ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 128

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 11.2–11.12 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 11.2

Паралельність прямих

Дано пари рівнянь прямих, треба визначити, чи є вони паралельними:
1) $y = 6 x - 5$ і $y = 6 - 5 x$ ;
2) $y = 2 - 6 x$ і $y = - 6 x$ ;
3) $y = 7 + 2 x$ і $y = 7 + 3 x$ ;
4) $y = \frac{1}{2} x$ і $y = 0, 5 x - 3$ .

Розв’язання

Порівнюємо кутові коефіцієнти ( $k$ ) у кожній парі. Якщо $k_{1} \neq = k_{2}$ , прямі не паралельні.
Якщо $k_{1} = k_{2}$ , перевіряємо вільні доданки ( $b$ ). Якщо $b_{1} \neq = b_{2}$ , прямі паралельні; якщо $b_{1} = b_{2}$ , прямі збігаються (не вважаються паралельними за умовою задачі про паралельність).
Аналізуємо пари:
- 1) $k_{1} = 6, k_{2} = - 5$ — не рівні.
- 2) $k_{1} = - 6, k_{2} = - 6$ — рівні, але $b_{1} = 2 \neq = b_{2} = 0$ . Паралельні.
- 3) $k_{1} = 2, k_{2} = 3$ — не рівні.
- 4) $k_{1} = 0, 5, k_{2} = 0, 5$ — рівні, але $b_{1} = 0 \neq = b_{2} = - 3$ . Паралельні.

Відповідь:

1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 11.3

Знаходження пропущеного коефіцієнта

Треба знайти число замість зірочки ( $*$ ), щоб прямі були паралельними:
1) $y = 8 x - 14$ і $y = * x + 2$ ;
2) $y = * x - 1$ і $y = 3 - 4 x$ .

Розв’язання

Для 1) кутовий коефіцієнт першої прямої $k_{1} = 8$ . Друга пряма має вигляд $y = * x + 2$ , тобто $k_{2} = *$ . Щоб прямі були паралельними, маємо $* = 8$ .
Для 2) друга пряма задана як $y = - 4 x + 3$ , отже $k_{2} = - 4$ . Перша пряма має вигляд $y = * x - 1$ , тобто $k_{1} = *$ . Щоб прямі були паралельними, маємо $* = - 4$ .

Відповідь:

1) 8; 2) -4.

Завдання 11.4

Тип кута між прямою та віссю

Визначити, який кут (гострий чи тупий) утворює пряма з додатним напрямком осі абсцис:
1) $y = 4 x$ ;
2) $y = - \frac{1}{3} x$ ;
3) $y = 3 - 2 x$ ;
4) $y = 0, 7 x - 6$ .

Розв’язання

Перевіряємо знаки коефіцієнтів при $x$ :
- 1) $y = 4 x \Rightarrow k = 4 > 0$ . Кут гострий.
- 2) $y = - \frac{1}{3} x \Rightarrow k = - \frac{1}{3} < 0$ . Кут тупий.
- 3) $y = - 2 x + 3 \Rightarrow k = - 2 < 0$ . Кут тупий.
- 4) $y = 0, 7 x - 6 \Rightarrow k = 0, 7 > 0$ . Кут гострий.

Відповідь:

1) Гострий; 2) Тупий; 3) Тупий; 4) Гострий.

Завдання 11.5

Знаходження кута між прямою та віссю абсцис

Дано рівняння прямої $y = k x + b$ . Потрібно знайти градусну міру кута $α$ , який вона утворює з додатним напрямком осі абсцис.
1) $y = x$ ; 2) $y = x 3$ ; 3) $y = - \frac{3}{3} x + 9$ .

Розв’язання

Для пункту 1) рівняння $y = x$ має коефіцієнт $k = 1$ . Знаходимо $α = arctan (1) = 4 5^{\circ}$ .
Для пункту 2) коефіцієнт $k = 3$ . Оскільки $tan 6 0^{\circ} = 3$ , то кут дорівнює $6 0^{\circ}$ .
Для пункту 3) перепишемо рівняння як $y = - \frac{3}{3} x + 9$ , звідки $k = - \frac{3}{3}$ . Знаходимо $arctan (\frac{3}{3}) = 3 0^{\circ}$ . Оскільки коефіцієнт від'ємний, кут тупий: $α = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $4 5^{\circ}$ ; 2) $6 0^{\circ}$ ; 3) $15 0^{\circ}$ .

Завдання 11.6

Знаходження кута нахилу прямої за коефіцієнтом

Дано рівняння прямої $y = k x + b$ . Потрібно знайти градусну міру кута $α$ , який вона утворює з додатним напрямком осі абсцис.
1) $y = \frac{3}{3} x$ ; 2) $y = - x + 5$ .

Розв’язання

Для пункту 1) рівняння $y = \frac{3}{3} x$ має коефіцієнт $k = \frac{3}{3}$ . Знаємо, що $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , тому кут дорівнює $3 0^{\circ}$ .
Для пункту 2) рівняння $y = - x + 5$ має коефіцієнт $k = - 1$ . Знаємо, що $tan 4 5^{\circ} = 1$ . Оскільки коефіцієнт від'ємний, кут тупий: $α = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $3 0^{\circ}$ ; 2) $13 5^{\circ}$ .

Завдання 11.7

Приведення рівняння прямої до вигляду

y = k x + b

Дано загальне рівняння прямої. Потрібно подати його у вигляді $y = k x + b$ та знайти кутовий коефіцієнт $k$ .
1) $7 x + y = 6$ ; 2) $y - x = 1$ ; 3) $3 x - 2 y = 4$ .

Розв’язання

Для пункту 1) переносимо $7 x$ у праву частину: $y = - 7 x + 6$ . Кутовий коефіцієнт $k = - 7$ .
Для пункту 2) переносимо $- x$ у праву частину: $y = x + 1$ . Кутовий коефіцієнт $k = 1$ .
Для пункту 3) виразимо $y$ : $- 2 y = - 3 x + 4$ , поділимо на $- 2$ : $y = \frac{- 3}{- 2} x + \frac{4}{- 2}$ , тобто $y = 1, 5 x - 2$ . Кутовий коефіцієнт $k = 1, 5$ .

Відповідь:

1) $y = - 7 x + 6$ , $k = - 7$ ; 2) $y = x + 1$ , $k = 1$ ; 3) $y = 1, 5 x - 2$ , $k = 1, 5$ .

Завдання 11.8

Перетворення рівнянь прямої на загальний вигляд

Подайте рівняння прямої у вигляді $y = k x + b$ та знайдіть її кутовий коефіцієнт для: 1) $x + y = 9$ ; 2) $y + 9 x = 0$ ; 3) $5 x - 3 y = 1$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Перенесемо $x$ вправо: $y = - x + 9$ . Кутовий коефіцієнт $k = - 1$ .
Для пункту 2: Виразимо $y$ : $y = - 9 x$ . Кутовий коефіцієнт $k = - 9$ .
Для пункту 3: Поділимо рівняння на $- 3$ : $- \frac{5}{3} x + y = - \frac{1}{3}$ , звідси $y = \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$ . Кутовий коефіцієнт $k = \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

1) $y = - x + 9$ , $k = - 1$ ; 2) $y = - 9 x$ , $k = - 9$ ; 3) $y = \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$ , $k = \frac{5}{3}$ .

Завдання 11.9

Складання рівняння прямої через початок координат

Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій: 1) $y = 14 x - 11$ ; 2) $y = - 1, 15 x + 2$ .

Розв’язання

Кутовий коефіцієнт першої прямої $k = 14$ . Рівняння шуканої прямої: $y = 14 x$ .
Кутовий коефіцієнт другої прямої $k = - 1, 15$ . Рівняння шуканої прямої: $y = - 1, 15 x$ .

Відповідь:

1) $y = 14 x$ ; 2) $y = - 1, 15 x$ .

Завдання 11.10

Складання рівняння прямої через точку з заданим кутовим коефіцієнтом

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $A (- 3; 7)$ і кутовий коефіцієнт якої дорівнює: 1) $4$ ; 2) $- 3$ ; 3) $0$ .

Розв’язання

Для $k = 4$ : Підставляємо в рівняння $y = 4 x + b$ : $7 = 4 \cdot (- 3) + b \Rightarrow 7 = - 12 + b \Rightarrow b = 19$ . Рівняння: $y = 4 x + 19$ .
Для $k = - 3$ : Підставляємо в рівняння $y = - 3 x + b$ : $7 = - 3 \cdot (- 3) + b \Rightarrow 7 = 9 + b \Rightarrow b = - 2$ . Рівняння: $y = - 3 x - 2$ .
Для $k = 0$ : Рівняння має вигляд $y = b$ . Підставляємо точку: $7 = 0 \cdot (- 3) + b \Rightarrow b = 7$ . Рівняння: $y = 7$ .

Відповідь:

1) $y = 4 x + 19$ ; 2) $y = - 3 x - 2$ ; 3) $y = 7$ .

Завдання 11.11

Складання рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку $B (2; - 5)$ і має кутовий коефіцієнт $k = - 0, 5$ .

Розв’язання

Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює $- 0, 5$ , запишемо часткове рівняння прямої: $y = - 0, 5 x + b$ .
Підставимо координати точки $B (2; - 5)$ у рівняння: $- 5 = - 0, 5 \cdot 2 + b$ .
Розв'яжемо рівняння відносно $b$ : $- 5 = - 1 + b$ , звідки $b = - 4$ .

Відповідь:

$y = - 0, 5 x - 4$

Завдання 11.12

Складання рівняння прямої за точкою та паралельною прямою

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку $M (- 1; 9)$ і паралельна прямій:
1) $y = - 7 x + 3$ ;
2) $3 x - 4 y = - 8$ .

Розв’язання

Для прямої $y = - 7 x + 3$ кутовий коефіцієнт $k = - 7$ . Записуємо рівняння шуканої прямої як $y = - 7 x + b$ . Підставляємо точку $M (- 1; 9)$ : $9 = - 7 \cdot (- 1) + b \Rightarrow 9 = 7 + b \Rightarrow b = 2$ . Отже, $y = - 7 x + 2$ .
Для прямої $3 x - 4 y = - 8$ спочатку переведемо її у вигляді $y = k x + b$ : $- 4 y = - 3 x - 8 \Rightarrow y = \frac{3}{4} x + 2$ . Кутовий коефіцієнт $k = 0, 75$ . Записуємо рівняння шуканої прямої як $y = 0, 75 x + b$ . Підставляємо точку $M (- 1; 9)$ : $9 = 0, 75 \cdot (- 1) + b \Rightarrow 9 = - 0, 75 + b \Rightarrow b = 9, 75$ . Отже, $y = 0, 75 x + 9, 75$ (або $\frac{3}{4} x + \frac{39}{4}$ ).

Відповідь:

1) $y = - 7 x + 2$ ; 2) $y = 0, 75 x + 9, 75$