паралелограма, що виходить з точки $B$ (сума $B A$ і $B C$ ); 3) Вектор $C A$ ; 4) Сума діагоналей $A C$ і $B D$ .

Завдання 14.11

Побудова різниці векторів у трикутнику

Накреслити трикутник $A B C$ . Побудувати вектори: 1) $\overline{A C} - \overline{C B}$ ; 2) $\overline{C A} - \overline{C B}$ ; 3) $\overline{B C} - \overline{C A}$ .

Розв’язання

Пункт 1): $\overline{A C} - \overline{C B} = \overline{A C} + \overline{B C}$ . За правилом трикутника сума цих векторів дорівнює вектору $\overline{A B}$ . Отже, потрібно побудувати вектор $\overline{A B}$ .
Пункт 2): $\overline{C A} - \overline{C B} = \overline{C A} + \overline{B C} = \overline{B A}$ . Потрібно побудувати вектор $\overline{B A}$ .
Пункт 3): $\overline{B C} - \overline{C A} = \overline{B C} + \overline{A C} = \overline{B A}$ . Потрібно побудувати вектор $\overline{B A}$ .

Відповідь:

1) $\overline{A B}$ ; 2) $\overline{B A}$ ; 3) $\overline{B A}$ .

Завдання 14.12

Побудова суми векторів у чотирикутнику

Позначити чотири точки $M, N, P$ і $Q$ . Побудувати вектор $\overline{M N} + \overline{N P} + \overline{P Q}$ .

Розв’язання

Спочатку додаємо $\overline{M N}$ і $\overline{N P}$ , отримуючи вектор $\overline{M P}$ .
Потім додаємо результат до $\overline{P Q}$ : $\overline{M P} + \overline{P Q} = \overline{M Q}$ .

Відповідь:

Побудувати вектор $\overline{M Q}$ .

Завдання 14.13

Побудова суми та різниці векторів за малюнком

Для векторів $a, b$ і $c$ , зображених на рисунку 14.13 (де $a$ — синій вектор вгору-вправо, $b$ — червоний вектор вправо, $c$ — зелений вектор вгору-вправо), побудувати: 1) $a + b + c$ ; 2) $- a + b + c$ .

Розв’язання

Побудуємо $a + b + c$ . Від точки початку вектора $a$ відкладаємо вектор $b$ , а від його кінця — вектор $c$ . Вектор суми з'єднує початок першого ( $a$ ) з кінцем останнього ( $c$ ).
Побудуємо $- a + b + c$ . Спочатку знаходимо вектор $- a$ (він має такий самий модуль, що й $a$ , але спрямований вниз-вліво). Потім від точки початку $- a$ відкладаємо $b$ , а потім $c$ . Вектор суми з'єднує початок $- a$ з кінцем $c$ .

Відповідь:

1) Побудований вектор від початку $a$ до кінця $c$ ; 2) Побудований вектор від початку $- a$ до кінця $c$ .

Завдання 14.14

Побудова векторної суми та різниці

Для векторів $a$ , $b$ і $c$ , зображених на рисунку 14.14 (де $a$ — синій, $b$ — червоний, $c$ — зелений), побудувати вектори:
1) $a + b + c$ ;
2) $a + b - c$ .

Розв’язання

Побудуйте вектор $s_{1} = a + b$ , переносячи кінець $a$ у початок $b$ .
Для пункту 1: Перенесіть вектор $c$ так, щоб його початок був у кінці $s_{1}$ , і проведіть вектор від початку $a$ до кінця $c$ .
Для пункту 2: Побудуйте протилежний вектор $- c$ (одинаковий за довжиною, але зворотний за напрямком). Перенесіть його від кінця $s_{1}$ і проведіть вектор від початку $a$ до нового кінця.

Відповідь:

1) Вектор $A C^{'}$ , що з'єднує початок $a$ з точкою, в якій закінчується $c$ . 2) Вектор $A C^{''}$ , що з'єднує початок $a$ з точкою, в якій закінчується $- c$ .

Завдання 14.15

Побудова векторів із заданим співвідношенням суми

Від однієї точки відкласти три вектори однакової довжини (модулі рівні), так щоб сума двох з них дорівнювала третьому.

Розв’язання

Від точки $O$ відкладіть перший вектор $a$ довжиною $l$ .
Від кінця цього вектора відкладіть другий вектор $b$ також довжиною $l$ .
З'єднайте початок першого вектора з кінцем другого — це і буде третій вектор $c$ .
Перевірте, що сума $a + b$ (за правилом трикутника) дорівнює $c$ , і що всі сторони рівні.

Відповідь:

Три вектори утворюють рівносторонній трикутник, відкладений від однієї точки; сума двох перших векторів (які є сторонами) дорівнює третьому (який є третьою стороною).

Завдання 14.16

Побудова замкненого трикутника з рівними векторами

Від однієї точки відкласти три вектори однакової довжини, так щоб їхня сума дорівнювала нуль-вектору ( $0$ ).

Розв’язання

Від точки $O$ відкладіть перший вектор $a$ .
Від кінця $a$ відкладіть другий вектор $b$ однакової довжини.
Від кінця $b$ відкладіть третій вектор $c$ такої ж довжини, щоб його кінець збігся з точкою $O$ .
Отриманий набір векторів задовольняє умову: $a + b + c = 0$ .

Відповідь:

Три вектори утворюють рівносторонній трикутник, відкладений послідовно; їхня сума дорівнює нуль-вектору.

Сторінка 161

Завдання 14.17

Визначення суми та різниці векторів за рисунком

Розглянути рисунок 14.15, де зображено п'ять випадків складання векторів $a$ , $b$ та $c$ . Потрібно вказати, у яких випадках (а, б, в, г, д) вектор $c$ є: 1) сумою векторів $a$ і $b$ ; 2) різницею векторів $a$ і $b$ .

Розв’язання

Проаналізуємо випадок а): Вектори $a$ і $b$ відкладені послідовно, $c$ з'єднує їхні початок і кінець. Це сума: $c = a + b$ .
Проаналізуємо випадок б): Вектори $a$ і $b$ відкладені послідовно, але напрямок стрілки $c$ протилежний сумі. Це різниця: $c = a - b$ .
Проаналізуємо випадок в): Вектори $a$ і $b$ відкладені послідовно, $c$ є сумою: $c = a + b$ .
Проаналізуємо випадок г): Вектори $a$ і $b$ відкладені від однієї точки, $c$ з'єднує їхні кінці. За правилом трикутника для різниці: $c = a - b$ .
Проаналізуємо випадок д): Вектори $a$ і $b$ відкладені від однієї точки, але напрямок стрілки $c$ протилежний різниці. Це сума: $c = a + b$ .

Відповідь:

1) Сумою є вектор $c$ у випадках а), в), д); 2) Різницею є вектор $c$ у випадках б), г).

Завдання 14.18

Знаходження суми векторів за правилом трикутника

Дано точки $A, B, C, E, F$ та $M, K, O, T$ . Потрібно знайти суму векторів: 1) $\overline{A C} + \overline{C E} + \overline{E F}$ ; 2) $\overline{M K} + \overline{K O} + \overline{O T} + \overline{T A}$ .

Розв’язання

Для першої суми $\overline{A C} + \overline{C E} + \overline{E F}$ сполучимо кінець першого вектора з початком наступного: $\overline{A C} + \overline{C E} = \overline{A E}$ .
Додамо третій вектор до отриманого результату: $\overline{A E} + \overline{E F} = \overline{A F}$ .
Для другої суми $\overline{M K} + \overline{K O} + \overline{O T} + \overline{T A}$ послідовно додаємо вектори: $\overline{M K} + \overline{K O} = \overline{M O}$ , потім $\overline{M O} + \overline{O T} = \overline{M T}$ , і нарешті $\overline{M T} + \overline{T A} = \overline{M A}$ .

Відповідь:

1) $\overline{A F}$ ; 2) $\overline{M A}$ .

Завдання 14.19

Знаходження різниці векторів за правилом трикутника

Дано точки $C, E, F$ та $K, A, D$ . Потрібно знайти різницю векторів: 1) $\overline{C E} - \overline{C F}$ ; 2) $\overline{K A} - \overline{K D}$ .

Розв’язання

Для різниці $\overline{C E} - \overline{C F}$ використовуємо властивість: $\overline{C E} + \overline{F E} = \overline{C F}$ , звідки $\overline{C E} - \overline{C F} = \overline{C E} + \overline{E F} = \overline{E F}$ . Або безпосередньо: вектор від кінця $F$ до кінця $E$ , тобто $\overline{F E}$ .
Для різниці $\overline{K A} - \overline{K D}$ аналогічно: це вектор від кінця $D$ до кінця $A$ , тобто $\overline{D A}$ .

Відповідь:

1) $\overline{F E}$ ; 2) $\overline{D A}$ .

Завдання 14.20

Вираз вектора через інші

Дано трикутник $A B C$ . Потрібно виразити вектор $\overline{B C}$ через: 1) вектори $\overline{C A}$ і $\overline{A B}$ ; 2) вектори $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ .

Розв’язання

Запишемо правило додавання для замкненого трикутника: $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C A} = \overline{0}$ . Звідси $\overline{B C} = - \overline{A B} - \overline{C A} = \overline{B A} + \overline{A C}$ .
Для пункту 1: $\overline{B C} = \overline{B A} + \overline{A C}$ . Оскільки $\overline{B A} = - \overline{A B}$ , то $\overline{B C} = - \overline{A B} + \overline{A C}$ .
Для пункту 2: Використовуємо правило віднімання $\overline{A C} - \overline{A B} = \overline{B C}$ .

Відповідь:

1) $\overline{B C} = \overline{A C} - \overline{A B}$ ; 2) $\overline{B C} = \overline{A C} - \overline{A B}$ .

Завдання 14.21

Доведення векторних рівностей

Для будь-яких точок $A, B, C$ і $D$ довести рівності: 1) $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A D} + \overline{D C}$ ; 2) $\overline{C A} - \overline{C B} = \overline{D A} - \overline{D B}$ ; 3) $\overline{A C} + \overline{C B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Зліва маємо $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A C}$ . Справа маємо $\overline{A D} + \overline{D C} = \overline{A C}$ . Отже, рівність виконується.
Для пункту 2: Зліва $\overline{C A} - \overline{C B} = \overline{B A}$ (віднімаємо спільну точку $C$ ). Справа $\overline{D A} - \overline{D B} = \overline{B A}$ (віднімаємо спільну точку $B$ ). Рівність виконується.
Для пункту 3: Перенесемо $- \overline{A D}$ вліво, отримаємо $\overline{A C} + \overline{C B} + \overline{D A} = \overline{D B}$ . Згрупуємо: $(\overline{A C} + \overline{C B}) + \overline{D A} = \overline{A B} + \overline{D A} = \overline{A D}$ ? Ні, перевіримо інше групування. $\overline{A C} + \overline{C B} = \overline{A B}$ . Тоді рівність стає $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ . Це вірно, оскільки $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ .

Відповідь:

1) Доведено; 2) Доведено; 3) Доведено.

Завдання 14.22

Доведення векторних рівностей

Для будь-яких точок $A, B, C$ і $D$ довести рівності: 1) $\overline{B A} + \overline{A C} = \overline{B D} + \overline{D C}$ ; 2) $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{C B} - \overline{C D}$ ; 3) $\overline{B A} - \overline{B D} + \overline{A C} = \overline{D C}$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Зліва $\overline{B A} + \overline{A C} = \overline{B C}$ . Справа $\overline{B D} + \overline{D C} = \overline{B C}$ . Отже, $\overline{B C} = \overline{B C}$ , що вірно.
Для пункту 2: Зліва $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ . Справа $\overline{C B} - \overline{C D} = \overline{D B}$ . Отже, рівність виконується.
Для пункту 3: Перенесемо $- \overline{B D}$ вправо як $+ \overline{D B}$ , отримаємо $\overline{B A} + \overline{A C} = \overline{D C} + \overline{D B}$ . Це не збігається. Спробуємо інший шлях: $\overline{B A} - \overline{B D} = \overline{D A}$ . Тоді рівність стає $\overline{D A} + \overline{A C} = \overline{D C}$ . Це вірно за правило трикутника $D - A - C$ .

Відповідь:

1) Доведено; 2) Доведено; 3) Доведено.

Завдання 14.23

Сума векторів у рівносторонньому трикутнику

Сторона рівностороннього трикутника $A B C$ дорівнює $3 см$ . Знайти довжину вектора $\overline{A B} + \overline{B C}$ .

Розв’язання

За правилом трикутника $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A C}$ .
Оскільки трикутник $A B C$ рівносторонній, то всі його сторони рівні: $∣ \overline{A C} ∣ = ∣ \overline{A B} ∣ = 3 см$ .

Відповідь:

$3 см$

Завдання 14.24

Сума векторів у прямокутному трикутнику

Катет рівнобедреного прямокутного трикутника $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) дорівнює $4 см$ . Знайти довжину вектора $\overline{A C} + \overline{C B}$ .

Розв’язання

За умовою $∣ \overline{A C} ∣ = 4 см$ і $∣ \overline{C B} ∣ = 4 см$ .
Знайдемо гіпотенузу за теоремою Піфагора: $∣ \overline{A B} ∣ = A C^{2} + C B^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 32 = 42 см$ .

Відповідь:

$42 см$

Завдання 14.25

Сума векторів до вершин паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Довести, що $\overline{O A} + \overline{O B} + \overline{O C} + \overline{O D} = 0$ .

Розв’язання

Оскільки $O$ — середина $A C$ , то $\overline{O A} + \overline{O C} = 0$ .
Оскільки $O$ — середина $B D$ , то $\overline{O B} + \overline{O D} = 0$ .
Додамо отримані рівності: $(\overline{O A} + \overline{O C}) + (\overline{O B} + \overline{O D}) = 0 + 0 = 0$ .

Відповідь:

$\overline{O A} + \overline{O B} + \overline{O C} + \overline{O D} = 0$

Сторінка 162

Завдання 14.26

Сума і різниця векторів за координатами

Знайти суму ( $a + b$ ) та різницю ( $a - b$ ) для пар векторів:
1) $a (4; 8)$ і $b (2; 3)$ ;
2) $a (- 6; 0)$ і $b (5; 7)$ ;
3) $a (3; 9)$ і $b (- 1; - 1)$ ;
4) $a (- 2; - 3)$ і $b (- 4; - 2)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $a + b = (4 + 2; 8 + 3) = (6; 11)$ ; $a - b = (4 - 2; 8 - 3) = (2; 5)$ .
Для пункту 2: $a + b = (- 6 + 5; 0 + 7) = (- 1; 7)$ ; $a - b = (- 6 - 5; 0 - 7) = (- 11; - 7)$ .
Для пункту 3: $a + b = (3 + (- 1); 9 + (- 1)) = (2; 8)$ ; $a - b = (3 - (- 1); 9 - (- 1)) = (4; 10)$ .
Для пункту 4: $a + b = (- 2 + (- 4); - 3 + (- 2)) = (- 6; - 5)$ ; $a - b = (- 2 - (- 4); - 3 - (- 2)) = (2; - 1)$ .

Відповідь:

1) $(6; 11), (2; 5)$ ; 2) $(- 1; 7), (- 11; - 7)$ ; 3) $(2; 8), (4; 10)$ ; 4) $(- 6; - 5), (2; - 1)$ .

Завдання 14.27

Сума і різниця векторів за координатами

Знайти суму ( $m + n$ ) та різницю ( $m - n$ ) для пар векторів:
1) $m (- 5; 4)$ і $n (3; 7)$ ;
2) $m (1; - 9)$ і $n (- 8; 10)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $m + n = (- 5 + 3; 4 + 7) = (- 2; 11)$ ; $m - n = (- 5 - 3; 4 - 7) = (- 8; - 3)$ .
Для пункту 2: $m + n = (1 + (- 8); - 9 + 10) = (- 7; 1)$ ; $m - n = (1 - (- 8); - 9 - 10) = (9; - 19)$ .

Відповідь:

1) $(- 2; 11), (- 8; - 3)$ ; 2) $(- 7; 1), (9; - 19)$ .

Завдання 14.28

Вектори за координатами точок

Дано точки $A (1; - 3)$ , $B (4; 5)$ , $C (- 2; - 1)$ і $D (3; 0)$ . Знайти:
1) координати векторів $A B + C D$ і $A B - C D$ ;
2) довжини (модулі) цих векторів.

Розв’язання

Знаходимо координати векторів: $A B = (4 - 1; 5 - (- 3)) = (3; 8)$ ; $C D = (3 - (- 2); 0 - (- 1)) = (5; 1)$ .
Знаходимо координати суми та різниці: $A B + C D = (3 + 5; 8 + 1) = (8; 9)$ ; $A B - C D = (3 - 5; 8 - 1) = (- 2; 7)$ .
Знаходимо довжини: $∣ A B + C D ∣ = 8^{2} + 9^{2} = 64 + 81 = 145$ ; $∣ A B - C D ∣ = (- 2)^{2} + 7^{2} = 4 + 49 = 53$ .

Відповідь:

1) $(8; 9), (- 2; 7)$ ; 2) $145, 53$ .

Завдання 14.29

Координати суми та різниці векторів

Дано вектори $a (4; - 5)$ і $b (- 1; 7)$ . Знайти: 1) координати векторів $a + b$ і $a - b$ ; 2) модулі $∣ a + b ∣$ і $∣ a - b ∣$ .

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $a + b$ : $x = 4 + (- 1) = 3$ , $y = - 5 + 7 = 2$ . Отже, $a + b (3; 2)$ .
Знайдемо координати вектора $a - b$ : $x = 4 - (- 1) = 5$ , $y = - 5 - 7 = - 12$ . Отже, $a - b (5; - 12)$ .
Обчислимо модуль вектора $a + b$ : $∣ a + b ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$ .
Обчислимо модуль вектора $a - b$ : $∣ a - b ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .

Відповідь:

$a + b (3; 2)$ , $∣ a + b ∣ = 13$ ; $a - b (5; - 12)$ , $∣ a - b ∣ = 13$ .

Завдання 14.30

Знаходження невідомих координат вектора

Сума векторів $a (5; - 3)$ і $b (x; 4)$ дорівнює вектору $c (2; y)$ . Знайти $x$ і $y$ .

Розв’язання

Для першої координати: $5 + x = 2$ . Звідси $x = 2 - 5$ , отже $x = - 3$ .
Для другої координати: $- 3 + 4 = y$ . Отже $y = 1$ .

Відповідь:

$x = - 3$ , $y = 1$ .

Завдання 14.31

Знаходження невідомих координат вектора

Сума векторів $a (x; - 1)$ і $b (2; y)$ дорівнює вектору $c (- 3; 4)$ . Знайти $x$ і $y$ .

Розв’язання

Для першої координати: $x + 2 = - 3$ . Звідси $x = - 3 - 2$ , отже $x = - 5$ .
Для другої координати: $- 1 + y = 4$ . Звідси $y = 4 + 1$ , отже $y = 5$ .

Відповідь:

$x = - 5$ , $y = 5$ .

Завдання 14.32

Знаходження координат вектора при зміні напрямку

Дано вектор $\overline{M N} (3; - 5)$ . Знайти координати вектора $\overline{N M}$ .

Розв’язання

Координати вектора $\overline{N M}$ знаходимо як різницю координат відповідних точок, або просто змінюємо знаки координат вектора $\overline{M N}$ .
$x_{\overline{N M}} = - 3$ , $y_{\overline{N M}} = - (- 5) = 5$ .

Відповідь:

$\overline{N M} (- 3; 5)$

Завдання 14.33

Доведення того, що чотирикутник є паралелограмом

У чотирикутнику $A B C D$ і точці $O$ виконується рівність $\overline{O A} - \overline{O D} = \overline{O B} - \overline{O C}$ . Довести, що $A B C D$ — паралелограм.

Розв’язання

Запишемо рівність у вигляді: $\overline{O A} - \overline{O D} = \overline{O B} - \overline{O C}$ .
Перенесемо $\overline{O D}$ на праву частину, а $- \overline{O C}$ на ліву (або перетворимо різниці в суми): $\overline{O A} + \overline{D O} = \overline{O B} + \overline{C O}$ .
Використовуючи властивість додавання векторів, запишемо: $\overline{O A} - \overline{D O} = \overline{D A}$ та $\overline{O B} - \overline{O C} = \overline{C B}$ . Отже, $\overline{D A} = \overline{C B}$ .
Оскільки протилежні сторони $A D$ і $B C$ рівні як вектори (а отже, паралельні і однакової довжини), чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм

Завдання 14.34

Доведення властивості суми векторів на замкненому ланцюжку точок

Для будь-яких $n$ точок $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ довести рівність $\overline{A_{1} A_{2}} + \overline{A_{2} A_{3}} + \dots + \overline{A_{n - 1} A_{n}} = \overline{A_{1} A_{n}}$ .

Розв’язання

Запишемо ланцюжок векторів: $\overline{A_{1} A_{2}} + \overline{A_{2} A_{3}} + \dots + \overline{A_{n - 1} A_{n}}$ .
Згідно з правилом додавання векторів, сума двох послідовних векторів $\overline{X Y} + \overline{Y Z}$ дорівнює $\overline{X Z}$ .
По черзі застосовуємо це правило до всіх членів суми: спочатку $\overline{A_{1} A_{2}} + \overline{A_{2} A_{3}} = \overline{A_{1} A_{3}}$ , потім додаємо $\overline{A_{3} A_{4}}$ і так далі.
Останнім результатом залишається вектор від першої точки до останньої: $\overline{A_{1} A_{n}}$ .

Відповідь:

Рівність доведена

Завдання 14.35

Сума векторів у замкненому ланцюгу

Доведіть, що для будь-яких точок $A, B, C, D$ і $E$ виконується рівність $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D E} + \overline{E A} = \overline{0}$ .

Розв’язання

Застосуємо правило додавання векторів до перших двох членів: $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A C}$ .
Додамо отриманий результат до третього вектора: $\overline{A C} + \overline{C D} = \overline{A D}$ .
Продовжимо додавання: $\overline{A D} + \overline{D E} = \overline{A E}$ .
Додамо останній вектор: $\overline{A E} + \overline{E A} = \overline{0}$ (оскільки вектори $\overline{A E}$ та $\overline{E A}$ є протилежними).

Відповідь:

$\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D E} + \overline{E A} = \overline{0}$ (доведено).

Завдання 14.36

Вираз вектора через інші за замкненим контуром

На рисунку 14.16 зображено замкнений п'ятикутник $A B C D E$ , де сторони позначені векторами $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ . Необхідно виразити вектор $\overline{A B}$ через вектори $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ .

Розв’язання

Запишемо рівність для замкненого ланцюга: $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D E} + \overline{E A} = \overline{0}$ .
Підставимо позначення з рисунка: $\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d} + \overline{A B} = \overline{0}$ (враховуючи напрямок стрілок на малюнку).
Виразимо $\overline{A B}$ : $\overline{A B} = - (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d})$ .

Відповідь:

$\overline{A B} = - \overline{a} - \overline{b} - \overline{c} - \overline{d}$ .

Завдання 14.37

Вектори паралелограма через діагоналі

Дано паралелограм $A B C D$ . Знайти вирази для векторів $\overline{A B}$ , $\overline{B C}$ і $\overline{D A}$ через вектори $\overline{C A} = \overline{a}$ та $\overline{C D} = \overline{c}$ .

Розв’язання

Знайдемо вектор $\overline{D A}$ . Оскільки $\overline{C D} = \overline{c}$ , то $\overline{D A} = - \overline{C D} = - \overline{c}$ (бо в паралелограмі $\overline{D A}$ і $\overline{C D}$ утворюють кутовий трикутник з діагоналлю, але простіше: $\overline{C A} + \overline{A D} + \overline{D C} = 0$ ).
Перепишемо правило для паралелограма: $\overline{A B} = \overline{D C}$ і $\overline{B C} = \overline{A D}$ .
Виразимо $\overline{D A}$ через $\overline{C A}$ та $\overline{C D}$ : $\overline{C A} + \overline{A D} + \overline{D C} = \overline{0} \Rightarrow \overline{a} + \overline{A D} - \overline{c} = \overline{0} \Rightarrow \overline{A D} = \overline{c} - \overline{a}$ . Тоді $\overline{D A} = - \overline{A D} = \overline{a} - \overline{c}$ .
Знайдемо $\overline{A B}$ . Оскільки $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D A} = \overline{0}$ , а в паралелограмі $\overline{A B} = - \overline{D C} = - \overline{c}$ .
Перевіримо через діагональ: $\overline{C A} = \overline{C D} + \overline{D A} \Rightarrow \overline{a} = \overline{c} + \overline{D A} \Rightarrow \overline{D A} = \overline{a} - \overline{c}$ .
$\overline{A B}$ — це вектор, протилежний до $\overline{D C}$ . Оскільки $\overline{C D} = \overline{c}$ , то $\overline{D C} = - \overline{c}$ , отже $\overline{A B} = \overline{c}$ .
$\overline{B C}$ — це вектор, протилежний до $\overline{A D}$ . Оскільки $\overline{A D} = \overline{a} - \overline{c}$ (з рівняння діагоналі), то $\overline{B C} = - (\overline{a} - \overline{c}) = \overline{c} - \overline{a}$ .

Відповідь:

$\overline{A B} = \overline{c}$ , $\overline{B C} = \overline{c} - \overline{a}$ , $\overline{D A} = \overline{a} - \overline{c}$ .

Завдання 14.38

Вираз векторів через базисні

Дано паралелограм $A B C D$ . Потрібно виразити вектори $\overline{A C}$ , $\overline{B D}$ і $\overline{B C}$ через вектори $\overline{B A} = a$ і $\overline{D A} = b$ .

Розв’язання

Оскільки $\overline{D A} = b$ , то $\overline{A D} = - b$ . У паралелограмі $\overline{B C} = \overline{A D}$ , отже $\overline{B C} = - b$ .
Знайдемо $\overline{A C}$ . За правилом трикутника $\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{B C}$ . Оскільки $\overline{B A} = a$ , то $\overline{A B} = - a$ . Підставляємо: $\overline{A C} = - a + (- b) = - (a + b)$ .
Знайдемо $\overline{B D}$ . За правилом трикутника $\overline{B D} = \overline{B A} + \overline{A D}$ . Підставляємо відомі вектори: $\overline{B D} = a + (- b) = a - b$ .

Відповідь:

$\overline{A C} = - (a + b)$ , $\overline{B D} = a - b$ , $\overline{B C} = - b$ .

Сторінка 163

Завдання 14.39

Виразити вектори через базисні в паралелограмі

Дано паралелограм $A B C D$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B C}$ , $\overline{D C}$ і $\overline{D A}$ через вектори $\overline{A B} = a$ і $\overline{B D} = b$ .

Розв’язання

Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $\overline{B C} = \overline{A D}$ . Знайдемо $\overline{A D}$ через $\overline{A B}$ і $\overline{B D}$ : $\overline{A D} = \overline{A B} + \overline{B D} = a + b$ . Отже, $\overline{B C} = a + b$ .
Вектор $\overline{D C}$ є діагоналлю паралелограма, що сполучає точки $D$ і $C$ . За правилом трикутника для $△ B D C$ : $\overline{D C} = \overline{D B} + \overline{B C}$ . Оскільки $\overline{D B} = - b$ і ми знайшли $\overline{B C} = a + b$ , то $\overline{D C} = - b + (a + b) = a$ .
Вектор $\overline{D A}$ — це вектор від $D$ до $A$ , який є протилежним до $\overline{A D}$ . Оскільки $\overline{A D} = a + b$ , то $\overline{D A} = - (a + b) = - a - b$ .

Відповідь:

$\overline{B C} = a + b$ ; $\overline{D C} = a$ ; $\overline{D A} = - a - b$ .

Завдання 14.40

Виразити вектори через середини сторін трикутника

Точки $M$ і $N$ — середини відповідно сторін $B A$ і $B C$ трикутника $A B C$ . Потрібно виразити вектори $\overline{A M}$ , $\overline{N C}$ , $\overline{M N}$ і $\overline{N B}$ через вектори $\overline{B M} = m$ і $\overline{B N} = n$ .

Розв’язання

Оскільки $M$ — середина $B A$ , то $\overline{A M} = \overline{M B}$ . Вектор $\overline{B M} = m$ , отже $\overline{M B} = - m$ . Тоді $\overline{A M} = - m$ .
Оскільки $N$ — середина $B C$ , то $\overline{N C} = \overline{B N}$ . Вектор $\overline{B N} = n$ , отже $\overline{N C} = n$ .
Вектор $\overline{N B}$ є протилежним до $\overline{B N}$ , тому $\overline{N B} = - n$ .
Щоб знайти $\overline{M N}$ , скористаємося правилом трикутника для $△ M B N$ : $\overline{M N} = \overline{M B} + \overline{B N} = - m + n$ .

Відповідь:

$\overline{A M} = - m$ ; $\overline{N C} = n$ ; $\overline{M N} = n - m$ ; $\overline{N B} = - n$ .

Завдання 14.41

Виразити сторони паралелограма через вектори між серединами

У паралелограмі $A B C D$ точки $M, N$ і $K$ — середини відповідно сторін $A B$ , $B C$ і $C D$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B A}$ і $\overline{A D}$ через вектори $\overline{M N} = m$ і $\overline{K N} = n$ .

Розв’язання

Вектор $\overline{M N}$ з'єднує середини сторін $A B$ і $B C$ . За властивістю вектора, що з'єднує середини двох сторін трикутника (або паралелограма), $\overline{M N} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ . Але нам потрібно виразити через $m$ і $n$ .
Розглянемо вектор $\overline{B A}$ . Оскільки $M$ — середина $A B$ , то $\overline{B M} = \frac{1}{2} \overline{B A}$ . Також $\overline{M N} = \overline{M B} + \overline{B N}$ . Це складно. Спробуємо інший шлях: $\overline{M N} = \frac{1}{2} (\overline{A B} + \overline{B C})$ . Але нам треба $\overline{B A}$ і $\overline{A D}$ .
Використаємо властивість, що $\overline{M N} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ . Тоді $\overline{A C} = 2 m$ . Також $\overline{K N}$ з'єднує середини $C D$ і $B C$ , отже $\overline{K N} = \frac{1}{2} \overline{B D}$ . Тоді $\overline{B D} = 2 n$ .
Тепер виразимо сторони через діагоналі. У паралелограмі $\overline{B A} + \overline{B C} = \overline{A C}$ і $\overline{B A} - \overline{B C} = \overline{C A} = - \overline{A C}$ . Це не зовсім правильно для векторів. Правильніше: $\overline{A B} + \overline{A D} = \overline{A C}$ і $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B} = - \overline{B D}$ .
Позначимо $\overline{A B} = x$ , $\overline{A D} = y$ . Тоді $\overline{A C} = x + y = 2 m$ і $\overline{B D} = y - x = 2 n$ .
Розв'яжемо систему: $x + y = 2 m$ і $- x + y = 2 n$ . Додамо рівняння: $2 y = 2 (m + n) \Rightarrow y = m + n$ . Отже, $\overline{A D} = m + n$ . Віднімемо друге від першого: $2 x = 2 (m - n) \Rightarrow x = m - n$ . Тоді $\overline{A B} = m - n$ , а нам треба $\overline{B A} = - \overline{A B} = - (m - n) = n - m$ .

Відповідь:

$\overline{B A} = n - m$ ; $\overline{A D} = m + n$ .

Завдання 14.42

Вираз векторів через діагоналі паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B A}$ і $\overline{A D}$ через вектори $\overline{D O} = a$ і $\overline{O C} = b$ .

Розв’язання

Оскільки $O$ — середина діагоналі $B D$ , то $\overline{O B} = - \overline{D O} = - a$ .
Оскільки $O$ — середина діагоналі $A C$ , то $\overline{O A} = - \overline{O C} = - b$ .
Знайдемо $\overline{B A}$ : $\overline{B A} = \overline{B O} + \overline{O A} = (- a) + (- b) = - (a + b)$ .
Знайдемо $\overline{A D}$ : $\overline{A D} = \overline{A O} + \overline{O C} = - \overline{O A} + \overline{O C} = - (- b) + b = 2 b$ .

Відповідь:

$\overline{B A} = - (a + b)$ , $\overline{A D} = 2 b$ .

Завдання 14.43

Нерівність трикутника для векторів (доказ)

Доведіть, що для неколінеарних векторів $a$ і $b$ виконується нерівність $∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Поясніть необхідність умови неколінеарності.

Розв’язання

Побудуємо паралелограм з векторами $a$ і $b$ як сусідними сторонами. Тоді діагональ, що починається з спільного початку, дорівнює вектору $c = a + b$ .
За нерівністю трикутника сума довжин двох сторін завжди більша за третю сторону: $∣ a ∣ + ∣ b ∣ > ∣ c ∣$ , тобто $∣ a ∣ + ∣ b ∣ > ∣ a + b ∣$ .
Рівність можлива лише якщо трикутник вироджується в пряму лінію, тобто вектори колінеарні і спрямовані однаково. Оскільки умовою є неколінеарність, знак строго менше ( $<$ ) є правильним.

Відповідь:

Доведено, що $∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Вектори мають бути неколінеарними, оскільки при колінеарності (спрямованості) виконується рівність $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ , що суперечить умові нерівності.

Завдання 14.44

Нерівність трикутника для різниці векторів (доказ)

Доведіть, що для неколінеарних векторів $a$ і $b$ виконується нерівність $∣ a - b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Розв’язання

Розглянемо вектори $a$ і $b$ , що виходять з однієї точки $O$ . Точка $A$ — кінець $a$ , точка $B$ — кінець $b$ .
Вектор $\overline{B A}$ дорівнює $a - b$ (або $b - a$ , модуль той самий). Трикутник $O A B$ утворений сторонами з довжинами $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ і $∣ a - b ∣$ .
За нерівністю трикутника сума двох сторін більша за третю: $∣ a ∣ + ∣ b ∣ > ∣ \overline{B A} ∣ = ∣ a - b ∣$ .
Оскільки вектори неколінеарні, трикутник не вироджується, тому знак строго менше є правильним.

Відповідь:

Доведено, що $∣ a - b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Завдання 14.45

Сума векторів за модулями

Чи може сума трьох векторів дорівнювати нульовому вектору, якщо їхні модулі: 1) $5, 2, 3$ ; 2) $4, 6, 3$ ; 3) $8, 9, 18$ .

Розв’язання

Перевіряємо умову трикутника для кожного набору чисел ( $a + b \geq c$ , де $c$ — найбільше число).
Для набору 1): $2 + 3 = 5$ . Оскільки сума двох менших дорівнює найбільшому, нульовий вектор можливий (вектори лежать на одній прямій).
Для набору 2): $4 + 3 = 7$ , а $7 < 6$ — хибно, але правильно: $4 + 3 = 7 > 6$ . Трикутник існує, отже сума може бути нулем.
Для набору 3): $8 + 9 = 17$ , а $17 < 18$ . Сума двох менших менша за найбільше, тому трикутник (або вироджений) неможливий.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні.

Завдання 14.46

Властивість діагоналей паралелограма

Довести, що для будь-якої точки $X$ у паралелограмі $A B C D$ виконується рівність $X A + X C = X B + X D$ .

Розв’язання

Позначимо точку перетину діагоналей як $O$ . Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $O$ є серединою $A C$ і $B D$ , тому $O A + O C = 0$ та $O B + O D = 0$ .
Запишемо вектори через точку $O$ : $X A = X O + O A$ , $X C = X O + O C$ . Сума: $X A + X C = 2 X O + (O A + O C) = 2 X O$ .
Аналогічно для другої діагоналі: $X B = X O + O B$ , $X D = X O + O D$ . Сума: $X B + X D = 2 X O + (O B + O D) = 2 X O$ .
Отже, обидві суми дорівнюють $2 X O$ , тому рівність виконується.

Відповідь:

Рівність $X A + X C = X B + X D$ доведена.

Завдання 14.47

Геометричне місце точок за умовою векторної рівності

Дано точки $A$ і $B$ . Знайти геометричне місце точок $X$ , для яких виконується рівність $A B + B X = A B$ .

Розв’язання

Скористаємося правилом додавання векторів: $A B + B X = A X$ .
Підставимо у вихідну рівність: $A X = A B$ .
Два вектори рівні, якщо вони мають однакові модулі і напрямки. Це означає, що точка $X$ повинна збігатися з точкою $B$ , оскільки $A B$ починається в $A$ і закінчується в $B$ .

Відповідь:

Геометричним місцем точок є одна точка — точка $B$ .

Завдання 14.48

Геометричне місце точок за умовою векторного рівняння

Дано дві точки $A$ і $B$ . Знайдіть геометричне місце точок $X$ , таких, що $\overline{A B} + \overline{B X} = \overline{B X}$ .

Розв’язання

Перетворимо умову рівняння: $\overline{A B} + \overline{B X} = \overline{B X}$ . Віднімемо вектор $\overline{B X}$ від обох частин рівності, отримуючи $\overline{A B} = 0$ .
Проте це суперечить умові, оскільки $A$ і $B$ — різні точки, тому $\overline{A B} \neq = 0$ . Перевіримо ще раз правило додавання: $\overline{A B} + \overline{B X} = \overline{A X}$ . Тоді рівняння стає $\overline{A X} = \overline{B X}$ .
Це означає, що відстань від точки $X$ до точки $A$ дорівнює відстані від точки $X$ до точки $B$ ( $X A = X B$ ).
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізку $A B$ , є серединний перпендикуляр до цього відрізку.

Відповідь:

Середина перпендикулярна до відрізка $A B$ .

Завдання 14.49

Властивість суми векторів медіан трикутника

Медіани трикутника $A B C$ перетинаються в точці $M$ . Доведіть, що $\overline{M A} + \overline{M B} + \overline{M C} = 0$ .

Розв’язання

Нехай $A_{1}$ , $B_{1}$ та $C_{1}$ — середини сторін $B C$ , $A C$ та $A B$ відповідно. Тоді $\overline{M A} = 2 \overline{M A_{1}}$ , $\overline{M B} = 2 \overline{M B_{1}}$ , $\overline{M C} = 2 \overline{M C_{1}}$ .
Складемо суму: $\overline{M A} + \overline{M B} + \overline{M C} = 2 (\overline{M A_{1}} + \overline{M B_{1}} + \overline{M C_{1}})$ .
За властивістю векторів у трикутнику (або за правилом чотирикутника), сума векторів від точки перетину медіан до середин сторін дорівнює нулю: $\overline{M A_{1}} + \overline{M B_{1}} + \overline{M C_{1}} = 0$ .
Отже, $2 (0) = 0$ , що й потрібно було довести.

Відповідь:

Доведено, що $\overline{M A} + \overline{M B} + \overline{M C} = 0$ .

Сторінка 164

Завдання 14.50

Знаходження рівнодійної сил

До тіла прикладено сили $\overline{F_{1}} (2; 7)$ і $\overline{F_{2}} (- 5; 4)$ . Потрібно знайти рівнодійну цих сил.

Розв’язання

Знайдемо координату $x$ рівнодійної: $x = 2 + (- 5) = - 3$ .
Знайдемо координату $y$ рівнодійної: $y = 7 + 4 = 11$ .

Відповідь:

$\overline{F} (- 3; 11)$

Завдання 14.51

Пояснення байки векторами

Обговорити байку Леоніда Глібова «Лебідь, Щука і Рак», використовуючи поняття векторів. Пояснити, чому воз («хура») не рухається вперед.

Розв’язання

Вектор сили лебедя спрямований вертикально вгору (проти тяжіння, але не по прямій до цілі).
Вектор сили щуки спрямований горизонтально вбік.
Вектор сили рака спрямований горизонтально назад або вниз.
Оскільки вектори направлені у різні боки і не співпадають за напрямком руху, їх векторна сума дорівнює нулю (або дуже малому значенню), тому сумарний вектор зміщення дорівнює нулю.

Відповідь:

«Хура й досі там», оскільки вектори сил, що прикладають тварини, спрямовані у різні боки (вгору, вбік, назад), і їх сума дорівнює нулю.

Завдання 14.52

Кут переміщення плавчиня

Швидкість плавчиня відносно води $v_{пл} = 3$ м/с (перпендикулярно до берегів). Швидкість течії $v_{т} = 1$ м/с. Знайти кут $α$ між напрямком переміщення плавчиня та лінією, перпендикулярною до берегів.

Розв’язання

Побудуємо векторну діаграму, де вектор швидкості течії ( $v_{т}$ ) перпендикулярний до вектора власної швидкості плавчиня ( $v_{пл}$ ).
У прямокутному трикутнику знайдемо тангенс кута $α$ між гіпотенузою (вектором результуючої швидкості) і катетом $3$ : $tan α = \frac{1}{3}$ .
Знаючи, що $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ , визначаємо кут.

Відповідь:

$3 0^{\circ}$

Завдання 14.53

Рух човна за течією

Весляр переправляється через річку завширшки $240 м$ , спрямовуючи ніс човна перпендикулярно до берега. Час руху — $4 хв$ . Точка призначення $C$ знаходиться нижче за течією від точки $A$ на $48 м$ . Знайти швидкість течії ( $v_{теч}$ ) та швидкість човна відносно води ( $v_{човн}$ ).

Розв’язання

Переведемо час у секунди: $t = 4 хв = 240 с$ . Знайдемо проекцію переміщення на напрямок, перпендикулярний до берега (ширину річки): $S_{⊥} = 240 м$ .
Знайдемо швидкість човна відносно води: $v_{човн} = \frac{S _{⊥}}{t} = \frac{240}{240} = 1 м / с$ .
Знайдемо проекцію переміщення на напрямок течії: $S_{∥} = 48 м$ . Обчислимо швидкість течії: $v_{теч} = \frac{S _{∥}}{t} = \frac{48}{240} = 0, 2 м / с$ .

Відповідь:

Швидкість течії дорівнює $0, 2 м / с$ , швидкість човна відносно води — $1 м / с$ .

Завдання 14.55

Площа шестикутника

Довести, що площа правильного шестикутника, вписаного в коло ( $S_{вп}$ ), становить $\frac{3}{4}$ площі правильного шестикутника, описаного навколо цього кола ( $S_{оп}$ ).

Розв’язання

Нехай радіус кола дорівнює $R$ . Для вписаного правильного шестикутника сторона $a_{1} = R$ . Площа $S_{вп} = 6 \cdot \frac{3}{4} a_{1}^{2} = \frac{6 3}{4} R^{2} = \frac{3 3}{2} R^{2}$ .
Для описаного правильного шестикутника відстань від центру до сторони дорівнює $R$ . Сторона $a_{2}$ пов'язана з $R$ співвідношенням $sin (6 0^{\circ}) = \frac{R}{a _{2} /2} \Rightarrow a_{2} = \frac{2 R}{3 /2} = \frac{4 R}{3}$ . Або простіше: площа описаного шестикутника $S_{оп} = 6 \cdot \frac{3}{4} a_{2}^{2}$ , де $a_{2} = R 3$ (оскільки $R$ — це висота рівностороннього трикутника зі стороною $a_{2}$ , то $R = a_{2} \frac{3}{2} \Rightarrow a_{2} = \frac{2 R}{3}$ ). Перевіримо: площа описаного шестикутника через радіус кола, вписаного в нього ( $r = R$ ): $S_{оп} = 6 \cdot r^{2} cot (3 0^{\circ}) = 6 R^{2} 3$ .
Знайдемо відношення: $\frac{S _{вп}}{S _{оп}} = \frac{\frac{3 3}{2} R ^{2}}{6 3 R ^{2}} = \frac{3 3}{12 3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ ? Ні, щось не так.
Спробуємо інший підхід через площі рівносторонніх трикутників. Площа вписаного шестикутника $S_{вп} = 6 \cdot S_{△} (R)$ . Площа описаного шестикутника $S_{оп}$ — це площа шестикутника, вписаного в коло радіуса $R^{'}$ , де $R^{'} = a_{2} /2$ . Але краще через формулу площі через радіус кола.
Площа вписаного правильного $n$ -кутника: $S_{вп} = \frac{n}{2} R^{2} sin (\frac{36 0 ^{\circ}}{n})$ . Для $n = 6$ : $S_{вп} = 3 R^{2} sin (6 0^{\circ}) = 3 R^{2} \frac{3}{2}$ .
Площа описаного правильного $n$ -кутника (коло є вписаним у нього): $S_{оп} = n r^{2} cot (\frac{18 0 ^{\circ}}{n})$ , де $r = R$ . $S_{оп} = 6 R^{2} cot (3 0^{\circ}) = 6 R^{2} 3$ .
Відношення: $\frac{3 3 /2 R ^{2}}{6 3 R ^{2}} = \frac{3/2}{6} = \frac{1}{4}$ . Це не $\frac{3}{4}$ .
Перечитаємо умову: "площа ... вписаного ... становить 3/4 площі ... описаного". Можливо, я помилився у формулі для описаного.
Площа описаного шестикутника через радіус вписаного кола $r$ : $S = \frac{1}{2} P r$ . Периметр $P = 6 a$ , де $a$ — сторона. $r = a \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{2 r}{3}$ . $P = 6 \cdot \frac{2 r}{3} = 43 r$ . $S_{оп} = \frac{1}{2} \cdot 43 r \cdot r = 23 r^{2}$ .
Площа вписаного шестикутника через радіус кола $R = r$ : $S_{вп} = \frac{3 3}{2} R^{2} = 1, 53 R^{2}$ .
Відношення $S_{вп} / S_{оп} = \frac{1 , 5 3}{2 3} = \frac{1 , 5}{2} = 0, 75 = \frac{3}{4}$ .
Так, все правильно. Помилка була в формулі для описаного шестикутника (я взяв $6 R^{2} 3$ замість $23 R^{2}$ ).

Відповідь:

Площа вписаного шестикутника дійсно дорівнює $\frac{3}{4}$ площі описаного.

Сторінка 169

Завдання 15.1

Побудова векторів за умовою

Дано вектори $a, b$ і $c$ (рис. 15.6). Побудувати: 1) $2 b$ ; 2) $- \frac{1}{3} c$ ; 3) $\frac{2}{3} a$ ; 4) $- \frac{5}{6} a$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $2 b$ ): візьміть вектор $b$ і продовжте його в тому ж напрямку на таку саму відстань (довжина збільшується вдвічі).
Для пункту 2 ( $- \frac{1}{3} c$ ): візьміть вектор $c$ , поверніть його протилежно до стрілки і зменште довжину втричі (залишається одна третина).
Для пункту 3 ( $\frac{2}{3} a$ ): візьміть вектор $a$ , зменшіть його довжину втричі, а потім продовжте в тому ж напрямку на дві третини початкової довжини.
Для пункту 4 ( $- \frac{5}{6} a$ ): візьміть вектор $a$ , поверніть його протилежно до стрілки і зменшіть довжину так, щоб вона становила п'ять шостих від початкової.

Відповідь:

Вектори побудовані графічно (1) $2 b$ — у 2 рази довший за $b$ в тому ж напрямку; (2) $- \frac{1}{3} c$ — у 3 рази коротший за $c$ і спрямований протилежно; (3) $\frac{2}{3} a$ — у 1,5 рази довший за половину $a$ в тому ж напрямку; (4) $- \frac{5}{6} a$ — трохи коротший за $a$ і спрямований протилежно.

Завдання 15.2

Побудова векторів за умовою

Дано вектори $a, b$ і $c$ (рис. 15.6). Побудувати: 1) $\frac{1}{2} a$ ; 2) $- 2 b$ ; 3) $- \frac{2}{3} c$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $\frac{1}{2} a$ ): візьміть вектор $a$ і відкладіть його половину в тому ж напрямку (середина відрізка, що відповідає $a$ ).
Для пункту 2 ( $- 2 b$ ): візьміть вектор $b$ , поверніть його протилежно до стрілки і продовжте в цьому напрямку на таку саму відстань (довжина збільшується вдвічі).
Для пункту 3 ( $- \frac{2}{3} c$ ): візьміть вектор $c$ , поверніть його протилежно до стрілки і відкладіть дві третини його довжини.

Відповідь:

Вектори побудовані графічно (1) $\frac{1}{2} a$ — половина довжини $a$ в тому ж напрямку; (2) $- 2 b$ — у 2 рази довший за $b$ і спрямований протилежно; (3) $- \frac{2}{3} c$ — у 1,5 рази коротший за $c$ і спрямований протилежно.

Сторінка 170

Завдання 15.3

Побудова векторних сум та різниць

Дано вектори $a$ і $b$ (див. Рис. 15.7). Потрібно побудувати: 1) $2 a + b$ ; 2) $\frac{1}{3} a + b$ ; 3) $a - \frac{2}{3} b$ .

Розв’язання

Побудуйте вектор $2 a + b$ : відкладіть вектор $2 a$ (довжина в 2 рази більша за $a$ , той самий напрям), а до його кінця прикресліть вектор $b$ .
Побудуйте вектор $\frac{1}{3} a + b$ : візьміть вектор $a$ і поділіть його довжину на 3 частини, відкладіть одну таку частину, а до її кінця прикресліть вектор $b$ .
Побудуйте вектор $a - \frac{2}{3} b$ : побудуйте вектор $- \frac{2}{3} b$ (протилежний напрямок до $b$ , довжина в 2/3 від $b$ ), додайте його до вектора $a$ .

Відповідь:

Побудовані вектори на координатній сітці (визначені графічно).

Завдання 15.4

Побудова лінійних комбінацій довільних векторів

Побудувати два неколінеарні вектори $x$ і $y$ . Вибрати точку $O$ і відкласти від неї: 1) $3 x + y$ ; 2) $- \frac{1}{2} x + 3 y$ ; 3) $- 2 x - \frac{1}{3} y$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Побудуйте вектор $3 x$ (подовжте $x$ у 3 рази), а до його кінця прикресліть вектор $y$ .
Для пункту 2): Побудуйте вектор $- \frac{1}{2} x$ (протилежний напрямок, довжина в 2 рази менша) і $3 y$ (подовжте $y$ у 3 рази), потім додайте їх.
Для пункту 3): Побудуйте вектор $- 2 x$ (протилежний напрямок, довжина в 2 рази більша) і $- \frac{1}{3} y$ (протилежний напрямок, довжина в 3 рази менша), потім додайте їх.

Відповідь:

Графічні зображення векторів $3 x + y$ , $- \frac{1}{2} x + 3 y$ та $- 2 x - \frac{1}{3} y$ на координатній площині.

Завдання 15.5

Побудова точок за умовами співвідношення векторів

Побудувати три точки $A, B$ і $C$ так, щоб виконувалися умови: 1) $\overline{A B} = 2 \overline{A C}$ ; 2) $\overline{A B} = - 3 \overline{A C}$ ; 3) $\overline{B C} = \frac{1}{2} \overline{A B}$ ; 4) $\overline{A C} = - \frac{1}{3} \overline{B C}$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Проведіть пряму, відкладіть вектор $\overline{A C}$ довільної довжини. Точка $B$ має лежати на продовженні цього вектора так, щоб його довжина була в 2 рази більшою за $\overline{A C}$ .
Для пункту 2): Проведіть пряму, відкладіть вектор $\overline{A C}$ . Точка $B$ має знаходитися на протилежному промені відносно точки $A$ , а довжина $\overline{A B}$ має бути в 3 рази більшою за $\overline{A C}$ .
Для пункту 3): Побудуйте вектор $\overline{A B}$ довільної довжини. Точка $C$ має знаходитися на середині відрізка $\overline{A B}$ (оскільки $\overline{B C}$ — це половина $\overline{A B}$ і вони спрямовані однаково).
Для пункту 4): Побудуйте вектор $\overline{B C}$ . Точка $A$ має знаходитися на продовженні цього вектора, причому довжина $\overline{A C}$ має бути в 3 рази меншою за $\overline{B C}$ і спрямована протилежно до $\overline{B C}$ .

Відповідь:

Побудовані конфігурації точок $A, B, C$ для кожного з чотирьох випадків на одній прямій.

Завдання 15.6

Знаходження модуля вектора при множенні на число

Дано, що $∣ m ∣ = 4$ . Знайти модулі векторів $3 m$ та $- \frac{1}{2} m$ .

Розв’язання

Для вектора $3 m$ : $∣3 m ∣ = ∣3∣ \cdot ∣ m ∣ = 3 \cdot 4 = 12$ .
Для вектора $- \frac{1}{2} m$ : $∣ - \frac{1}{2} m ∣ = ∣ - \frac{1}{2} ∣ \cdot ∣ m ∣ = 0, 5 \cdot 4 = 2$ .

Відповідь:

$∣3 m ∣ = 12$ , $∣ - \frac{1}{2} m ∣ = 2$ .

Завдання 15.7

Знаходження модуля вектора за умови пропорційності

Відомо, що $∣ c ∣ = 12$ . Знайти $∣ p ∣$ , якщо: 1) $p = - 4 c$ ; 2) $p = \frac{2}{3} c$ .

Розв’язання

Якщо $p = - 4 c$ , то $∣ p ∣ = ∣ - 4∣ \cdot ∣ c ∣ = 4 \cdot 12 = 48$ .
Якщо $p = \frac{2}{3} c$ , то $∣ p ∣ = ∣ \frac{2}{3} ∣ \cdot ∣ c ∣ = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ .

Відповідь:

1) $∣ p ∣ = 48$ ; 2) $∣ p ∣ = 8$ .

Завдання 15.8

Аналіз співвідношення векторів за коефіцієнтом k

Відомо, що $b = k a$ ( $a \neq = 0$ ). Заповнити таблицю для різних $k$ : 3, 1, -0,4, -1, -5, 0,7. Критерії: співнапрямлені, протилежно напрямлені, мають рівні модулі, протилежні, рівні.

Розв’язання

При $k = 3$ : співнапрямлені (так), протилежно напрямлені (ні), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).
При $k = 1$ : співнапрямлені (так), протилежно напрямлені (ні), рівні модулі (так), протилежні (ні), рівні (так).
При $k = - 0, 4$ : співнапрямлені (ні), протилежно напрямлені (так), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).
При $k = - 1$ : співнапрямлені (ні), протилежно напрямлені (так), рівні модулі (так), протилежні (так), рівні (ні).
При $k = - 5$ : співнапрямлені (ні), протилежно напрямлені (так), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).
При $k = 0, 7$ : співнапрямлені (так), протилежно напрямлені (ні), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).

Відповідь:

Таблиця заповнюється відповідно до аналізу кожного значення $k$ (див. кроки вище).

Сторінка 171

Завдання 15.9

Співнапрямленість векторів

Визначте, співнапрямленими чи протилежно напрямленими є ненульові вектори $a$ і $b$ , якщо: 1) $b = 2 a$ ; 2) $a = - \frac{1}{3} b$ ; 3) $b = 2 a$ .

Розв’язання

У пункті 1) $b = 2 a$ , де $2 > 0$ , отже вектори співнапрямлені.
У пункті 2) $a = - \frac{1}{3} b$ , що еквівалентно $b = - 3 a$ , де $- 3 < 0$ , отже вектори протилежно напрямлені.
У пункті 3) $b = 2 a$ , оскільки $2 > 0$ , вектори співнапрямлені.

Відповідь:

1) співнапрямлені; 2) протилежно напрямлені; 3) співнапрямлені.

Завдання 15.10

Вираз вектора через інший

Виразіть вектор $p$ з рівності: 1) $q = 3 p$ ; 2) $\overline{A C} = - 2 p$ ; 3) $\frac{1}{2} p = q$ ; 4) $2 p = 3 q$ .

Розв’язання

З рівності $q = 3 p$ поділимо на 3: $p = \frac{1}{3} q$ .
З рівності $\overline{A C} = - 2 p$ поділимо на $- 2$ : $p = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ .
З рівності $\frac{1}{2} p = q$ помножимо на 2: $p = 2 q$ .
З рівності $2 p = 3 q$ поділимо на 2: $p = \frac{3}{2} q$ .

Відповідь:

1) $p = \frac{1}{3} q$ ; 2) $p = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ ; 3) $p = 2 q$ ; 4) $p = \frac{3}{2} q$ .

Завдання 15.11

Вектори діагоналей паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Виразіть: 1) вектор $\overline{A O}$ через вектор $\overline{A C}$ ; 2) вектор $\overline{B D}$ через вектор $\overline{B O}$ ; 3) вектор $\overline{C O}$ через вектор $\overline{A C}$ .

Розв’язання

Оскільки точка $O$ є серединою діагоналі $A C$ , то $\overline{A O} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ .
Точка $O$ є серединою діагоналі $B D$ , тому вектор $\overline{B D}$ у 2 рази більший за $\overline{B O}$ і має такий самий напрямок: $\overline{B D} = 2 \overline{B O}$ .
Вектор $\overline{C O}$ спрямований протилежно до $\overline{A C}$ і має вдвічі меншу довжину, тому $\overline{C O} = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ .

Відповідь:

1) $\overline{A O} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ ; 2) $\overline{B D} = 2 \overline{B O}$ ; 3) $\overline{C O} = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ .

Завдання 15.12

Виразити вектор діагоналі через сторони паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $A B = a$ , $A D = b$ . Потрібно виразити вектор $A O$ через вектори $a$ і $b$ .

Розв’язання

За властивостями паралелограма $A C = A B + A D$ , отже $A C = a + b$ .
Оскільки $O$ — середина $A C$ , то $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)$ .

Відповідь:

$A O = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

Завдання 15.13

Виразити вектор середини сторін через інші вектори трикутника

У трикутнику $A B C$ точки $M$ і $N$ — середини сторін $A B$ і $B C$ відповідно. Потрібно виразити: 1) $M N$ через $C A$ ; 2) $A C$ через $M N$ .

Розв’язання

За означенням середньої лінії (або векторів): $M N = \frac{1}{2} A C$ .
Для першого пункту: $M N = \frac{1}{2} C A$ (враховуючи напрямок від $C$ до $A$ , оскільки $A C = - C A$ , то $M N = - \frac{1}{2} C A$ ). Перевіримо напрямки: $M N$ спрямований від $A B$ до $B C$ , а $C A$ — від $C$ до $A$ . Вектор $A C$ спрямований від $A$ до $C$ . Отже, $M N = \frac{1}{2} A C = - \frac{1}{2} C A$ .
Для другого пункту: з рівності $M N = - \frac{1}{2} C A$ виразимо $C A = - 2 M N$ , а отже $A C = 2 M N$ .

Відповідь:

1) $M N = - \frac{1}{2} C A$ ; 2) $A C = 2 M N$

Завдання 15.14

Знайти координати та модуль вектора після множення на число

Дано вектор $a (- 4; 2)$ . Знайдіть координати та модуль вектора для випадків: 1) $3 a$ ; 2) $- \frac{1}{2} a$ ; 3) $\frac{3}{2} a$ .

Розв’язання

Знайдемо модуль початкового вектора: $∣ a ∣ = (- 4)^{2} + 2^{2} = 16 + 4 = 20 = 25$ .
Координати $3 a$ : $(3 \cdot (- 4); 3 \cdot 2) = (- 12; 6)$ . Модуль: $3 \cdot 25 = 65$ .
Координати $- \frac{1}{2} a$ : $(- \frac{1}{2} \cdot (- 4); - \frac{1}{2} \cdot 2) = (2; - 1)$ . Модуль: $\frac{1}{2} \cdot 25 = 5$ .
Координати $\frac{3}{2} a$ : $(\frac{3}{2} \cdot (- 4); \frac{3}{2} \cdot 2) = (- 6; 3)$ . Модуль: $\frac{3}{2} \cdot 25 = 35$ .

Відповідь:

1) $(- 12; 6)$ , $65$ ; 2) $(2; - 1)$ , $5$ ; 3) $(- 6; 3)$ , $35$ .

Завдання 15.15

Координати та модуль вектора при множенні на число

Дано вектор $b (- 6; 12)$ . Знайти координати та модуль вектора для випадків: 1) $2 b$ ; 2) $- \frac{1}{6} b$ ; 3) $\frac{2}{3} b$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Координати $2 b$ дорівнюють $(2 \cdot (- 6); 2 \cdot 12) = (- 12; 24)$ . Модуль: $(- 12)^{2} + 2 4^{2} = 144 + 576 = 720 = 125$ .
Для пункту 2): Координати $- \frac{1}{6} b$ дорівнюють $(- \frac{1}{6} \cdot (- 6); - \frac{1}{6} \cdot 12) = (1; - 2)$ . Модуль: $1^{2} + (- 2)^{2} = 1 + 4 = 5$ .
Для пункту 3): Координати $\frac{2}{3} b$ дорівнюють $(\frac{2}{3} \cdot (- 6); \frac{2}{3} \cdot 12) = (- 4; 8)$ . Модуль: $(- 4)^{2} + 8^{2} = 16 + 64 = 80 = 45$ .

Відповідь:

1) $(- 12; 24)$ , $125$ ; 2) $(1; - 2)$ , $5$ ; 3) $(- 4; 8)$ , $45$ .

Завдання 15.16

Перевірка колінеарності векторів за координатами

Визначити, чи є колінеарними пари векторів: 1) $a (3; - 2)$ і $b (- 6; 4)$ ; 2) $a (3; - 2)$ і $c (1; 5; - 1)$ (увага, тут йдеться про 2D вектори, умова зображення має помилку в тексті, але за логікою завдання порівнюємо $a$ і $c$ ); 3) $a (3; - 2)$ і $d (- 3; - 2)$ .

Розв’язання

Для $a (3; - 2)$ і $b (- 6; 4)$ : $- 6/3 = - 2$ , $4/ (- 2) = - 2$ . Відношення однакове, отже вектори колінеарні (протилежно напрямлені).
Для $a (3; - 2)$ і $c (1; 5)$ : $1/3 \neq = 5/ (- 2)$ . Відношення різні, отже вектори не колінеарні. (Примітка: у тексті завдання є дрібність з координатами $c$ , але за логікою порівняння $3$ і $1$ , $- 2$ і $5$ вони не пропорційні).
Для $a (3; - 2)$ і $d (- 3; - 2)$ : $- 3/3 = - 1$ , $- 2/ (- 2) = 1$ . Відношення різні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:

1) Так (протилежно напрямлені); 2) Ні; 3) Ні.

Завдання 15.17

Перевірка колінеарності векторів з іншими координатами

Визначити, чи є колінеарними пари векторів: 1) $a (4; - 5)$ і $b (16; 20)$ ; 2) $m (- 6; 8)$ і $n (3; - 4)$ .

Розв’язання

Для $a (4; - 5)$ і $b (16; 20)$ : $16/4 = 4$ , $20/ (- 5) = - 4$ . Коефіцієнти різні ( $4 \neq = - 4$ ), отже вектори не колінеарні.
Для $m (- 6; 8)$ і $n (3; - 4)$ : $3/ (- 6) = - 0, 5$ , $- 4/8 = - 0, 5$ . Коефіцієнти однакові ( $k = - 0, 5$ ), отже вектори колінеарні (протилежно напрямлені).

Відповідь:

1) Ні; 2) Так (протилежно напрямлені).

Завдання 15.18

Знаходження координат суми та різниці векторів

Дано вектори $\overline{a} (3; - 3)$ і $\overline{b} (- 16; 8)$ . Знайти координати вектора:
1) $2 \overline{a} + \frac{1}{2} \overline{b}$ ;
2) $- \frac{1}{3} \overline{a} + \frac{3}{4} \overline{b}$ ;
3) $\overline{a} - \frac{5}{8} \overline{b}$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $2 \overline{a} = (6; - 6)$ , $\frac{1}{2} \overline{b} = (- 8; 4)$ . Сума: $(6 - 8; - 6 + 4) = (- 2; - 2)$ .
Для пункту 2): $- \frac{1}{3} \overline{a} = (- 1; 1)$ , $\frac{3}{4} \overline{b} = (- 12; 6)$ . Сума: $(- 1 - 12; 1 + 6) = (- 13; 7)$ .
Для пункту 3): $\overline{a} = (3; - 3)$ , $- \frac{5}{8} \overline{b} = (10; - 5)$ . Різниця: $(3 - 10; - 3 - (- 5)) = (- 7; 2)$ .

Відповідь:

1) $(- 2; - 2)$ ; 2) $(- 13; 7)$ ; 3) $(- 7; 2)$ .

Сторінка 172

Завдання 15.19

Координати вектора за формулою

Дано вектори $m (- 2; 4)$ і $n (3; - 1)$ . Знайдіть координати векторів:
1) $3 m + 2 n$ ;
2) $- \frac{1}{2} m + 2 n$ ;
3) $m - 3 n$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $3 m = (3 \cdot (- 2); 3 \cdot 4) = (- 6; 12)$ , $2 n = (2 \cdot 3; 2 \cdot (- 1)) = (6; - 2)$ . Сума: $(- 6 + 6; 12 - 2) = (0; 10)$ .
Для пункту 2): $- \frac{1}{2} m = (- \frac{1}{2} \cdot (- 2); - \frac{1}{2} \cdot 4) = (1; - 2)$ , $2 n = (6; - 2)$ . Сума: $(1 + 6; - 2 - 2) = (7; - 4)$ .
Для пункту 3): $m = (- 2; 4)$ , $- 3 n = (- 3 \cdot 3; - 3 \cdot (- 1)) = (- 9; 3)$ . Різниця: $(- 2 - 9; 4 - 3) = (- 11; 1)$ .

Відповідь:

1) $(0; 10)$ ; 2) $(7; - 4)$ ; 3) $(- 11; 1)$ .

Завдання 15.20

Вектори на відрізку за довжинами

На відрізку $A B$ завдовжки $18 см$ позначено точку $C$ так, що $B C = 6 см$ . Знайти векторні співвідношення:
1) $A B$ через $A C$ ;
2) $B C$ через $A B$ ;
3) $A C$ через $B C$ .

Розв’язання

Знайдемо $A C = A B - B C = 18 - 6 = 12 см$ . Оскільки точки $A, C, B$ йдуть послідовно, вектори $A B$ і $A C$ співнапрямлені. Отже, $A B = \frac{18}{12} A C = \frac{3}{2} A C$ .
Вектори $B C$ і $A B$ протилежно напрямлені (бо $C$ лежить між $A$ і $B$ , а вектор $B C$ йде від $B$ до $C$ , тобто проти руху від $A$ до $B$ ). Відношення довжин: $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ . Отже, $B C = - \frac{1}{3} A B$ .
Вектори $A C$ і $B C$ протилежно напрямлені (вони йдуть у різні боки від точки $C$ ). Відношення довжин: $\frac{12}{6} = 2$ . Отже, $A C = - 2 B C$ .

Відповідь:

1) $A B = \frac{3}{2} A C$ ; 2) $B C = - \frac{1}{3} A B$ ; 3) $A C = - 2 B C$ .

Завдання 15.21

Вектори на рівномірній сітці

На рисунку $A B = B C = C D = D E = E F$ . Виразити через $A B$ вектори $A D, B D, C B, F A$ . Через $A F$ — вектори $C E, D C, E A$ .

Розв’язання

Через $A B$ :
- $A D$ складається з двох частин $A B$ і $B C$ , йде в тому ж напрямку: $A D = 2 A B$ .
- $B D$ складається з $B C$ і $C D$ , йде в тому ж напрямку: $B D = 2 A B$ .
- $C B$ йде проти напрямку $A B$ (від $C$ до $B$ ): $C B = - 1 A B = - A B$ .
- $F A$ складається з п'яти частин, йде проти напрямку $A B$ : $F A = - 5 A B$ .
Через $A F$ (вектор від $A$ до $F$ , що проходить через всі точки):
- $C E$ складається з $C D$ і $D E$ , йде в тому ж напрямку, що і $A F$ : $C E = 2 A F$ .
- $D C$ йде проти напрямку $A F$ : $D C = - 1 A F = - A F$ .
- $E A$ складається з $E D$ і $D A$ , йде проти напрямку $A F$ : $E A = - 3 A F$ .

Відповідь:

1) $A D = 2 A B, B D = 2 A B, C B = - A B, F A = - 5 A B$ ; 2) $C E = 2 A F, D C = - A F, E A = - 3 A F$ .

Завдання 15.22

Вираз вектора через базисні

У паралелограмі $A B C D$ на діагоналі $A C$ позначено точку $M$ так, що $A M : M C = 1 : 3$ . Потрібно виразити вектор $\overline{M C}$ через вектори $a = \overline{A B}$ і $b = \overline{A D}$ .

Розв’язання

За властивостями паралелограма маємо $\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{A D} = a + b$ .
З умови $A M : M C = 1 : 3$ випливає, що відрізок $M C$ становить $\frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ частину всього відрізку $A C$ .
Отже, вектор $\overline{M C} = \frac{3}{4} \overline{A C} = \frac{3}{4} (a + b)$ .

Відповідь:

$\overline{M C} = \frac{3}{4} (a + b)$ або $\frac{3}{4} a + \frac{3}{4} b$ .

Завдання 15.23

Вираз векторів через базисні

У паралелограмі $A B C D$ точка $M$ — середина сторони $B C$ , $\overline{A B} = a$ , $\overline{A D} = b$ . Потрібно виразити вектори $\overline{A M}$ і $\overline{M D}$ через $a$ і $b$ .

Розв’язання

Знайдемо $\overline{B M} = \frac{1}{2} \overline{B C} = \frac{1}{2} b$ . Тоді $\overline{A M} = \overline{A B} + \overline{B M} = a + \frac{1}{2} b$ .
Знайдемо вектор $\overline{C D} = - \overline{A B} = - a$ . Оскільки $M$ — середина $B C$ , то $\overline{M C} = \frac{1}{2} b$ .
Тоді $\overline{M D} = \overline{M C} + \overline{C D} = \frac{1}{2} b - a$ .

Відповідь:

$\overline{A M} = a + \frac{1}{2} b$ , $\overline{M D} = - a + \frac{1}{2} b$ .

Завдання 15.24

Вираз вектора через сторону трикутника

На сторонах $A B$ і $A C$ трикутника $A B C$ позначено точки $M$ і $N$ так, що $A M : M B = A N : N C = 1 : 2$ . Потрібно виразити вектор $\overline{M N}$ через вектор $\overline{C B}$ .

Розв’язання

Оскільки $A M : M B = 1 : 2$ , то відрізок $A B$ складається з $1 + 2 = 3$ частин, і $A M = \frac{1}{3} A B$ . Аналогічно $A N = \frac{1}{3} A C$ .
За теоремою Фалеса (або властивостями векторів), $\overline{M N}$ паралельний $\overline{C B}$ і його довжина дорівнює $\frac{1}{3}$ від довжини $C B$ (оскільки $M$ і $N$ знаходяться на відстані $\frac{1}{3}$ від вершини $A$ ).
Оскільки вектори спрямовані в одну сторону, то $\overline{M N} = \frac{1}{3} \overline{C B}$ .

Відповідь:

$\overline{M N} = \frac{1}{3} \overline{C B}$ .

Завдання 15.25

Доведення колінеарності векторів

Дано координати точок $A (1; 1)$ , $B (3; - 2)$ , $C (- 1; 3)$ , $D (5; - 6)$ . Потрібно довести, що вектори $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ колінеарні.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $\overline{A B}$ : $x_{A B} = 3 - 1 = 2$ , $y_{A B} = - 2 - 1 = - 3$ . Отже, $\overline{A B} (2; - 3)$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{C D}$ : $x_{C D} = 5 - (- 1) = 6$ , $y_{C D} = - 6 - 3 = - 9$ . Отже, $\overline{C D} (6; - 9)$ .
Порівняємо координати: $6 = 3 \cdot 2$ і $- 9 = 3 \cdot (- 3)$ . Оскільки координати вектора $\overline{C D}$ у три рази більші за координати вектора $\overline{A B}$ , вони пропорційні.

Відповідь:

Вектори $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ колінеарні.

Завдання 15.26

Знаходження пар колінеарних векторів

Дано чотири вектори з координатами: $a (1; - 2)$ , $b (- 3; - 6)$ , $c (- 4; 8)$ , $d (- 1; - 2)$ . Потрібно знайти пари колінеарних векторів.

Розв’язання

Порівняємо $a (1; - 2)$ і $d (- 1; - 2)$ . Відношення абсцис: $- 1/1 = - 1$ . Відношення ординат: $- 2/ - 2 = 1$ . Відношення не дорівнює, тому вони не колінеарні.
Порівняємо $a (1; - 2)$ і $b (- 3; - 6)$ . Відношення абсцис: $- 3/1 = - 3$ . Відношення ординат: $- 6/ - 2 = 3$ . Знаки різні, але модулі відмінні ( $∣ - 3∣ \neq = ∣3∣$ ), отже не колінеарні.
Порівняємо $a (1; - 2)$ і $c (- 4; 8)$ . Відношення абсцис: $- 4/1 = - 4$ . Відношення ординат: $8/ - 2 = - 4$ . Відношення однакове. Вектори $a$ і $c$ колінеарні.
Порівняємо $b (- 3; - 6)$ і $d (- 1; - 2)$ . Відношення абсцис: $- 1/ - 3 = 1/3$ . Відношення ординат: $- 2/ - 6 = 1/3$ . Відношення однакове. Вектори $b$ і $d$ колінеарні.
Порівняємо $b (- 3; - 6)$ і $c (- 4; 8)$ . Відношення абсцис: $- 4/ - 3 \neq = 8/ - 6$ ( $4/3 \neq = - 4/3$ ). Не колінеарні.

Відповідь:

Пар колінеарних векторів: $(a, c)$ і $(b, d)$ .

Завдання 15.27

Класифікація взаємного розташування векторів

Дано три вектори: $m (4; - 6)$ , $n (- 1; \frac{3}{2})$ , $k (3; - \frac{9}{2})$ . Потрібно вказати пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

Розв’язання

Порівняємо $m (4; - 6)$ і $n (- 1; \frac{3}{2})$ . Відношення абсцис: $- 1/4 = - 0, 25$ . Відношення ординат: $(3/2) / (- 6) = 1.5/ - 6 = - 0, 25$ . Коефіцієнт від'ємний. Вектори $m$ і $n$ протилежно напрямлені.
Порівняємо $m (4; - 6)$ і $k (3; - \frac{9}{2})$ . Відношення абсцис: $3/4 = 0, 75$ . Відношення ординат: $(- 9/2) / (- 6) = - 4, 5/ - 6 = 0, 75$ . Коефіцієнт додатний. Вектори $m$ і $k$ співнаправлені.
Порівняємо $n (- 1; \frac{3}{2})$ і $k (3; - \frac{9}{2})$ . Відношення абсцис: $3/ - 1 = - 3$ . Відношення ординат: $(- 9/2) / (3/2) = - 4, 5/1, 5 = - 3$ . Коефіцієнт від'ємний. Вектори $n$ і $k$ протилежно напрямлені.

Відповідь:

Співнапрямлені: $(m, k)$ . Протилежно напрямлені: $(m, n)$ і $(n, k)$ .

Завдання 15.28

Знаходження значення x за умови колінеарності векторів

Дано вектори $a (1; x)$ та $b (\frac{x}{4}; 4)$ . Потрібно знайти $x$ , при яких ці вектори колінеарні.

Розв’язання

Записуємо умову колінеарності за координатами: $1 \cdot 4 = x \cdot \frac{x}{4}$ .
Спрощуємо рівняння: $4 = \frac{x ^{2}}{4}$ .
Помножуємо обидві частини на 4: $x^{2} = 16$ .
Знаходимо корені рівняння: $x = 4$ або $x = - 4$ .

Відповідь:

$x = 4; x = - 4$ .

Завдання 15.29

Визначення значень y для колінеарних векторів

Дано вектори $a (2; 3)$ та $b (- 1; y)$ . Потрібно знайти $y$ , при яких ці вектори колінеарні.

Розв’язання

Підставляємо координати у формулу колінеарності: $2 \cdot y = 3 \cdot (- 1)$ .
Отримуємо рівняння: $2 y = - 3$ .
Ділимо обидві частини на 2: $y = - 1, 5$ .

Відповідь:

$y = - 1, 5$ .

Сторінка 173

Завдання 15.30

Множення вектора на число

Дано вектор $b (- 3; 1)$ . Знайти координати вектора, колінеарного вектору $b$ , модуль якого вдвічі більший за модуль вектора $b$ . Обговорити кількість розв'язків.

Розв’язання

Знайдемо вектор, співнапрямлений з $b$ : $c_{1} = 2 b = 2 \cdot (- 3; 1) = (- 6; 2)$ .
Знайдемо вектор, протилежно напрямлений до $b$ : $c_{2} = - 2 b = - 2 \cdot (- 3; 1) = (6; - 2)$ .

Відповідь:

Два розв'язки: $(- 6; 2)$ та $(6; - 2)$ .

Завдання 15.31

Знаходження вектора за модулем

Знайти координати вектора $m$ , протилежно напрямленого вектору $n (5; - 12)$ , якщо $∣ m ∣ = 39$ .

Розв’язання

Знайдемо модуль вектора $n$ : $∣ n ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
Знайдемо коефіцієнт пропорційності: $\frac{∣ m ∣}{∣ n ∣} = \frac{39}{13} = 3$ , отже, $∣ m ∣ = 3∣ n ∣$ . Оскільки вектори протилежно напрямлені, $m = - 3 n$ .
Знайдемо координати: $m = - 3 \cdot (5; - 12) = (- 15; 36)$ .

Відповідь:

$(- 15; 36)$ .

Завдання 15.32

Знаходження вектора за модулем

Знайти координати вектора $a$ , співнапрямленого з вектором $b (- 9; 12)$ , якщо $∣ a ∣ = 5$ .

Розв’язання

Знайдемо модуль вектора $b$ : $∣ b ∣ = (- 9)^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ .
Знайдемо коефіцієнт пропорційності: $\frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ . Оскільки вектори співнапрямлені, $a = \frac{1}{3} b$ .
Знайдемо координати: $a = \frac{1}{3} \cdot (- 9; 12) = (- 3; 4)$ .

Відповідь:

$(- 3; 4)$ .

Завдання 15.33

Доведення трапеції через вектори

Чотирикутник $A B C D$ має вершини $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (14; 6)$ та $D (2; - 3)$ . Потрібно довести, що це трапеція.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $A B$ : $x_{A B} = 3 - (- 1) = 4$ , $y_{A B} = 5 - 2 = 3$ . Отже, $A B (4; 3)$ .
Знайдемо координати вектора $D C$ (віднімаємо координати початку від кінця): $x_{D C} = 14 - 2 = 12$ , $y_{D C} = 6 - (- 3) = 9$ . Отже, $D C (12; 9)$ .
Порівняємо координати: $12 : 4 = 3$ та $9 : 3 = 3$ . Оскільки відношення відповідних координат однакове ( $D C = 3 \cdot A B$ ), вектори колінеарні, а отже сторони $A B$ і $C D$ паралельні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є трапецією, оскільки одна пара протилежних сторін ( $A B$ і $C D$ ) паралельна.

Завдання 15.34

Доведення колінеарності трьох точок

Точки $A (- 1; 3)$ , $B (4; - 7)$ та $D (- 2; 5)$ . Потрібно довести, що вони лежать на одній прямій.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $A B$ : $x = 4 - (- 1) = 5$ , $y = - 7 - 3 = - 10$ . Отже, $A B (5; - 10)$ .
Знайдемо координати вектора $A D$ : $x = - 2 - (- 1) = - 1$ , $y = 5 - 3 = 2$ . Отже, $A D (- 1; 2)$ .
Порівняємо координати: $5 : (- 1) = - 5$ та $- 10 : 2 = - 5$ . Оскільки відношення однакове ( $A B = - 5 \cdot A D$ ), вектори колінеарні, отже точки $A$ , $B$ і $D$ лежать на одній прямій.

Відповідь:

Точки $A (- 1; 3)$ , $B (4; - 7)$ та $D (- 2; 5)$ лежать на одній прямій.

Завдання 15.35

Знаходження коефіцієнтів лінійної комбінації

Дано вектори $a (1; - 4)$ , $b (0; 3)$ та $c (2; - 17)$ . Потрібно знайти числа $x$ і $y$ , за яких виконується рівність $c = x a + y b$ .

Розв’язання

Запишемо рівність за координатами: ${2 = x \cdot 1 + y \cdot 0 - 17 = x \cdot (- 4) + y \cdot 3$ .
Спростимо перше рівняння: $2 = x$ . Звідси $x = 2$ .
Підставимо значення $x = 2$ у друге рівняння: $- 17 = - 4 \cdot 2 + 3 y \Rightarrow - 17 = - 8 + 3 y \Rightarrow - 9 = 3 y \Rightarrow y = - 3$ .

Відповідь:

$x = 2$ , $y = - 3$ .

Завдання 15.36

Розклад вектора на складові за іншими векторами

Дано вектори $m (- 1; 2)$ , $n (3; 1)$ , $a (- 7; 0)$ . Знайти числа $x$ і $y$ , щоб виконувалось рівність $a = x m + y n$ .

Розв’язання

Запишемо рівність за координатами: $(- 7; 0) = x (- 1; 2) + y (3; 1)$ .
Отримаємо систему рівнянь: ${- x + 3 y = - 7 2 x + y = 0$ .
З другого рівняння виразимо $y$ : $y = - 2 x$ . Підставимо у перше рівняння: $- x + 3 (- 2 x) = - 7 \Rightarrow - x - 6 x = - 7 \Rightarrow - 7 x = - 7 \Rightarrow x = 1$ .
Знайдемо $y$ : $y = - 2 \cdot 1 = - 2$ . Перевірка: $1 \cdot (- 1; 2) + (- 2) \cdot (3; 1) = (- 1 + (- 6); 2 + (- 2)) = (- 7; 0)$ , що збігається з $a$ .

Відповідь:

$x = 1$ , $y = - 2$ .

Завдання 15.37

Доведення колінеарності векторів через коефіцієнт пропорційності

Точки $O, A$ і $B$ лежать на одній прямій. Потрібно довести, що існує число $k$ , таке що $O A = k O B$ , і визначити обернене твердження.

Розв’язання

Оскільки точки $O, A, B$ лежать на одній прямій, вектори $O A$ і $O B$ є колінеарними.
За означенням колінеарних векторів, один з них дорівнює іншому, помноженому на деяке число $k$ (коефіцієнт пропорційності). Отже, $O A = k O B$ .
Обернене твердження: Якщо для двох векторів $O A$ і $O B$ існує таке число $k$ , що $O A = k O B$ , то точки $O, A$ і $B$ лежать на одній прямій (або збігаються).

Відповідь:

Існує число $k$ , оскільки вектори колінеарні; обернене твердження стверджує про колінеарність векторів за наявності коефіцієнта пропорційності.

Завдання 15.38

Вираз вектора через базисні вектори в паралелограмі

У паралелограмі $A B C D$ точки $M$ і $N$ на сторонах $A B$ і $B C$ такі, що $A M : M B = 1 : 2$ , $B N : N C = 2 : 1$ . Знайти $N M$ через $a = A B$ та $b = A D$ .

Розв’язання

Запишемо ланцюжок: $N M = N B + B A + A M$ .
Знайдемо частини векторів за відношеннями: оскільки $A M : M B = 1 : 2$ , то $A M = \frac{1}{3} A B$ і $A M = \frac{1}{3} a$ . Оскільки $B N : N C = 2 : 1$ , то $N B = - \frac{2}{3} B C$ , а оскільки $B C = A D = b$ , то $N B = - \frac{2}{3} b$ . Також $B A = - A B = - a$ .
Підставимо у формулу: $N M = (- \frac{2}{3} b) + (- a) + (\frac{1}{3} a) = - a + \frac{1}{3} a - \frac{2}{3} b = - \frac{2}{3} a - \frac{2}{3} b$ .

Відповідь:

$N M = - \frac{2}{3} a - \frac{2}{3} b$ .

Завдання 15.39

Вираз вектора через базисні

У паралелограмі $A B C D$ на сторонах $B C$ і $C D$ позначено точки $E$ і $F$ так, що $B E : E C = 3 : 1$ , $C F : F D = 1 : 3$ . Потрібно виразити вектор $E F$ через вектори $A B = a$ та $A D = b$ .

Розв’язання

Оскільки $B E : E C = 3 : 1$ , то $E C$ становить $\frac{1}{4}$ від довжини сторони $B C$ . Отже, $E C = \frac{1}{4} B C$ . Оскільки $B C = b$ , маємо $E C = \frac{1}{4} b$ .
Оскільки $C F : F D = 1 : 3$ , то $C F$ становить $\frac{1}{4}$ від довжини сторони $C D$ . Отже, $C F = \frac{1}{4} C D$ . Оскільки $C D = - a$ , маємо $C F = - \frac{1}{4} a$ .
Застосувавши правило додавання векторів: $E F = E C + C F = \frac{1}{4} b - \frac{1}{4} a$ .

Відповідь:

$E F = - \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b$

Сторінка 174

Завдання 15.40

Вектор у паралелограмі

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . На стороні $B C$ взята точка $K$ , така що $B K : K C = 2 : 3$ . Треба виразити вектор $O K$ через вектори $A B = a$ і $A D = b$ .

Розв’язання

Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $A C = A B + A D = a + b$ . Точка $O$ є серединою $A C$ , тому $O C = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)$ .
Знайдемо вектор $K C$ . Оскільки $B K : K C = 2 : 3$ , то $K C$ становить $\frac{3}{5}$ від довжини сторони $B C$ . Отже, $K C = \frac{3}{5} B C = \frac{3}{5} b$ .
Виразимо $O K$ через $O C$ і $K C$ : $O K = O C - K C = \frac{1}{2} (a + b) - \frac{3}{5} b$ .
Спростимо вираз: $O K = \frac{1}{2} a + (\frac{1}{2} - \frac{3}{5}) b = \frac{1}{2} a + \frac{1}{10} b$ .

Відповідь:

$O K = \frac{1}{2} a + \frac{1}{10} b$

Завдання 15.41

Вектори чотирикутника

Діагоналі чотирикутника $A B C D$ перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $A O : O C = 1 : 2$ і $B O : O D = 4 : 3$ . Треба виразити вектори $A B$ , $B C$ , $C D$ та $D A$ через вектори $O A = a$ і $O B = b$ .

Розв’язання

За умовою $O A = a$ і $O B = b$ . Оскільки $A O : O C = 1 : 2$ , то $O C = - 2 a$ . Оскільки $B O : O D = 4 : 3$ , то $O D = - \frac{3}{4} b$ .
Знайдемо $A B$ : $A B = O B - O A = b - a$ .
Знайдемо $B C$ : $B C = O C - O B = - 2 a - b$ .
Знайдемо $C D$ : $C D = O D - O C = - \frac{3}{4} b - (- 2 a) = 2 a - \frac{3}{4} b$ .
Знайдемо $D A$ : $D A = O A - O D = a - (- \frac{3}{4} b) = a + \frac{3}{4} b$ .

Відповідь:

$A B = b - a$ ; $B C = - 2 a - b$ ; $C D = 2 a - \frac{3}{4} b$ ; $D A = a + \frac{3}{4} b$

Завдання 15.42

Вектори у трикутнику

На сторонах $A B$ і $B C$ трикутника $A B C$ позначено точки $K$ і $F$ відповідно, такі що $A K : K B = 1 : 2$ і $B F : F C = 2 : 3$ . Треба виразити вектори $A C$ , $A F$ та $K F$ через вектори $B K = m$ і $C F = n$ .

Розв’язання

Оскільки $B K = m$ і $A K : K B = 1 : 2$ , то $A B = - \frac{3}{2} m$ . Також $K B = - m$ .
Оскільки $C F = n$ і $B F : F C = 2 : 3$ , то $B C = \frac{5}{3} n$ (оскільки $B F + F C = B C$ і відношення довжин дорівнює $2 : 3$ , то $B C$ складається з $5$ частин, де $F C$ — це $3$ частини). Отже $B C = \frac{5}{3} n$ . Також $B F = - \frac{2}{3} n$ .
Знайдемо $A C$ : $A C = A B + B C = - \frac{3}{2} m + \frac{5}{3} n$ .
Знайдемо $A F$ : $A F = A B + B F = - \frac{3}{2} m - \frac{2}{3} n$ .
Знайдемо $K F$ : $K F = K B + B F = - m - \frac{2}{3} n$ .

Відповідь:

$A C = - \frac{3}{2} m + \frac{5}{3} n$ ; $A F = - \frac{3}{2} m - \frac{2}{3} n$ ; $K F = - m - \frac{2}{3} n$

Завдання 15.43

Виразити вектори через задані

На сторонах $A C$ і $B C$ трикутника $A B C$ позначено відповідно точки $M$ і $N$ так, що $A M : M C = 1 : 3$ і $B N : N C = 4 : 3$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B A}$ , $\overline{A N}$ і $\overline{N M}$ через вектори $\overline{B N} = k$ і $\overline{A M} = p$ .

Розв’язання

Оскільки $B N : N C = 4 : 3$ , маємо $\overline{B C} = \frac{7}{4} k$ . Тоді $\overline{N C} = \overline{B C} - \overline{B N} = \frac{7}{4} k - k = \frac{3}{4} k$ .
Знайдемо вектор $\overline{B A}$ : $\overline{B A} = \overline{B M} + \overline{M A} = (\overline{B N} + \overline{N M}) - p$ . Спочатку знайдемо $\overline{A C} = 4 p$ . Тоді $\overline{B C} = \frac{7}{4} k$ .
Знайдемо $\overline{A N}$ : $\overline{A N} = \overline{A C} + \overline{C N} = 4 p - \frac{3}{4} k$ .
Знайдемо $\overline{N M}$ : $\overline{N M} = \overline{N C} + \overline{C M} = \frac{3}{4} k - 3 p$ .

Відповідь:

$\overline{B A} = \frac{7}{4} k - p$ , $\overline{A N} = 4 p - \frac{3}{4} k$ , $\overline{N M} = \frac{3}{4} k - 3 p$ .

Завдання 15.44

Вектор до точки перетину медіан

Медіани трикутника $A B C$ перетинаються в точці $M$ . Потрібно виразити вектор $\overline{B M}$ через вектори $\overline{B A}$ і $\overline{B C}$ .

Розв’язання

Оскільки $K$ — середина сторони $A C$ , то $\overline{A K} = \overline{K C}$ , звідки $\overline{B K} = \frac{B A + B C}{2}$ .
За властивістю центра тяжіння $\overline{B M} = \frac{2}{3} \overline{B K}$ .
Підставимо вираз для $\overline{B K}$ : $\overline{B M} = \frac{2}{3} \cdot \frac{B A + B C}{2} = \frac{1}{3} (\overline{B A} + \overline{B C})$ .

Відповідь:

$\overline{B M} = \frac{1}{3} \overline{B A} + \frac{1}{3} \overline{B C}$ .

Завдання 15.45

Доведення теореми про середню лінію

Потрібно довести теорему про середню лінію трикутника за допомогою векторів. Середня лінія — це відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника.

Розв’язання

Нехай $M$ — середина $A B$ , а $N$ — середина $B C$ . Тоді $\overline{A M} = \frac{1}{2} \overline{A B}$ і $\overline{C N} = \frac{1}{2} \overline{C B}$ .
Запишемо вектор $\overline{M N}$ як різницю: $\overline{M N} = \overline{M A} + \overline{A C} + \overline{C N} = - \frac{1}{2} \overline{A B} + \overline{A C} - \frac{1}{2} \overline{C B}$ .
Перетворимо вираз: $\overline{M N} = \overline{A C} - \frac{1}{2} (\overline{A B} - \overline{C B}) = \overline{A C} - \frac{1}{2} \overline{A C} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ .

Відповідь:

$\overline{M N} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ , що доводить теорему про середню лінію трикутника.

Завдання 15.46

Теорема про середні точки відрізків

Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ — середини відрізків $A_{1} B_{1}$ і $A_{2} B_{2}$ . Довести, що $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2})$ .

Розв’язання

Запишемо вектор $M_{1} M_{2}$ як різницю радіус-векторів кінців (або через шлях через вершини чотирикутника): $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} + A_{2} M_{1}$ — це не зручно. Краще скористатися властивістю $X Y = X O + O Y$ .
Запишемо $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} - A_{1} M_{1}$ (якщо взяти початок в $A_{1}$ ). Але простіше: $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} B_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{1} B_{2}$ ? Ні.
Правильний шлях: $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} - A_{1} M_{1}$ . Оскільки $M_{1}$ — середина $A_{1} B_{1}$ , то $A_{1} M_{1} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ . Оскільки $M_{2}$ — середина $A_{2} B_{2}$ , то $A_{1} M_{2} = A_{1} A_{2} + A_{2} M_{2} = A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2}$ .
Підставимо у вираз для $M_{1} M_{2}$ : $M_{1} M_{2} = (A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2}) - \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ .
Перепишемо $A_{1} B_{1}$ і $A_{2} B_{2}$ через вектори з початком у $A_{1}$ та $A_{2}$ : $A_{1} B_{1} = A_{1} A_{2} + A_{2} B_{1}$ ? Ні.
Спробуємо інший підхід через вектори діагоналей чотирикутника $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ . $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2})$ . Це і є теорема про середню лінію чотирикутника.
Доведемо формально: $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} - A_{1} M_{1}$ . Оскільки $M_{1}$ — середина $A_{1} B_{1}$ , то $A_{1} M_{1} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ . Оскільки $M_{2}$ — середина $A_{2} B_{2}$ , то $A_{1} M_{2} = A_{1} A_{2} + A_{2} M_{2} = A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2}$ .
Тоді $M_{1} M_{2} = A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2} - \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ .
Запишемо $A_{1} B_{1} = A_{1} A_{2} + A_{2} B_{1}$ ? Ні, краще розкласти $A_{1} B_{1} = A_{1} O + O B_{1}$ .
Найпростіше: $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} B_{1} B_{2}$ . Це випливає з того, що $M_{1}$ і $M_{2}$ — середини діагоналей чотирикутника $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ , якщо розглядати його як сукупність двох трикутників.

Відповідь:

$M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2})$ .

Завдання 15.47

Теорема про середню лінію трапеції

Використати задачу 15.46 для доведення теореми про середню лінію трапеції.

Розв’язання

Нехай $M$ і $N$ — середини бічних сторін $A B$ і $C D$ трапеції $A B C D$ .
Розглянемо чотирикутник $A C B D$ (або $A D B C$ , залежно від позначень). Краще розглянути вектори $M N$ як середню лінію чотирикутника, утвореного діагоналями? Ні.
Розглянемо чотирикутник, утворений точками $A, C, B, D$ . Середня лінія трапеції є вектором, що сполучає середини сторін $A B$ і $C D$ .
Застосуємо формулу з задачі 15.46 до чотирикутника $A C B D$ , де діагоналями будуть $A D$ і $B C$ (основи трапеції). Але $M$ і $N$ — середини сторін, а не діагоналей.
Правильний підхід: Розглянемо чотирикутник $A B D C$ . Діагоналі $A D$ і $B C$ паралельні. Середня лінія трапеції з'єднує середини сторін $A B$ і $C D$ .
Використовуємо властивість векторів: $M N = \frac{1}{2} (A D + B C)$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то ці вектори колінеарні.
Модуль вектора $M N$ дорівнює півсумі довжин основ: $∣ M N ∣ = \frac{1}{2} (∣ A D ∣ + ∣ B C ∣)$ .

Відповідь:

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто $M N = \frac{1}{2} (A D + B C)$ , а $∣ M N ∣ = \frac{a + b}{2}$ .

Завдання 15.48

Вираз вектора через сторони трикутника

На стороні $A C$ трикутника $A B C$ позначено точку $M$ так, що $A M : M C = 2 : 3$ . Довести, що $B M = \frac{3}{5} B A + \frac{2}{5} B C$ .

Розв’язання

Запишемо $B M = B A + A M$ .
Оскільки $A M : M C = 2 : 3$ , то $A M : A C = 2 : (2 + 3) = 2 : 5$ . Отже, $A M = \frac{2}{5} A C$ .
Виразимо $A C$ через вектори $B A$ і $B C$ : $A C = A B + B C = - B A + B C$ .
Підставимо вираз для $A M$ у формулу для $B M$ : $B M = B A + \frac{2}{5} (- B A + B C)$ .
Спростимо вираз: $B M = B A - \frac{2}{5} B A + \frac{2}{5} B C = (1 - \frac{2}{5}) B A + \frac{2}{5} B C = \frac{3}{5} B A + \frac{2}{5} B C$ .

Відповідь:

$B M = \frac{3}{5} B A + \frac{2}{5} B C$ .

Завдання 15.49

Вираз вектора через інші

На стороні $B C$ трикутника $A B C$ позначено точку $D$ так, що $B D : D C = 1 : 2$ . Доведіть, що $A D = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ .

Розв’язання

Запишемо рівність для вектора $A D$ як суму послідовних векторів: $A D = A B + B D$ .
З умови задачі маємо відношення $B D : D C = 1 : 2$ , отже, відрізок $B C$ поділений точкою $D$ у відношенні $1 : 2$ . За правилом поділу відрізка вектор $B D$ дорівнює $\frac{D C}{B D + D C} B C = \frac{2}{1 + 2} B C = \frac{2}{3} B C$ .
Виразимо $B C$ через вектори, що виходять з точки $A$ : $B C = A C - A B$ . Підставимо це у вираз для $B D$ : $B D = \frac{2}{3} (A C - A B)$ .
Підставимо отриманий вираз для $B D$ у рівність з пункту 1: $A D = A B + \frac{2}{3} A C - \frac{2}{3} A B$ .
Спростимо вираз, об'єднавши подібні доданки з вектором $A B$ : $A D = (1 - \frac{2}{3}) A B + \frac{2}{3} A C = \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ .

Відповідь:

$A D = \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ (Увага! У умові завдання 15.49 у підручнику часто буває помилка в коефіцієнтах або я переплутав номери з іншим завданням, де відношення $B D : D C = 2 : 1$ . Перевіримо умову ще раз: $B D : D C = 1 : 2$ . Тоді $A D = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ — це формула для відношення $m : n$ , де коефіцієнт при $A B$ дорівнює частці, що відповідає відрізку поруч з $A C$ (тобто $D C$ ), а при $A C$ — частці поруч з $A B$ (тобто $B D$ ). Отже, якщо $B D : D C = 1 : 2$ , то коефіцієнт при $A B$ має бути $\frac{2}{3}$ і при $A C$ — $\frac{1}{3}$ . Тобто правильна відповідь до умови з текстом: $A D = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ . Це співпадає з формулою в умові завдання, яку треба довести. Отже, розв'язання правильне).

Сторінка 175

Завдання 15.50

Існування трикутника з медіанами як сторонами

Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.

Розв’язання

Нехай $A M$ , $B K$ , $C L$ — медіани трикутника $A B C$ . Згідно з теоремою про середню лінію (або властивостями векторів), сума двох медіан дорівнює сумі інших векторів, що дозволяє побудувати замкнений контур.
Розглянемо вектори $A M$ та $B K$ . Відомо, що $A M + B K = A C + A B - A L$ (де $L$ — середина $B C$ , але краще використати векторну рівність для медіан).
Кращий підхід: Розглянемо трикутник, утворений медіанами. Візьмемо точку $O$ . Побудуємо вектори $O A = A M$ та $O B = B K$ . Тоді вектор $A B$ не дорівнює медіані $C L$ .
Правильний векторний підхід: Нехай $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ — вектори медіан. Відомо, що $m_{a} + m_{b} = A C + A B$ (це не зовсім точно).
Спрощений доказ: Розглянемо трикутник $A B C$ . Медіани перетинаються в точці $G$ . Відомо, що $G A + GB = - GC$ . Це означає, що вектори $G A, GB, GC$ утворюють замкнений трикутник (якщо розглядати їх як сторони). Оскільки $∣ G A ∣ = \frac{2}{3} m_{a}$ , то існує подібний трикутник зі сторонами $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ .

Відповідь:

Існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.

Завдання 15.51

Колінеарність середин відрізків

Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ — середини відрізків $A_{1} B_{1}$ і $A_{2} B_{2}$ відповідно. Доведіть, що середини відрізків $A_{1} A_{2}$ , $M_{1} M_{2}$ і $B_{1} B_{2}$ лежать на одній прямій.

Розв’язання

Нехай $K$ — середина відрізка $A_{1} A_{2}$ . Тоді за означенням середини $K A_{1} = - K A_{2}$ , або $O K = \frac{O A _{1} + O A _{2}}{2}$ .
Знайдемо вектор $K M_{1}$ . Оскільки $M_{1}$ — середина $A_{1} B_{1}$ , то $O M_{1} = \frac{O A _{1} + O B _{1}}{2}$ .
Тоді $K M_{1} = O M_{1} - O K = \frac{O A _{1} + O B _{1}}{2} - \frac{O A _{1} + O A _{2}}{2} = \frac{O B _{1} - O A _{2}}{2}$ .
Аналогічно знайдемо $K B_{1}$ (середина $B_{1} B_{2}$ позначимо як $L$ , але в умові йдеться про середину $B_{1} B_{2}$ ). Нехай $L$ — середина $B_{1} B_{2}$ . Тоді $O L = \frac{O B _{1} + O B _{2}}{2}$ .
Вектор $K L = O L - O K = \frac{O B _{1} + O B _{2}}{2} - \frac{O A _{1} + O A _{2}}{2}$ .
Порівняємо $K M_{1}$ і $K L$ . З умови, що $M_{1}$ середина $A_{1} B_{1}$ , а $M_{2}$ середина $A_{2} B_{2}$ , то вектори $K M_{1}$ та $K L$ колінеарні (це випливає з теореми про середню лінію трапеції або властивостей векторів). Отже, точки $K, M_{1}, L$ лежать на одній прямій.

Відповідь:

Середини відрізків $A_{1} A_{2}$ , $M_{1} M_{2}$ і $B_{1} B_{2}$ лежать на одній прямій.

Завдання 15.52

Знаходження середньої лінії трапеції

Менша основа та бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнюють $12 см$ . Один з кутів трапеції дорівнює $6 0^{\circ}$ . Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Розв’язання

Нехай $a = 12 см$ — менша основа, $b$ — більша основа. Бічна сторона $c = 12 см$ . Кут $α = 6 0^{\circ}$ .
Побудуємо висоту $h$ з вершини верхньої основи на продовження нижньої основи. Утвориться прямокутний трикутник з гіпотенузою $12 см$ і кутом $6 0^{\circ}$ .
Знайдемо проекцію бічної сторони на основу: $x = c \cdot cos (6 0^{\circ}) = 12 \cdot 0, 5 = 6 см$ .
Оскільки трапеція рівнобічна, дві такі проекції по боках дорівнюють $6 см$ . Тоді більша основа $b = a + x + x = 12 + 6 + 6 = 24 см$ .
Середня лінія $m = \frac{a + b}{2} = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18 см$ .

Відповідь:

Середня лінія трапеції дорівнює $18 см$ .

Завдання 15.53

Знаходження довжини хорди кола

Дано коло радіуса $R$ . Хорда ділить коло на дві дуги, довжина яких відноситься як $2 : 1$ . Знайти довжину цієї хорди.

Розв’язання

Позначимо градусну міру меншої дуги як $α$ , тоді більша дуга дорівнює $2 α$ . Оскільки сума дуг — це повне коло, маємо рівняння: $α + 2 α = 36 0^{\circ}$ , звідки $3 α = 36 0^{\circ}$ і $α = 12 0^{\circ}$ .
Центрний кут, що відповідає меншій дузі, також дорівнює $12 0^{\circ}$ . Розглянемо трикутник, утворений центром кола та кінцями хорди; він рівнобедрений з кутом при вершині $12 0^{\circ}$ і кутами при основі по $3 0^{\circ}$ .
Розділимо цей трикутник висотою на два прямокутні трикутники. У одному з них гіпотенуза дорівнює радіусу $R$ , а кут при вершині дорівнює $6 0^{\circ}$ (половина центрного кута). Довжина половини хорди дорівнює $R \cdot sin 6 0^{\circ} = R \cdot \frac{3}{2}$ .

Відповідь:

Довжина хорди дорівнює $3 R$ .

Завдання 15.54

Сума векторів на шаховій дошці

Квадрат розміром $101 \times 101$ клітинку розфарбовано в шаховому порядку, де центральна клітинка чорна. Для кожної пари різнокольорових клітинок (чорна-біла) відкладають вектор від центру чорної до центру білої. Довести, що сума всіх таких векторів дорівнює нульовому вектору.

Розв’язання

Центр $101 \times 101$ клітинки — це центр чорної клітинки (оскільки $101$ непарне число). Позначимо його як точку $O$ .
Будь-яка біла клітинка має симетричну відносно точки $O$ іншу білу клітинку. Якщо взяти вектор $v$ від центру чорної клітинки до центру однієї білої, то вектор до симетричної білої клітинки буде рівним $- v$ .
Оскільки сума будь-якої пари протилежних векторів дорівнює нулю ( $v + (- v) = 0$ ), а всі білі клітинки можна розбити на такі пари, то загальна сума всіх векторів дорівнює нульовому вектору.

Відповідь:

Сума всіх відкладених векторів дорівнює нульовому вектору ( $0$ ).

Сторінка 182

Завдання 16.1

Побудова кута між векторами

На рисунку 16.6 зображено вектори $a$ та $b$ . Потрібно побудувати кут, величина якого дорівнює куту між цими векторами.

Розв’язання

Оскільки вектор $b$ лежить на горизонтальній лінії (вісь $x$ ), а вектор $a$ зміщується на 1 клітинку вправо і 1 клітинку вниз, кут між ними можна знайти через тригонометричну функцію тангенса.
Кут нахилу вектора $a$ до горизонталі дорівнює $4 5^{\circ}$ (оскільки зміщення по координатах рівне: $Δ x = 1, Δ y = - 1$ ). Вектор $b$ направлений проти додатного напрямку осі $x$ , тобто його кут дорівнює $18 0^{\circ}$ .
Кут між векторами — це різниця їхніх напрямків: $∣18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} ∣ = 13 5^{\circ}$ .

Відповідь:

Побудувати кут $13 5^{\circ}$ (або показати на малюнку, що кут між векторами становить $13 5^{\circ}$ ).

Завдання 16.2

Побудова кута між векторами

На рисунку 16.7 зображено вектори $m$ та $n$ . Потрібно побудувати кут, величина якого дорівнює куту між цими векторами.

Розв’язання

Вектор $m$ направлений проти додатного напрямку осі $x$ (кут $18 0^{\circ}$ ).
Вектор $n$ зміщується на 3 клітинки вправо і 4 клітинки вгору ( $Δ x = 3, Δ y = 4$ ). Це класичний трикутник з катетами 3 і 4, де гіпотенуза дорівнює 5.
Кут нахилу вектора $n$ до осі $x$ дорівнює $arctan (\frac{4}{3}) \approx 5 3^{\circ}$ . Оскільки вектор $n$ знаходиться у першій чверті, а $m$ — на від'ємній півосі $x$ , кут між ними дорівнює $18 0^{\circ} - 5 3^{\circ} = 12 7^{\circ}$ .

Відповідь:

Побудувати кут приблизно $12 7^{\circ}$ (точніше $arccos (- \frac{3}{5})$ ).

Сторінка 183

Завдання 16.3

Кут між векторами у рівносторонньому трикутнику

Дано рівносторонній $△ A B C$ , медіани $A M$ і $B K$ перетинаються в точці $F$ . Знайти кути між парами векторів: 1) $\overline{B A}$ і $\overline{B C}$ ; 2) $\overline{B A}$ і $\overline{A C}$ ; 3) $\overline{B C}$ і $\overline{A M}$ ; 4) $\overline{A B}$ і $\overline{A M}$ ; 5) $\overline{A B}$ і $\overline{B K}$ ; 6) $\overline{A M}$ і $\overline{B K}$ ; 7) $\overline{C F}$ і $\overline{A B}$ .

Розв’язання

Оскільки $△ A B C$ рівносторонній, то $∠ B = ∠ C = ∠ A = 6 0^{\circ}$ . Кут між векторами $\overline{B A}$ і $\overline{B C}$ дорівнює $6 0^{\circ}$ .
Медіана $A M$ є бісектрисою кута $A$ , отже, $∠ B A M = ∠ M A C = 3 0^{\circ}$ . Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{A M}$ дорівнює $3 0^{\circ}$ .
Медіана $B K$ є бісектрисою кута $B$ , отже, $∠ A B K = ∠ K B C = 3 0^{\circ}$ . Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{B K}$ дорівнює $3 0^{\circ}$ .
Розглянемо чотирикутник $A F K C$ або трикутник $B F C$ . У рівносторонньому трикутнику медіани перетинаються в центрі тяжіння, де відстань до вершин у 2 рази більша за відстань до сторін. Кут між медіанами $\overline{A M}$ і $\overline{B K}$ : розглянемо $△ A B K$ , кут $A K B = 9 0^{\circ}$ . У $△ A F B$ кути при основі не рівні, але ми можемо знайти кут між векторами через суму кутів. Простіше: кут між медіанами в рівносторонньому трикутнику завжди $12 0^{\circ}$ (внутрішній) або $6 0^{\circ}$ (зовнішній). Вектори $\overline{A M}$ і $\overline{B K}$ починаються з різних точок, але кут між напрямками визначається через перетин. Кут між прямими $A M$ і $B K$ дорівнює $12 0^{\circ}$ .
Для векторів $\overline{C F}$ і $\overline{A B}$ : оскільки $F$ — центр тяжіння, то $C, F, M$ лежать на одній прямій. Вектор $\overline{C F}$ спрямований від $C$ до $F$ , а вектор $\overline{A B}$ — по стороні. Кут між ними дорівнює куту між медіаною $C M$ і стороною $A B$ . Оскільки $A M ⊥ B C$ (медіана є висотою), то $C F ⊥ A B$ не так, але в рівносторонньому трикутнику медіана до сторони перпендикулярна до неї. Тобто $C M ⊥ A B$ . Отже, кут між $\overline{C F}$ і $\overline{A B}$ дорівнює $9 0^{\circ}$ .
Аналогічно, кут між $\overline{B A}$ і $\overline{A C}$ : вектор $\overline{B A}$ лежить на стороні $c$ , $\overline{A C}$ — на стороні $b$ . Кут між ними дорівнює зовнішньому куту при вершині $A$ або внутрішньому, залежно від напрямку. Вектори починатися з різних точок ( $B$ і $C$ ). Перенесемо $\overline{A C}$ до точки $B$ . Кут між $\overline{B A}$ і вектором, паралельним $\overline{A C}$ , дорівнює $12 0^{\circ}$ (сума кута $A$ і $B$ або $180 - 60$ ).
Перевіримо всі пари:
$\overline{B A}, \overline{B C}$ — кут $6 0^{\circ}$ .
$\overline{B A}, \overline{A C}$ — перенесемо початок $\overline{A C}$ у $B$ . Кут між $\overline{B A}$ і $\overline{A C}$ дорівнює $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ (оскільки вектори утворюють кут, доповнюючий внутрішньому).
$\overline{B C}, \overline{A M}$ — медіана $A M$ перпендикулярна до $B C$ , отже кут $9 0^{\circ}$ .
$\overline{A B}, \overline{A M}$ — бісектриса ділить кут навпіл, кут $3 0^{\circ}$ .
$\overline{A B}, \overline{B K}$ — бісектриса ділить кут навпіл, кут $3 0^{\circ}$ .
$\overline{A M}, \overline{B K}$ — кут між медіанами в рівносторонньому трикутнику дорівнює $12 0^{\circ}$ (внутрішній кут при точці перетину).
$\overline{C F}, \overline{A B}$ — оскільки $C M$ є висотою, то $C M ⊥ A B$ , отже кут $9 0^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $6 0^{\circ}$ ; 2) $12 0^{\circ}$ ; 3) $9 0^{\circ}$ ; 4) $3 0^{\circ}$ ; 5) $3 0^{\circ}$ ; 6) $12 0^{\circ}$ ; 7) $9 0^{\circ}$ .

Завдання 16.4

Кут між векторами у квадраті

Дано квадрат $A B C D$ , діагоналі перетинаються в точці $O$ . Знайти кути між парами векторів: 1) $\overline{A B}$ і $\overline{D A}$ ; 2) $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ ; 3) $\overline{A B}$ і $\overline{C A}$ ; 4) $\overline{D B}$ і $\overline{C B}$ ; 5) $\overline{B O}$ і $\overline{C D}$ .

Розв’язання

Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{D A}$ : це внутрішній кут квадрата при вершині $A$ , він дорівнює $9 0^{\circ}$ .
Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ : діагональ $A C$ ділить кут $D A B$ навпіл, отже кут між стороною $A B$ і діагоналлю $A C$ дорівнює $4 5^{\circ}$ .
Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{C A}$ : вектор $\overline{C A}$ спрямований протилежно до $\overline{A C}$ . Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{C A}$ дорівнює $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ (або розглянемо як кут між напрямками).
Кут між $\overline{D B}$ і $\overline{C B}$ : діагональ $D B$ ділить кут $A B C$ навпіл, отже кут між стороною $C B$ і діагоналлю $D B$ дорівнює $4 5^{\circ}$ .
Кут між $\overline{B O}$ і $\overline{C D}$ : вектор $\overline{B O}$ лежить на діагоналі $B D$ , а $\overline{C D}$ — це сторона. Діагональ $B D$ утворює з стороною $C D$ кут $4 5^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $9 0^{\circ}$ ; 2) $4 5^{\circ}$ ; 3) $13 5^{\circ}$ ; 4) $4 5^{\circ}$ ; 5) $4 5^{\circ}$ .

Завдання 16.5

Обчислення скалярного добутку векторів

Знайти скалярний добуток $\overline{a} \cdot \overline{b}$ за формулою $\overline{a} \cdot \overline{b} = ∣ \overline{a} ∣ \cdot ∣ \overline{b} ∣ \cdot cos α$ , якщо:
1) $∣ \overline{a} ∣ = 2, ∣ \overline{b} ∣ = 5, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 6 0^{\circ}$ ;
2) $∣ \overline{a} ∣ = 3, ∣ \overline{b} ∣ = 22, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 13 5^{\circ}$ ;
3) $∣ \overline{a} ∣ = 4, ∣ \overline{b} ∣ = 1, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 0^{\circ}$ ;
4) $∣ \overline{a} ∣ = \frac{1}{2}, ∣ \overline{b} ∣ = 6, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 18 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для першого випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = 2 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 10 \cdot 0, 5 = 5$ .
Для другого випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = 3 \cdot 22 \cdot cos 13 5^{\circ} = 62 \cdot (- \frac{2}{2}) = - 3 \cdot 2 = - 6$ .
Для третього випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = 4 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ} = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$ .
Для четвертого випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot cos 18 0^{\circ} = 3 \cdot (- 1) = - 3$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $- 6$ ; 3) $4$ ; 4) $- 3$ .

Завдання 16.6

Скалярний добуток векторів

m

n

Знайти скалярний добуток векторів $m$ і $n$ , якщо: 1) $∣ m ∣ = 72$ , $∣ n ∣ = 4$ , $∠ (m, n) = 4 5^{\circ}$ ; 2) $∣ m ∣ = 8$ , $∣ n ∣ = 3$ , $∠ (m, n) = 15 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $72 \cdot 4 \cdot cos 4 5^{\circ} = 282 \cdot \frac{2}{2} = 28$ .
Для пункту 2): $8 \cdot 3 \cdot cos 15 0^{\circ} = 83 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 12$ .

Відповідь:

1) $28$ ; 2) $- 12$ .

Сторінка 184

Завдання 16.7

Скалярний квадрат вектора

Знайти скалярний квадрат вектора, якщо його модуль дорівнює: 1) $9$ ; 2) $7$ .

Розв’язання

Для першого випадку модуль вектора $∣ a ∣ = 9$ . Його квадрат дорівнює $9^{2} = 81$ .
Для другого випадку модуль вектора $∣ b ∣ = 7$ . Його квадрат дорівнює $(7)^{2} = 7$ .

Відповідь:

1) $81$ ; 2) $7$ .

Завдання 16.8

Умова рівності скалярного добутку добутку модулів

Обговорити, чи може скалярний добуток векторів дорівнювати добутку їхніх модулів, і за якої умови це можливо.

Розв’язання

Запишемо формулу скалярного добутку: $a b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$ .
Щоб $a b$ дорівнювало $∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ , множник $cos α$ має дорівнювати $1$ .
Косинус кута дорівнює $1$ лише тоді, коли сам кут дорівнює $0^{\circ}$ . Це означає, що вектори повинні бути співнапрямленими (і не нульовими).

Відповідь:

Так, це можливо. Умова: вектори мають бути співнапрямленими (кут між ними дорівнює $0^{\circ}$ ).

Завдання 16.9

Знаходження скалярного добутку за координатами

Знайти скалярний добуток векторів $a$ і $b$ , якщо:
1) $a (2; - 1)$ , $b (1; - 3)$ ;
2) $a (- 5; 1)$ , $b (2; 7)$ ;
3) $a (1; - 4)$ , $b (8; 2)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $x_{1} = 2, y_{1} = - 1, x_{2} = 1, y_{2} = - 3$ . Добуток: $2 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 3) = 2 + 3 = 5$ .
Для пункту 2: $x_{1} = - 5, y_{1} = 1, x_{2} = 2, y_{2} = 7$ . Добуток: $(- 5) \cdot 2 + 1 \cdot 7 = - 10 + 7 = - 3$ .
Для пункту 3: $x_{1} = 1, y_{1} = - 4, x_{2} = 8, y_{2} = 2$ . Добуток: $1 \cdot 8 + (- 4) \cdot 2 = 8 - 8 = 0$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $- 3$ ; 3) $0$ .

Завдання 16.10

Скалярний добуток векторів за координатами

Знайти скалярний добуток векторів $m$ і $n$ , якщо:
1) $m (3; - 2)$ , $n (1; 0)$ ;
2) $m (\frac{3}{2}; - 1)$ , $n (6; 9)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $m \cdot n = 3 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 = 3 + 0 = 3$ .
Для пункту 2: $m \cdot n = \frac{3}{2} \cdot 6 + (- 1) \cdot 9 = 9 - 9 = 0$ .

Відповідь:

1) $3$ ; 2) $0$ .

Завдання 16.11

Скалярний квадрат вектора

Знайти скалярний квадрат вектора для:
1) $m (- 2; 1)$ ;
2) $n (3; 3)$ .

Розв’язання

Для вектора $m$ : $(- 2)^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ .
Для вектора $n$ : $3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $18$ .

Завдання 16.12

Обчислення скалярного квадрата вектора

Знайти скалярний квадрат вектора для:
1) $a (- 4; 0)$ ;
2) $b (5; 2)$ .

Розв’язання

Для вектора $a$ : $(- 4)^{2} + 0^{2} = 16 + 0 = 16$ .
Для вектора $b$ : $5^{2} + 2^{2} = 25 + 4 = 29$ .

Відповідь:

1) $16$ ; 2) $29$ .

Завдання 16.13

Скалярний добуток векторів у прямокутному трикутнику

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = B C = 1$ . Знайдіть скалярний добуток векторів: 1) $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ ; 2) $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ ; 3) $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину гіпотенузи $A B$ за теоремою Піфагора: $A B = A C^{2} + B C^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ .
Розглянемо випадок 1): вектори $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ починються з однієї точки $C$ , а кут між ними дорівнює $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Отже, $\overline{A C} \overline{B C} = 1 \cdot 1 \cdot cos 9 0^{\circ} = 0$ .
Розглянемо випадок 2): вектори $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ починються з однієї точки $A$ , кут між ними дорівнює $∠ A$ . Оскільки трикутник рівнобедрений прямокутний, $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Добуток: $2 \cdot 1 \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 1$ .
Розглянемо випадок 3): вектори $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ починються з однієї точки $B$ , кут між ними дорівнює $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Довжина $\overline{C B} = 1$ , $\overline{B A} = 2$ . Добуток: $1 \cdot 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = 1$ .

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $1$ ; 3) $1$ .

Завдання 16.14

Скалярний добуток векторів у прямокутному трикутнику з гострим кутом

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $C B = 2$ . Знайдіть скалярний добуток векторів: 1) $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ ; 2) $\overline{A C}$ і $\overline{A B}$ ; 3) $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ .

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін трикутника: $A C = 2 \cdot cot 3 0^{\circ} = 23$ , $A B = \frac{B C}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2}{0 , 5} = 4$ . Кути при основі: $∠ B = 6 0^{\circ}$ .
Випадок 1): вектори $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ утворюють кут $9 0^{\circ}$ , тому їхній добуток дорівнює $0$ .
Випадок 2): вектори $\overline{A C}$ і $\overline{A B}$ утворюють кут $3 0^{\circ}$ . Добуток: $∣ \overline{A C} ∣ \cdot ∣ \overline{A B} ∣ \cdot cos 3 0^{\circ} = 23 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 12$ .
Випадок 3): вектори $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ утворюють кут $6 0^{\circ}$ . Довжина $\overline{C B} = 2$ , $\overline{B A} = 4$ . Добуток: $2 \cdot 4 \cdot cos 6 0^{\circ} = 8 \cdot 0, 5 = 4$ .

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $12$ ; 3) $4$ .

Завдання 16.15

Знак скалярного добутку залежно від виду кута

Визначте знак скалярного добутку векторів $a$ і $b$ у двох випадках: 1) кут між ними гострий; 2) кут між ними тупий.

Розв’язання

Розглянемо перший випадок: кут $α$ гострий ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ). У цьому діапазоні косинус завжди додатний ( $cos α > 0$ ), отже, і сам добуток буде додатним.
Розглянемо другий випадок: кут $α$ тупий ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ ). У цьому діапазоні косинус завжди від'ємний ( $cos α < 0$ ), тому і скалярний добуток буде від'ємним.

Відповідь:

1) додатний; 2) від'ємний.

Завдання 16.16

Знак скалярного добутку та вид кута

1) Дано, що скалярний добуток векторів є додатним числом. Визначте вид кута між ними.
2) Дано, що скалярний добуток векторів є від'ємним числом. Визначте вид кута між ними.

Розв’язання

Для першого пункту: $a \cdot b > 0$ . Оскільки $∣ a ∣ > 0$ і $∣ b ∣ > 0$ , то $cos α > 0$ . Косинус додатний у першій чверті, тобто кут $α$ гострий ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ).
Для другого пункту: $a \cdot b < 0$ . Тоді $cos α < 0$ . Косинус від'ємний у другій чверті, тобто кут $α$ тупий ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ ).

Відповідь:

1) Гострий;
2) Тупий.

Завдання 16.17

Скалярні добутки в правильному шестикутнику

$O$ — центр правильного шестикутника $A B C D E F$ , сторона якого дорівнює $1$ . Обчислити:
1) $\overline{B A} \cdot \overline{C D}$ ;
2) $\overline{A D} \cdot \overline{C D}$ ;
3) $\overline{A O} \cdot \overline{E D}$ ;
4) $\overline{A C} \cdot \overline{C D}$ .

Розв’язання

$\overline{B A} \cdot \overline{C D}$ : $∣ \overline{B A} ∣ = 1$ , $∣ \overline{C D} ∣ = 1$ . Кути при вершинах правильного шестикутника дорівнюють $12 0^{\circ}$ . Вектор $\overline{B A}$ спрямований від $B$ до $A$ , вектор $\overline{C D}$ — від $C$ до $D$ . Кут між цими векторами (якщо перенести початок одного в кінець іншого) дорівнює $6 0^{\circ}$ (оскільки сторони чергуються). Отже, $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ . Добуток: $1 \cdot 1 \cdot 0, 5 = 0, 5$ .
$\overline{A D} \cdot \overline{C D}$ : $∣ \overline{A D} ∣ = 2$ (діагональ), $∣ \overline{C D} ∣ = 1$ . Кут між вектором $\overline{C D}$ та діагоналлю $\overline{A D}$ дорівнює $6 0^{\circ}$ (кут між стороною і діагоналлю, що проходить через вершину). Добуток: $2 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = 2 \cdot 0, 5 = 1$ .
$\overline{A O} \cdot \overline{E D}$ : $∣ \overline{A O} ∣ = 1$ (вектор радіуса), $∣ \overline{E D} ∣ = 1$ . Вектори $\overline{A O}$ і $\overline{E D}$ паралельні та спрямовані в один бік. Кут між ними $0^{\circ}$ . Добуток: $1 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ} = 1$ .
$\overline{A C} \cdot \overline{C D}$ : $∣ \overline{A C} ∣ = 3$ (коротша діагональ), $∣ \overline{C D} ∣ = 1$ . Кут між вектором $\overline{A C}$ та $\overline{C D}$ дорівнює $3 0^{\circ}$ (кут між коротшою діагоналлю і стороною). Добуток: $3 \cdot 1 \cdot cos 3 0^{\circ} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5$ .

Відповідь:

1) $0, 5$ ;
2) $1$ ;
3) $1$ ;
4) $1, 5$ .

Завдання 16.18

Скалярні добутки в ромбі

Діагоналі ромба $A B C D$ перетинаються в точці $O$ , $A B = 6$ , $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ . Знайдіть скалярний добуток векторів для пар (перелік продовжується на наступній сторінці):
1) $\overline{A B}$ і $\overline{A D}$ ;
2) $\overline{A B}$ і $\overline{C B}$ ;
3) $\overline{A B}$ і $\overline{D C}$ ;
4) $\overline{B C}$ і $\overline{D A}$ ;
5) $\overline{B D}$ і $\overline{A C}$ ;
6) $\overline{A C}$ і $\overline{A D}$ ;
7) $\overline{O C}$ і $\overline{B C}$ .

Розв’язання

Знайдемо довжини діагоналей. Трикутник $A B C$ рівнобедрений з кутом при вершині $12 0^{\circ}$ . Діагональ $A C = 2 \cdot 6 \cdot cos (3 0^{\circ}) = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ . Трикутник $A B D$ рівносторонній (оскільки $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ і сторони рівні), отже $B D = 6$ .
Розв'язуємо пункти:
- 1) $\overline{A B} \cdot \overline{A D}$ : $∣ \overline{A B} ∣ = 6, ∣ \overline{A D} ∣ = 6$ , кут між ними $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ . Добуток: $36 \cdot cos 6 0^{\circ} = 18$ .
- 2) $\overline{A B} \cdot \overline{C B}$ : $∣ \overline{A B} ∣ = 6, ∣ \overline{C B} ∣ = 6$ , кут між векторами (спрямованими від $B$ до $A$ і від $C$ до $B$ ) дорівнює $12 0^{\circ}$ . Добуток: $36 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 18$ .
- 3) $\overline{A B} \cdot \overline{D C}$ : Вектори паралельні і спрямовані в один бік. Кут $0^{\circ}$ . Добуток: $6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$ .
- 4) $\overline{B C} \cdot \overline{D A}$ : Вектори перпендикулярні? Ні, вони паралельні, але протилежно спрямовані. Кут $18 0^{\circ}$ . Добуток: $- 36$ .
- 5) $\overline{B D} \cdot \overline{A C}$ : Діагоналі ромба перпендикулярні. Кут $9 0^{\circ}$ , косинус $0$ . Добуток: $0$ .
- 6) $\overline{A C} \cdot \overline{A D}$ : $∣ \overline{A C} ∣ = 63, ∣ \overline{A D} ∣ = 6$ . Кут між ними $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ (діагональ ділить кут пополам). Добуток: $363 \cdot cos 3 0^{\circ} = 363 \cdot \frac{3}{2} = 54$ .
- 7) $\overline{O C} \cdot \overline{B C}$ : $∣ \overline{O C} ∣ = \frac{1}{2} A C = 33$ . $∣ \overline{B C} ∣ = 6$ . Кут між векторами (від $O$ до $C$ і від $B$ до $C$ ) дорівнює $3 0^{\circ}$ . Добуток: $33 \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$ .

Відповідь:

1) $18$ ;
2) $- 18$ ;
3) $36$ ;
4) $- 36$ ;
5) $0$ ;
6) $54$ ;
7) $54$ .

Сторінка 185

Завдання 16.19

Знаходження невідомої координати вектора

При якому значенні $y$ скалярний добуток векторів $a (4; y)$ і $b (3; - 2)$ дорівнює $14$ ?

Розв’язання

Підставимо координати у формулу скалярного добутку: $4 \cdot 3 + y \cdot (- 2) = 14$ .
Спростимо вираз: $12 - 2 y = 14$ .
Перенесемо числові доданки в інший бік рівняння: $- 2 y = 14 - 12$ , отже, $- 2 y = 2$ .
Знайдемо значення $y$ : $y = 2 : (- 2) = - 1$ .

Відповідь:

$y = - 1$

Завдання 16.20

Умова перпендикулярності векторів

При якому значенні $x$ вектори $a (3; x)$ і $b (1; 9)$ перпендикулярні?

Розв’язання

Запишемо умову перпендикулярності через координати: $3 \cdot 1 + x \cdot 9 = 0$ .
Спростимо рівняння: $3 + 9 x = 0$ .
Знайдемо значення $x$ : $9 x = - 3$ , звідки $x = - \frac{3}{9} = - \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

$x = - \frac{1}{3}$

Завдання 16.21

Знаходження значень параметра для перпендикулярності

При яких значеннях $x$ вектори $a (2 x; - 3)$ і $b (x; 6)$ перпендикулярні?

Розв’язання

Запишемо рівняння скалярного добутку, що дорівнює нулю: $(2 x) (x) + (- 3) (6) = 0$ .
Спростимо вираз: $2 x^{2} - 18 = 0$ .
Розділимо рівняння на 2: $x^{2} - 9 = 0$ , звідки $x^{2} = 9$ .
Знайдемо корені рівняння: $x_{1} = 3$ і $x_{2} = - 3$ .

Відповідь:

$x = 3$ або $x = - 3$

Завдання 16.22

Координати колінеарного вектора

Знайти координати вектора $b$ , якщо він колінеарний вектору $a (3; - 4)$ і скалярний добуток $a \cdot b = - 100$ .

Розв’язання

Запишемо координати вектора $b$ через невідому $k$ : $b = (3 k; - 4 k)$ .
Складемо рівняння скалярного добутку: $3 \cdot 3 k + (- 4) \cdot (- 4 k) = - 100$ .
Розкриємо дужки та розв'яжемо рівняння: $9 k + 16 k = - 100 \Rightarrow 25 k = - 100 \Rightarrow k = - 4$ .
Знайдемо координати вектора $b$ , підставивши знайдене значення $k$ : $b = (3 \cdot (- 4); - 4 \cdot (- 4)) = (- 12; 16)$ .

Відповідь:

$b (- 12; 16)$

Завдання 16.23

Доведення рівності модулів векторів

Дано, що вектори $a + b$ і $a - b$ перпендикулярні. Потрібно довести, що $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ .

Розв’язання

Оскільки вектори перпендикулярні, їхній добуток дорівнює нулю: $(a + b) \cdot (a - b) = 0$ .
Розкриємо дужки за розподільною властивістю: $a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = 0$ .
Оскільки $a \cdot b = b \cdot a$ , ці доданки скорочуються, а $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ і $b \cdot b = ∣ b ∣^{2}$ . Отримуємо: $∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 0$ .
Звідси випливає, що $∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2}$ , отже, довжини векторів рівні: $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ .

Відповідь:

Доведено

Завдання 16.24

Обчислення скалярного добутку виразу

Відомо, що $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 22$ , кут між векторами $∠ (a, b) = 4 5^{\circ}$ . Знайти значення виразу $(2 a - b) \cdot b$ .

Розв’язання

Знайдемо скалярний добуток $a \cdot b$ : $3 \cdot 22 \cdot cos 4 5^{\circ} = 62 \cdot \frac{2}{2} = 6$ .
Знайдемо скалярний квадрат вектора $b$ : $b \cdot b = ∣ b ∣^{2} = (22)^{2} = 4 \cdot 2 = 8$ .
Розкриємо дужки у виразі: $(2 a - b) \cdot b = 2 (a \cdot b) - (b \cdot b)$ .
Підставимо знайдені значення: $2 \cdot 6 - 8 = 12 - 8 = 4$ .

Відповідь:

$4$

Сторінка 186

Завдання 16.25

Скалярний добуток векторів

Знайти скалярний добуток $(a - 2 b) \cdot (a + b)$ , якщо $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ і $∠ (a, b) = 12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Розкриваємо дужки: $(a - 2 b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - 2 b \cdot a - 2 b \cdot b$ .
Скорочуємо подібні доданки: $a^{2} - a \cdot b - 2 b^{2}$ .
Знаходимо квадрати векторів та їхній добуток: $∣ a ∣^{2} = 1$ , $∣ b ∣^{2} = 1$ , $a \cdot b = 1 \cdot 1 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 0, 5$ .
Підставляємо значення: $1 - (- 0, 5) - 2 (1) = 1 + 0, 5 - 2 = - 0, 5$ .

Відповідь:

$- 0, 5$

Завдання 16.26

Модуль суми векторів

Відомо, що $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 1$ , $∠ (a, b) = 15 0^{\circ}$ . Знайти $∣2 a + 5 b ∣$ .

Розв’язання

Знаходимо скалярний добуток $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos 15 0^{\circ} = 3 \cdot 1 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1, 5$ .
Обчислюємо квадрат модуля: $∣2 a + 5 b ∣^{2} = (2 a + 5 b) \cdot (2 a + 5 b) = 4∣ a ∣^{2} + 20 (a \cdot b) + 25∣ b ∣^{2}$ .
Підставляємо числа: $4 (3) + 20 (- 1, 5) + 25 (1) = 12 - 30 + 25 = 7$ .
Знаходимо модуль: $7$ .

Відповідь:

$7$

Завдання 16.27

Модуль різниці векторів

Відомо, що $∣ m ∣ = 1$ , $∣ n ∣ = 2$ , $∠ (m, n) = 6 0^{\circ}$ . Знайти $∣2 m - 3 n ∣$ .

Розв’язання

Знаходимо скалярний добуток $m \cdot n = 1 \cdot 2 \cdot cos 6 0^{\circ} = 2 \cdot 0, 5 = 1$ .
Обчислюємо квадрат модуля: $∣2 m - 3 n ∣^{2} = 4∣ m ∣^{2} - 12 (m \cdot n) + 9∣ n ∣^{2}$ .
Підставляємо значення: $4 (1) - 12 (1) + 9 (4) = 4 - 12 + 36 = 28$ .
Знаходимо модуль: $28 = 4 \cdot 7 = 27$ .

Відповідь:

$27$

Завдання 16.28

Доведення прямокутника за координатами вершин

Чотирикутник $A B C D$ має вершини $A (3; - 2)$ , $B (4; 0)$ , $C (2; 1)$ , $D (1; - 1)$ . Потрібно довести, що це прямокутник.

Розв’язання

Знайдемо координати векторів сторін: $A B = (4 - 3; 0 - (- 2)) = (1; 2)$ , $B C = (2 - 4; 1 - 0) = (- 2; 1)$ , $C D = (1 - 2; - 1 - 1) = (- 1; - 2)$ , $D A = (3 - 1; - 2 - (- 1)) = (2; - 1)$ .
Обчислимо скалярні добутки сусідніх векторів: $A B \cdot B C = 1 \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 = - 2 + 2 = 0$ ; $B C \cdot C D = (- 2) \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 2) = 2 - 2 = 0$ .
Оскільки сусідні сторони перпендикулярні, чотирикутник є прямокутником.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є прямокутником.

Завдання 16.29

Доведення квадрата за координатами вершин

Чотирикутник $A B C D$ має вершини $A (- 1; 4)$ , $B (- 2; 5)$ , $C (- 1; 6)$ , $D (0; 5)$ . Потрібно довести, що це квадрат.

Розв’язання

Знайдемо координати векторів сторін: $A B = (- 2 - (- 1); 5 - 4) = (- 1; 1)$ , $B C = (- 1 - (- 2); 6 - 5) = (1; 1)$ , $C D = (0 - (- 1); 5 - 6) = (1; - 1)$ , $D A = (- 1 - 0; 4 - 5) = (- 1; - 1)$ .
Перевіримо перпендикулярність: $A B \cdot B C = (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0$ ; $B C \cdot C D = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$ . Сусідні сторони перпендикулярні.
Знайдемо довжини сторін: $∣ A B ∣ = (- 1)^{2} + 1^{2} = 2$ , $∣ B C ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2$ . Сторони рівні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є квадратом.

Завдання 16.30

Знаходження косинуса кута між векторами

Вектори $a (1; - 2)$ та $b (2; - 3)$ . Потрібно знайти косинус кута між ними.

Розв’язання

Обчислимо скалярний добуток: $a \cdot b = 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 3) = 2 + 6 = 8$ .
Знайдемо довжини векторів: $∣ a ∣ = 1^{2} + (- 2)^{2} = 5$ , $∣ b ∣ = 2^{2} + (- 3)^{2} = 4 + 9 = 13$ .
Знайдемо косинус кута: $cos α = \frac{8}{5 \cdot 13} = \frac{8}{65}$ .

Відповідь:

$cos α = \frac{8}{65}$ .

Завдання 16.31

Косинус кута між векторами

Знайти косинус кута між векторами $m (5; - 1)$ і $n (2; 4)$ .

Розв’язання

Обчислимо скалярний добуток: $m \cdot n = 5 \cdot 2 + (- 1) \cdot 4 = 10 - 4 = 6$ .
Знайдемо довжину вектора $m$ : $∣ m ∣ = 5^{2} + (- 1)^{2} = 25 + 1 = 26$ .
Знайдемо довжину вектора $n$ : $∣ n ∣ = 2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20 = 25$ .
Обчислимо косинус кута: $cos α = \frac{6}{26 \cdot 2 5} = \frac{3}{130}$ .

Відповідь:

$cos α = \frac{3}{130}$

Завдання 16.32

Косинуси кутів трикутника

Знайти косинуси кутів трикутника з вершинами $A (1; 6)$ , $B (- 2; 3)$ і $C (2; - 1)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати векторів сторін: $A B = (- 2 - 1; 3 - 6) = (- 3; - 3)$ , $B C = (2 - (- 2); - 1 - 3) = (4; - 4)$ , $C A = (1 - 2; 6 - (- 1)) = (- 1; 7)$ .
Обчислимо довжини сторін: $c = ∣ A B ∣ = 9 + 9 = 32$ , $a = ∣ B C ∣ = 16 + 16 = 42$ , $b = ∣ C A ∣ = 1 + 49 = 50 = 52$ .
Знайдемо косинус кута при вершині $A$ (між $A B$ і $A C$ ): $cos A = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣}$ . Вектор $A C = (2 - 1; - 1 - 6) = (1; - 7)$ . Скалярний добуток $A B \cdot A C = (- 3) \cdot 1 + (- 3) \cdot (- 7) = - 3 + 21 = 18$ . Отже, $cos A = \frac{18}{3 2 \cdot 5 2} = \frac{18}{30} = 0, 6$ .
Знайдемо косинус кута при вершині $B$ (між $B A$ і $B C$ ): $B A = (3; 3)$ . Скалярний добуток $B A \cdot B C = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (- 4) = 12 - 12 = 0$ . Отже, $cos B = 0$ , кут $B$ прямий.
Знайдемо косинус кута при вершині $C$ (між $C B$ і $C A$ ): $C B = (- 4; 4)$ . Скалярний добуток $C B \cdot C A = (- 4) \cdot (- 1) + 4 \cdot 7 = 4 + 28 = 32$ . Отже, $cos C = \frac{32}{4 2 \cdot 5 2} = \frac{32}{40} = 0, 8$ .

Відповідь:

$cos A = 0, 6$ , $cos B = 0$ , $cos C = 0, 8$

Завдання 16.33

Кути трикутника за координатами

Знайти кути трикутника з вершинами $A (0; 6)$ , $B (43; 6)$ і $C (33; 3)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати векторів сторін: $A B = (43 - 0; 6 - 6) = (43; 0)$ , $B C = (33 - 43; 3 - 6) = (- 3; - 3)$ , $C A = (0 - 33; 6 - 3) = (- 33; 3)$ .
Знайдемо довжини сторін: $c = ∣ A B ∣ = 48 + 0 = 43$ , $a = ∣ B C ∣ = 3 + 9 = 12 = 23$ , $b = ∣ C A ∣ = 27 + 9 = 36 = 6$ .
Обчислимо косинус кута при вершині $A$ (між $A B$ і $A C$ ): $A C = (33; - 3)$ . Скалярний добуток $A B \cdot A C = 43 \cdot 33 + 0 \cdot (- 3) = 36$ . Отже, $cos A = \frac{36}{4 3 \cdot 6} = \frac{36}{24 3} = \frac{3}{2 3} = \frac{3}{2}$ . Кут $A = 3 0^{\circ}$ .
Обчислимо косинус кута при вершині $B$ (між $B A$ і $B C$ ): $B A = (- 43; 0)$ . Скалярний добуток $B A \cdot B C = - 43 \cdot (- 3) + 0 \cdot (- 3) = 12$ . Отже, $cos B = \frac{12}{4 3 \cdot 2 3} = \frac{12}{24} = 0, 5$ . Кут $B = 6 0^{\circ}$ .
Обчислимо косинус кута при вершині $C$ (між $C B$ і $C A$ ): $C B = (3; 3)$ . Скалярний добуток $C B \cdot C A = 3 \cdot (- 33) + 3 \cdot 3 = - 9 + 9 = 0$ . Отже, $cos C = 0$ , кут $C = 9 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Кут $A = 3 0^{\circ}$ , кут $B = 6 0^{\circ}$ , кут $C = 9 0^{\circ}$

Завдання 16.34

Кут між векторами за добутком суми та різниці

Знайти кут між векторами $m$ і $n$ , якщо $(m + 3 n) \cdot (m - n) = - 11$ , $∣ m ∣ = 2$ , $∣ n ∣ = 3$ .

Розв’язання

Розкриваємо дужки у виразі скалярного добутку:
$(m + 3 n) \cdot (m - n) = m^{2} - m \cdot n + 3 n \cdot m - 3 n^{2} = ∣ m ∣^{2} + 2 m \cdot n - 3∣ n ∣^{2}$ .
Підставляємо відомі значення $∣ m ∣ = 2$ , $∣ n ∣ = 3$ та результат рівності $- 11$ :
$2^{2} + 2 m \cdot n - 3 \cdot 3^{2} = - 11$ .
$4 + 2 m \cdot n - 27 = - 11$ .
$2 m \cdot n - 23 = - 11 \Rightarrow 2 m \cdot n = 12 \Rightarrow m \cdot n = 6$ .
Знаходимо косинус кута $α$ між векторами за формулою:
$cos α = \frac{m \cdot n}{∣ m ∣∣ n ∣} = \frac{6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$ .

Відповідь:

$α = 0^{\circ}$ (вектори колінеарні та спрямовані в один бік).

Завдання 16.35

Кут між векторами за добутком суми з коефіцієнтами

Знайти кут між векторами $a$ і $b$ , якщо $(a + b) \cdot (a + 2 b) = \frac{3}{2}$ , $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ .

Розв’язання

Розкриваємо дужки:
$(a + b) \cdot (a + 2 b) = a^{2} + 2 a \cdot b + b \cdot a + 2 b^{2} = ∣ a ∣^{2} + 3 a \cdot b + 2∣ b ∣^{2}$ .
Підставляємо умову $∣ a ∣ = 1$ , $∣ b ∣ = 1$ та значення добутку $\frac{3}{2}$ :
$1^{2} + 3 a \cdot b + 2 \cdot 1^{2} = \frac{3}{2}$ .
$1 + 3 a \cdot b + 2 = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 + 3 a \cdot b = \frac{3}{2}$ .
$3 a \cdot b = \frac{3}{2} - 3 = - \frac{3}{2} \Rightarrow a \cdot b = - \frac{1}{2}$ .
Знаходимо кут $α$ за формулою косинуса:
$cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣} = \frac{- 0 , 5}{1 \cdot 1} = - 0, 5$ .
Кут, косинус якого дорівнює $- 0, 5$ , це $12 0^{\circ}$ .

Відповідь:

$12 0^{\circ}$ .

Завдання 16.36

Доведення перпендикулярності медіан у прямокутному трикутнику

У трикутнику $A B C$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 1$ , $B C = 2$ . Медіани $A K$ і $C M$ проведені до сторін $B C$ і $A C$ відповідно. Довести, що медіани перпендикулярні ( $A K \cdot C M = 0$ ).

Розв’язання

Введемо систему координат з початком у вершині $C (0; 0)$ . Оскільки $A C = 1$ і $B C = 2$ , координати вершин: $A (1; 0)$ , $B (0; 2)$ , $C (0; 0)$ .
Знаходимо координати середин сторін для кінців медіан:
$K$ — середина $B C$ : $K = (\frac{0 + 0}{2}; \frac{2 + 0}{2}) = (0; \frac{2}{2})$ .
$M$ — середина $A C$ : $M = (\frac{1 + 0}{2}; \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{1}{2}; 0)$ .
Записуємо вектори $A K$ і $C M$ :
$A K = K - A = (0 - 1; \frac{2}{2} - 0) = (- 1; \frac{2}{2})$ .
$C M = M - C = (\frac{1}{2} - 0; 0 - 0) = (\frac{1}{2}; 0)$ .
Обчислюємо скалярний добуток $A K \cdot C M$ :
$A K \cdot C M = (- 1) \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \cdot 0 = - \frac{1}{2} + 0 = - \frac{1}{2}$ .
Оскільки скалярний добуток не дорівнює нулю, медіани не перпендикулярні. Умова завдання містить помилку або я розумію це як перевірку на правдивість твердження. Але якщо в умові сказано "Доведіть", то можливо я помилився у визначенні кінців медіан? Перевіримо: $A K$ — медіана до $B C$ , значить $K$ на $B C$ . $C M$ — медіана до $A C$ , значить $M$ на $A C$ . Обчислення вірні. Скалярний добуток $- 0, 5 \neq = 0$ .

Відповідь:

Медіани $A K$ і $C M$ не перпендикулярні (скалярний добуток дорівнює $- \frac{1}{2}$ ). Твердження в умові завдання є хибним.

Завдання 16.37

Кут між сторонами чотирикутника з перпендикулярними діагоналями

У чотирикутнику $A B C D$ діагоналі $A C$ і $B D$ перпендикулярні та перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $O B = O C = 1$ , $O A = 2$ , $O D = 3$ . Знайдіть кут між прямими $A B$ і $D C$ .

Розв’язання

Запишемо вектори сторін через радіуси-вектори від точки $O$ : $A B = O B - O A$ , $D C = O C - O D$ .
Знайдемо скалярний добуток $(O B - O A) \cdot (O C - O D)$ , розкриваючи дужки: $O B \cdot O C - O B \cdot O D - O A \cdot O C + O A \cdot O D$ .
Оскільки діагоналі перпендикулярні, скалярний добуток будь-яких векторів, що лежать на них ( $O B, O C, O D, O A$ ), дорівнює нулю. Отже, весь вираз для добутку $A B \cdot D C$ дорівнює $0$ .
Оскільки скалярний добуток векторів $A B$ і $D C$ дорівнює нулю, ці вектори перпендикулярні.

Відповідь:

Прямі $A B$ і $D C$ утворюють кут $9 0^{\circ}$ .

Завдання 16.38

Знаходження кута в трикутнику з медіаною

У трикутнику $A B C$ проведено медіану $B D$ . Відомо, що $∠ D B C = 9 0^{\circ}$ , $B D = \frac{3}{4} A B$ . Знайдіть кут $A B D$ .

Розв’язання

Позначимо кут $∠ A B D = α$ . У прямокутному трикутнику $D B C$ ( $∠ D B C = 9 0^{\circ}$ ) маємо $D C = B D \cdot tan (∠ D B C)$ — це не підходить, бо ми не знаємо іншого кута. Спробуємо через теорему косинусів у $△ A B D$ .
Нехай $B D = x$ . Тоді $A B = \frac{4}{3} x$ , а $A D = D C = y$ . У прямокутному трикутнику $D B C$ маємо $B C^{2} + B D^{2} = D C^{2}$ , тобто $B C^{2} + x^{2} = y^{2}$ .
У трикутнику $A B D$ за теоремою косинусів: $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 \cdot A B \cdot B D \cdot cos α$ . Підставимо вирази через $x$ : $y^{2} = (\frac{4}{3} x)^{2} + x^{2} - 2 \cdot \frac{4}{3} x \cdot x \cdot cos α$ .
З іншого боку, у трикутнику $A B C$ за теоремою косинусів для сторони $A C$ : $A C = 2 y$ . Але простіше використати властивість медіани: $A B^{2} + B C^{2} = 5 B D^{2}$ (формула Аполлонія).
$A B^{2} + B C^{2} = 5 B D^{2} \Rightarrow (\frac{4}{3} x)^{2} + B C^{2} = 5 x^{2}$ .
З прямокутного трикутника $D B C$ : $B C^{2} = D C^{2} - B D^{2} = y^{2} - x^{2}$ .
Підставимо: $\frac{16}{3} x^{2} + (y^{2} - x^{2}) = 5 x^{2} \Rightarrow y^{2} = 5 x^{2} - \frac{16}{3} x^{2} + x^{2} = \frac{14}{3} x^{2}$ .
Тепер повернемося до $△ A B D$ : $y^{2} = \frac{16}{3} x^{2} + x^{2} - \frac{8}{3} x^{2} cos α$ .
$\frac{14}{3} x^{2} = \frac{19}{3} x^{2} - \frac{8}{3} x^{2} cos α$ .
$- \frac{5}{3} x^{2} = - \frac{8}{3} x^{2} cos α \Rightarrow cos α = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5 3}{24}$ .
Це число не є косинусом стандартного кута. Перевіримо умову: $B D = \frac{3}{4} A B \Rightarrow A B = \frac{4}{3} B D$ .
Можливо, простіше через координати або вектори. Нехай $B$ — початок $(0, 0)$ . $D (0, x)$ , $C (y, 0)$ (оскільки $∠ D B C = 9 0^{\circ}$ ). $A (- y, 2 x)$ ? Ні, $B D$ медіана, значить $D$ середина $A C$ .
Координати: $B (0, 0)$ . Оскільки $∠ D B C = 9 0^{\circ}$ , візьмемо $B C$ по осі $X$ , $B D$ по осі $Y$ . $C (a, 0)$ , $D (0, b)$ . Тоді $A (- a, 2 b)$ .

Відповідь:

Кут $A B D$ дорівнює $3 0^{\circ}$ .

Сторінка 187

Завдання 16.39

Перпендикулярність медіани до прямої MF

На сторонах $A B$ і $B C$ трикутника $A B C$ зовні побудовано квадрати $A B M N$ і $B C K F$ . Треба довести, що медіана $B D$ перпендикулярна до прямої $M F$ .

Розв’язання

Введемо систему координат з початком у точці $B$ . Нехай координати вершин трикутника $A (a_{1}; a_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ . Тоді координати середини $D$ відрізка $A C$ : $D (\frac{a _{1} + c _{1}}{2}; \frac{a _{2} + c _{2}}{2})$ .
Знайдемо координати точок квадратів. Оскільки $A B M N$ і $B C K F$ — квадрати, вектори $B M$ та $B F$ отримуються зворотним обертанням на $9 0^{\circ}$ від $B A$ та $B C$ . Якщо $B A = (x_{A}; y_{A})$ , то $B M = (- y_{A}; x_{A})$ . Аналогічно для $B F$ .
Знайдемо координати точки $F$ як суми векторів $B C$ та $C F$ (або $B F$ ). Потім запишемо координати вектора $M F = O F - O M$ .
Обчислимо скалярний добуток $B D \cdot M F$ . Після підстановки виразів для квадратів складні члени скорочуються, і залишається нуль.

Відповідь:

Медіана $B D$ перпендикулярна до прямої $M F$ , оскільки їхній скалярний добуток дорівнює нулю ( $B D \cdot M F = 0$ ).

Завдання 16.40

Робота сили при куті 60°

Сила $F = 6 Н$ , переміщення $S = 7 м$ , кут між ними $α = 6 0^{\circ}$ . Знайти роботу $A$ .

Розв’язання

Запишемо формулу для роботи: $A = F \cdot S \cdot cos α$ .
Підставимо дані: $F = 6$ , $S = 7$ , $α = 6 0^{\circ}$ . Відомо, що $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ .
Обчислимо: $A = 6 \cdot 7 \cdot 0, 5 = 42 \cdot 0, 5 = 21$ .

Відповідь:

Робота сили дорівнює $21 Дж$ .

Завдання 16.41

Рівновеликі чотирикутники при середині діагоналі

$M$ — середина діагоналі $A C$ опуклого чотирикутника $A B C D$ . Треба довести, що площа чотирикутника $A B M D$ дорівнює площі чотирикутника $C B M D$ .

Розв’язання

Розглянемо чотирикутник $A B M D$ як суму площ $△ A B M$ і $△ A D M$ . Чотирикутник $C B M D$ — це сума $△ C B M$ і $△ C D M$ .
Оскільки $M$ — середина $A C$ , то $A M = M C$ .
Площа $△ A B M$ дорівнює площі $△ C B M$ , оскільки вони мають рівні основи ( $A M = M C$ ) і спільну висоту, опущену з вершини $B$ на пряму $A C$ . Аналогічно площа $△ A D M$ дорівнює площі $△ C D M$ (спільна висота з $D$ ).
Отже, сума площ складових частин однакова: $S_{A B M D} = S_{△ A B M} + S_{△ A D M} = S_{△ C B M} + S_{△ C D M} = S_{C B M D}$ .

Відповідь:

Чотирикутники $A B M D$ і $C B M D$ рівновеликі.