Сторінка 125

Розв’язання

1. Нехай центр кола має координати $M(x;y)$. Оскільки хорда лежить на осі абсцис ($y=0$), а її довжина дорівнює $6$, то середини хорди відповідають точці з координатами $(x;0)$ (оскільки центр проєктується на середину хорди).

2. Знайдемо відстань від центру $M(x;y)$ до середини хорди $K(x;0)$. За теоремою Піфагора в трикутнику $MKO$ (де $O$ — точка $(x;0)$, а $M$ — центр), маємо: $y^2+(\frac{6}{2}{)}^2=R^2$, тобто $y^2+3^2=5^2$.

3. Обчислюємо $y^2=25-9=16$, звідки $y=\pm 4$. Абсциса $x$ може бути будь-яким числом, оскільки положення хорди вздовж осі не обмежує абсцису центру.

Розв’язання

1. Позначимо меншу сторону як $x$, тоді більша дорівнює $x+15$. Третя сторона (основа) дорівнює $32+7=39\text{см}$. Нехай висота, проведена до цієї сторони, дорівнює $h$.

2. Утворені висотою два прямокутні трикутники мають гіпотенузами $x$ і $x+15$, а катетами $32$ та $7$ відповідно (або навпаки). Оскільки $x<x+15$, то менша гіпотенуза відповідає меншому відрізку основи. Отже, $x^2-h^2=7^2$ і $(x+15{)}^2-h^2=32^2$.

3. Віднімемо перше рівняння від другого: $(x+15{)}^2-x^2=32^2-7^2$. Розкриємо дужки: $x^2+30x+225-x^2=1024-49$, звідки $30x+225=975$. Знаходимо $30x=750$, тобто $x=25$.

Розв’язання

1. Нехай $AD$ — більша основа, яка є діаметром кола, тоді $AD=2R$. Оскільки $ABCD$ — рівнобічна трапеція і вписана в коло, кут $\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }$. Якщо центр лежить на $AD$, то $△ABD$ є прямокутним трикутником з прямим кутом при вершині $B$ (або $C$), оскільки діаметр є гіпотенузою.

2. У прямокутному трикутнику $ABD$ катет $BD$ (діагональ) дорівнює $20\text{см}$, а висота $h=12\text{см}$. Проведення висоти з $B$ на $AD$ ділить трикутник. Але простіше: у прямокутному трикутнику $ABD$, де $\angle B=90^{\circ }$, діагональ $AC$ (або $BD$) є гіпотенузою? Ні, діагональ трапеції — це відрізок між протилежними вершинами. У рівнобічній трапеції, вписаній у коло, діаметр проходить через центр і дорівнює більшій основі.

3. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю та висотою. Нехай $AD$ — основа (діаметр). Висота $h=12$. Діагональ $d=20$. У прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю та висотою до основи, катетом є висота. Але точніше: розглянемо трикутник, утворений діагоналлю та двома сторонами трапеції. Оскільки центр лежить на основі $AD$, то $\angle ABC=90^{\circ }$ (якщо $AC$ — діаметр) або $\angle ADC=90^{\circ }$. Нехай $AC$ — діагональ, що є гіпотенузою прямокутного трикутника $ABC$, де $BC$ — бічна сторона. Це не так.

4. Правильний підхід: У рівнобічній трапеції, вписаній у коло, більша основа є діаметром кола. Тоді кут при вершині дорівнює $90^{\circ }$. Розглянемо прямокутний трикутник, гіпотенузою якого є діагональ трапеції ($20\text{см}$), а одним з катетів — висота ($12\text{см}$). Це не так, бо висота перпендикулярна до основи.

5. Нехай $AD$ — більша основа (діаметр). Висота $h=12$. Діагональ $AC=20$. У прямокутному трикутнику $AOC$ (де $O$ — центр), $OA=R$, $OC=R$, висота з $C$ на $AD$ дорівнює $12$. Але простіше: у прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю та висотою, катетом є висота. Нехай $h=12$, $d=20$. Тоді відстань від центру до кінця діагоналі (якщо центр на основі) — це $R$. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою $20$ і висотою $12$, знайдемо інший катет: $\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$. Це бічна сторона трапеції.