Сторінка 130

Розв’язання

1. Знайдемо кутовий коефіцієнт $k_1$ прямої $y=-x+3$. Порівнюючи з загальним виглядом $y=kx+b$, бачимо, що $k_1=-1$.

2. Нехай шукана пряма має рівняння $y=k_{2}x+b_2$. Оскільки прямі перпендикулярні, виконується умова $k_1\cdot k_2=-1$. Підставимо $k_1=-1$: $(-1)\cdot k_2=-1$, звідки $k_2=1$.

3. Отже, рівняння шуканої прямої має вигляд $y=x+b_2$. Щоб знайти вільний доданок $b_2$, підставимо координати точки $A(1;5)$ у це рівняння: $5=1\cdot 1+b_2$, звідки $b_2=4$.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину сторони ромба $a=7+18=25\text{см}$.

2. Позначимо кут при вершині гострого кута як $\alpha$. У прямокутному трикутнику, утвореному висотою, гіпотенузою (стороною ромба) і катетом (висотою), маємо: $\sin \alpha =\frac{h}{a}$. Також проекція діагоналі на сторону дорівнює $7$ або $18$. Нехай відстань від гострого кута до підніжжя висоти — це відрізок $7\text{см}$ (за умовою "рахуючи від вершини гострого кута"). Тоді в прямокутному трикутнику з гіпотенузою $25$ і катетом $7$: $\cos \alpha =\frac{7}{25}$.

3. Знайдемо синус кута: $\sin \alpha =\sqrt{1-(\frac{7}{25}{)}^2}=\sqrt{\frac{625-49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$.

4. Висота $h=a\cdot \sin \alpha =25\cdot \frac{24}{25}=24\text{см}$.

5. Діагоналі ромба можна знайти через площу або координати вершин. Розглянемо трикутник, утворений діагоналлю $d_1$, стороною та висотою. Але простіше скористатися властивістю: проекція діагоналі на сторону дорівнює різниці проєкцій сторін. Або використаємо теорему Піфагора для трикутника, утвореного діагоналлю $d_1$, висотою та відрізком $7$: $d_1^2=h^2+(a-7{)}^2$? Ні, це не так.
   Правильний підхід: Розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю, стороною та висотою. Нехай кут при вершині гострого кута $\alpha$. Тоді $\cos \alpha =\frac{7}{25}$. Діагональ $d_1$, що з'єднує вершини тупого кута, є основою прямокутного трикутника з катетами $h$ та $(a-7)$? Ні.
   Давайте візьмемо координати. Вершина гострого кута в початку $(0;0)$. Сторона лежить на осі $x$. Точки $(25;0)$ і $(0;0)$. Висота падає на точку $(7;0)$. Координати вершини тупого кута: $(7;24)$.
   Діагоналі ромба — це відрізки між протилежними вершинами.
   Перша діагональ $d_1$ з'єднує $(0;0)$ і $(25;0)$? Ні, це сторона. Діагоналі: одна з'єднує $(0;0)$ і $(25;0)$ — це сторона.
   Вершини ромба: $A(0;0)$, $B(25;0)$, $C(x_c;y_c)$, $D(x_d;y_d)$. Висота з $C$ падає на $AB$ у точці $H$, де $AH=7$ (від гострого кута $A$). Тоді $C(7;24)$. Четверта вершина $D$: оскільки $ABCD$ ромб, то $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. $B(25;0)$, $C(7;24)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(-18;24)$. Тоді $D=A+\overrightarrow{BC}=(0;0)+(-18;24)=(-18;24)$.
   Перевіримо: $AD=\sqrt{(-18{)}^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$? Ні, сторона має бути $25$. Помилка в інтерпретації умови.

Розв’язання

1. Нехай медіани $m_1=15$, $m_2=15$, $m_3=18$. Трикутник, утворений медіанами як сторонами, має сторони $15,15,18$.

2. Знайдемо півпериметр цього трикутника: $p=\frac{15+15+18}{2}=\frac{48}{2}=24\text{см}$.

3. За формулою Герона знайдемо площу трикутника медіан: $S_m=\sqrt{p(p-15)(p-15)(p-18)}=\sqrt{24\cdot 9\cdot 9\cdot 6}$.
   $24\cdot 6=144$, $9\cdot 9=81$. $\sqrt{144\cdot 81}=12\cdot 9=108{\text{см}}^2$.

4. Площа шуканого трикутника $S=\frac{4}{3}{S}_m=\frac{4}{3}\cdot 108=4\cdot 36=144{\text{см}}^2$.

Розв’язання

1. Знайдемо півпериметр $p$: $p=\frac{2+3+4}{2}=\frac{9}{2}=4,5\text{см}$.

2. Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: $S=\sqrt{4,5(4,5-2)(4,5-3)(4,5-4)}=\sqrt{4,5\cdot 2,5\cdot 1,5\cdot 0,5}$.
   Перетворимо дробові числа на звичайні для зручності: $4,5=\frac{9}{2}$, $2,5=\frac{5}{2}$, $1,5=\frac{3}{2}$, $0,5=\frac{1}{2}$.
   Тоді $S=\sqrt{\frac{9}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{135}{16}}=\frac{3\sqrt{15}}{4}{\text{см}}^2$.

3. Знайдемо радіус $R$ за формулою $R=\frac{abc}{4S}$:
   $R=\frac{2\cdot 3\cdot 4}{4\cdot \frac{3\sqrt{15}}{4}}=\frac{24}{3\sqrt{15}}=\frac{8}{\sqrt{15}}$.