ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 129

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 11.13–11.20 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 11.13

Рівняння прямої через точку і паралельної іншій

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $K (- \frac{1}{3}; 10)$ і паралельна прямій:
1) $y = 9 x - 16$ ;
2) $6 x + 2 y = 7$ .

Розв’язання

Знайдемо кутовий коефіцієнт для пункту 1: $k = 9$ . Підставимо координати точки $K$ у рівняння $y = 9 x + b$ : $10 = 9 \cdot (- \frac{1}{3}) + b \Rightarrow 10 = - 3 + b \Rightarrow b = 13$ . Рівняння: $y = 9 x + 13$ .
Для пункту 2 перетворимо рівняння на відсічене: $2 y = - 6 x + 7 \Rightarrow y = - 3 x + 3, 5$ . Отже, $k = - 3$ . Підставимо точку $K$ : $10 = - 3 \cdot (- \frac{1}{3}) + b \Rightarrow 10 = 1 + b \Rightarrow b = 9$ . Рівняння: $y = - 3 x + 9$ (або $3 x + y - 9 = 0$ ).

Відповідь:

1) $y = 9 x + 13$ ; 2) $y = - 3 x + 9$ .

Завдання 11.14

Рівняння прямої через точку і кут з віссю абсцис

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $A (2; 6)$ та утворює з додатним напрямком осі абсцис кути:
1) $6 0^{\circ}$ ;
2) $12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для $α = 6 0^{\circ}$ : $k = tan 6 0^{\circ} = 3$ . Рівняння: $y - 6 = 3 (x - 2) \Rightarrow y = 3 x - 23 + 6$ .
Для $α = 12 0^{\circ}$ : $k = tan 12 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ (оскільки $tan (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = - cot 3 0^{\circ}$ ). Рівняння: $y - 6 = - \frac{3}{3} (x - 2) \Rightarrow y = - \frac{3}{3} x + \frac{2 3}{3} + 6$ .

Відповідь:

1) $y = 3 x + (6 - 23)$ ; 2) $y = - \frac{3}{3} x + (6 + \frac{2 3}{3})$ .

Завдання 11.15

Рівняння прямої через точку і кут з віссю абсцис

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $B (3; - 2)$ та утворює з додатним напрямком осі абсцис кути:
1) $4 5^{\circ}$ ;
2) $13 5^{\circ}$ .

Розв’язання

Для $α = 4 5^{\circ}$ : $k = tan 4 5^{\circ} = 1$ . Рівняння: $y - (- 2) = 1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y + 2 = x - 3 \Rightarrow y = x - 5$ .
Для $α = 13 5^{\circ}$ : $k = tan 13 5^{\circ} = - 1$ . Рівняння: $y - (- 2) = - 1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y + 2 = - x + 3 \Rightarrow y = - x + 1$ .

Відповідь:

1) $y = x - 5$ ; 2) $y = - x + 1$ .

Завдання 11.16

Складіть рівняння прямої за графіком

Скласти рівняння прямої, зображеної на рисунку 11.4 (підпункти а та б).

Розв’язання

Для графіка а: Кут $α = 3 0^{\circ}$ , отже $k = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ . Пряма проходить через точку $(0; 3)$ , тому $b = 3$ . Рівняння: $y = \frac{3}{3} x + 3$ .
Для графіка б: Кут $α = 15 0^{\circ}$ (оскільки гострий кут $3 0^{\circ}$ відносно осі $x$ , а пряма спадає), отже $k = tan 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ . Пряма проходить через точку $(23; 0)$ , підставимо в рівняння: $0 = - \frac{3}{3} \cdot 23 + b \Rightarrow 0 = - 2 + b \Rightarrow b = 2$ . Рівняння: $y = - \frac{3}{3} x + 2$ .

Відповідь:

а) $y = \frac{3}{3} x + 3$ ; б) $y = - \frac{3}{3} x + 2$ .

Завдання 11.17

Перевірка паралельності прямих

Визначити, чи є прямі паралельними для пар рівнянь: 1) $2 x - 5 y = 9$ і $5 y - 2 x = 1$ ; 2) $8 x + 12 y = 15$ і $4 x + 6 y = 9$ ; 3) $7 x - 2 y = 12$ і $7 x - 3 y = 12$ ; 4) $3 x + 2 y = 3$ і $6 x + 4 y = 6$ .

Розв’язання

Перше рівняння: $5 y = 2 x + 9 \Rightarrow y = \frac{2}{5} x + 1, 8$ ( $k_{1} = 0, 4$ ). Друге: $5 y = 2 x + 1 \Rightarrow y = \frac{2}{5} x + 0, 2$ ( $k_{2} = 0, 4$ ). Оскільки $k_{1} = k_{2}$ , прямі паралельні.
Перше рівняння: $12 y = - 8 x + 15 \Rightarrow y = - \frac{8}{12} x + \frac{15}{12} = - \frac{2}{3} x + 1, 25$ ( $k_{1} = - \frac{2}{3}$ ). Друге: $6 y = - 4 x + 9 \Rightarrow y = - \frac{4}{6} x + 1, 5 = - \frac{2}{3} x + 1, 5$ ( $k_{2} = - \frac{2}{3}$ ). Оскільки $k_{1} = k_{2}$ , прямі паралельні.
Перше рівняння: $- 2 y = - 7 x + 12 \Rightarrow y = 3, 5 x - 6$ ( $k_{1} = 3, 5$ ). Друге: $- 3 y = - 7 x + 12 \Rightarrow y = \frac{7}{3} x - 4$ ( $k_{2} \approx 2, 33$ ). Оскільки $k_{1} \neq = k_{2}$ , прямі не паралельні.
Перше рівняння: $2 y = - 3 x + 3 \Rightarrow y = - 1, 5 x + 1, 5$ ( $k_{1} = - 1, 5$ ). Друге: $6 x + 4 y = 6 \Rightarrow 4 y = - 6 x + 6 \Rightarrow y = - 1, 5 x + 1, 5$ ( $k_{2} = - 1, 5$ ). Оскільки $k_{1} = k_{2}$ , прямі паралельні.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 11.18

Доведення паралельності прямих

Довести, що прямі $7 x - 6 y = 3$ і $6 y - 7 x = 6$ є паралельними.

Розв’язання

Перетворимо перше рівняння: $- 6 y = - 7 x + 3 \Rightarrow y = \frac{7}{6} x - 0, 5$ . Кутовий коефіцієнт $k_{1} = \frac{7}{6}$ .
Перетворимо друге рівняння: $6 y = 7 x + 6 \Rightarrow y = \frac{7}{6} x + 1$ . Кутовий коефіцієнт $k_{2} = \frac{7}{6}$ .
Порівнюємо отримані значення: $k_{1} = k_{2} = \frac{7}{6}$ .

Відповідь:

Прямі паралельні, оскільки їхні кутові коефіцієнти рівні ( $\frac{7}{6}$ ).

Завдання 11.19

Рівняння прямої за умовою паралельності та перетину

Скласти рівняння прямої, яка паралельна прямій $y = 4 x + 2$ і перетинає пряму $y = - 8 x + 9$ у точці, що належить осі ординат.

Розв’язання

Знайдемо точку перетину прямої $y = - 8 x + 9$ з віссю ординат ( $x = 0$ ). Підставляємо $x = 0$ : $y = - 8 \cdot 0 + 9 = 9$ . Точка має координати $(0; 9)$ .
Оскільки шукана пряма паралельна прямій $y = 4 x + 2$ , її кутовий коефіцієнт $k$ дорівнює $4$ . Рівняння має вигляд $y = 4 x + b$ .
Підставимо координати точки $(0; 9)$ у рівняння $y = 4 x + b$ : $9 = 4 \cdot 0 + b$ , звідси $b = 9$ .

Відповідь:

$y = 4 x + 9$

Завдання 11.20

Рівняння прямої за умовою паралельності та перетину на осі абсцис

Скласти рівняння прямої, яка паралельна прямій $y = 3 x + 4$ і перетинає пряму $y = - 4 x + 16$ у точці, що належить осі абсцис.

Розв’язання

Знайдемо точку перетину прямої $y = - 4 x + 16$ з віссю абсцис ( $y = 0$ ). Підставляємо $y = 0$ : $0 = - 4 x + 16 \Rightarrow 4 x = 16 \Rightarrow x = 4$ . Точка має координати $(4; 0)$ .
Оскільки шукана пряма паралельна прямій $y = 3 x + 4$ , її кутовий коефіцієнт $k$ дорівнює $3$ . Рівняння має вигляд $y = 3 x + b$ .
Підставимо координати точки $(4; 0)$ у рівняння $y = 3 x + b$ : $0 = 3 \cdot 4 + b \Rightarrow 0 = 12 + b \Rightarrow b = - 12$ .

Відповідь:

$y = 3 x - 12$