Сторінка 124

Розв’язання

1. Знайдемо координати середини сторони $AB$: $x_M=\frac{-3+(-2)}{2}=-2,5$, $y_M=\frac{-4+2}{2}=-1$. Точка $M(-2,5;-1)$.

2. Знайдемо координати середини сторони $CD$: $x_N=\frac{1+3}{2}=2$, $y_N=\frac{3+(-2)}{2}=0,5$. Точка $N(2;0,5)$.

3. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $MN$: $k=\frac{0,5-(-1)}{2-(-2,5)}=\frac{1,5}{4,5}=\frac{1}{3}$.

4. Складемо рівняння прямої в загальному вигляді: $y-y_0=k(x-x_0)$. Підставимо точку $N(2;0,5)$: $y-0,5=\frac{1}{3}(x-2)$.

5. Перетворимо рівняння до загального вигляду: $3(y-0,5)=x-2\Rightarrow 3y-1,5=x-2\Rightarrow x-3y-0,5=0$. Помножимо на 2, щоб позбутися десяткового дробу: $2x-6y-1=0$.

Розв’язання

1. Розглянемо загальний випадок трапеції з основами, що не паралельні осі $x$. Нехай координати вершин $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, $C(x_3;y_3)$, $D(x_4;y_4)$.

2. Абсциса середини $AB$: $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}$. Абсциса середини $CD$: $x_N=\frac{x_3+x_4}{2}$.

3. Якщо основи перпендикулярні до осі абсцис, то $y_1=y_2$ і $y_3=y_4$, але це не гарантує, що $\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{x_3+x_4}{2}$ без додаткових умов про симетрію.

4. Однак, якщо абсциси середин рівні ($x_M=x_N$), то відрізок, що з'єднує ці середини, є вертикальним (паралельним осі $y$). Це означає, що трапеція має вісь симетрії, перпендикулярну до основ.

5. Але це не означає, що самі основи перпендикулярні до осі абсцис. Вони можуть бути нахиленими одна щодо одної, якщо трапеція розташована під кутом до осей. Перпендикулярність основ до осі абсцис вимагає, щоб координати $y$ точок основ були сталими ($y_1=y_2$ і $y_3=y_4$), що не випливає лише з умови про рівні абсциси середин.

Розв’язання

1. Знайдемо точку перетину з віссю $x$ (поставимо $y=0$): $4x-3\cdot 0=12\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$. Точка $A(3;0)$.

2. Знайдемо точку перетину з віссю $y$ (поставимо $x=0$): $4\cdot 0-3y=12\Rightarrow -3y=12\Rightarrow y=-4$. Точка $B(0;-4)$.

3. Початок координат $O(0;0)$. Сторони трикутника: $OA=|3-0|=3$, $OB=|-4-0|=4$.

4. Знайдемо довжину гіпотенузи $AB$: $AB=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-(-4){)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

5. Обчислимо периметр: $P=OA+OB+AB=3+4+5=12$.

Розв’язання

1. Знайдемо точку перетину з віссю $x$: при $y=0$ маємо $-2x=28$, звідки $x=-14$. Точка перетину $A(-14;0)$.

2. Знайдемо точку перетину з віссю $y$: при $x=0$ маємо $7y=28$, звідки $y=4$. Точка перетину $B(0;4)$.

3. Обчислимо довжини катетів прямокутного трикутника: $|OA|=|-14|=14$, $|OB|=|4|=4$.

4. Знайдемо площу за формулою $S=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 4=28$.

Розв’язання

1. З рівняння прямої $x+y=7$ виразимо $y$: $y=7-x$.

2. Підставимо цей вираз у рівняння кола: $(x-5{)}^2+((7-x)-5{)}^2=9$.

3. Спростимо дужки: $(x-5{)}^2+(2-x{)}^2=9\Rightarrow (x^2-10x+25)+(4-4x+x^2)=9$.

4. Зведемо подібні доданки: $2x^2-14x+29=9\Rightarrow 2x^2-14x+20=0$. Поділимо на 2: $x^2-7x+10=0$.

5. Знайдемо корені квадратного рівняння: $(x-2)(x-5)=0$, отже $x_1=2,x_2=5$.

6. Знайдемо відповідні значення $y$: якщо $x_1=2$, то $y_1=7-2=5$; якщо $x_2=5$, то $y_2=7-5=2$.

Розв’язання

1. Виразимо з рівняння прямої $y=5-x$.

2. Підставимо у рівняння кола $(x-3{)}^2+((5-x)+2{)}^2=8\Rightarrow (x-3{)}^2+(7-x{)}^2=8$.

3. Розкриємо дужки: $x^2-6x+9+49-14x+x^2=8\Rightarrow 2x^2-20x+58=8$.

4. Спростимо рівняння: $2x^2-20x+50=0$, поділимо на 2: $x^2-10x+25=0$.

5. Знайдемо корінь дискримінанту або розкладемо на множники: $(x-5{)}^2=0$, отже $x=5$ (єдиний корінь).

6. Знаходимо $y$: $y=5-5=0$. Оскільки один корінь, пряма є дотичною.

Розв’язання

1. З рівняння кола $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=1$ знаходимо центр $O(4;2)$ та радіус $R=\sqrt{1}=1$.

2. Запишемо пряму у загальному вигляді: $3x+y-3=0$. Знайдемо відстань $d$ від точки $O(4;2)$ до цієї прямої за формулою $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, де $A=3,B=1,C=-3$.

3. Підставимо координати центру: $d=\frac{|3\cdot 4+1\cdot 2-3|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|12+2-3|}{\sqrt{9+1}}=\frac{11}{\sqrt{10}}$.

4. Порівняємо значення: $d=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3,48$, а радіус $R=1$. Оскільки $d>R$ ($3,48>1$), коло і пряма не перетинаються.

Розв’язання

1. Пряма $3x+2y=6$ перетинає вісь $OY$ ($x=0$) у точці $(0;3)$. Це одна з вершин трикутника.

2. Пряма $y=-\frac{9}{4}x$ проходить через початок координат $O(0;0)$, тому це друга вершина.

3. Знайдемо точку перетину цих прямих (третя вершина). Прирівняємо вирази для $y$: $-\frac{9}{4}x=\frac{6-3x}{2}$. Помножимо на 4: $-9x=12-6x$, звідки $-3x=12$, отже $x=-4$. Знайдемо $y$: $y=-\frac{9}{4}\cdot (-4)=9$. Точка перетину: $(-4;9)$.

4. Вершини трикутника: $(0;0)$, $(0;3)$ та $(-4;9)$. Візьмемо за основу відрізок на осі $OY$ між точками $(0;0)$ і $(0;3)$, його довжина $h=3$. Відповідна висота до цієї основи — це відстань від точки $(-4;9)$ до осі $OY$, яка дорівнює модулю абсциси: $|x|=|-4|=4$.

5. Обчислимо площу: $S=\frac{1}{2}\cdot h\cdot |x|=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$.

Розв’язання

1. Перепишемо рівняння прямої $5x-2y=10$ у вигляді $5x-2y-10=0$. Тут $A=5,B=-2,C=-10$.

2. Координати початку координат: $x_0=0,y_0=0$.

3. Підставимо значення у формулу відстані: $d=\frac{|5\cdot 0-2\cdot 0-10|}{\sqrt{5^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-10|}{\sqrt{25+4}}$.

4. Обчислимо: $d=\frac{10}{\sqrt{29}}$. Для раціоналізації знаменника помножимо чисельник і знаменник на $\sqrt{29}$: $d=\frac{10\sqrt{29}}{29}$.

Розв’язання

1. Приводимо рівняння $x+y=-8$ до загального вигляду, додаючи 8 до обох частин: $x+y+8=0$. Тут $A=1$, $B=1$, $C=8$. Координати точки $O$: $x_0=0$, $y_0=0$.

2. Підставляємо значення у формулу відстані: $d=\frac{|1\cdot 0+1\cdot 0+8|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|8|}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}$.

3. Спрощуємо вираз, помноживши чисельник і знаменник на $\sqrt{2}$: $d=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$.

Розв’язання

1. Записуємо систему рівнянь: $\{\begin{array}{l}(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ y=3x\end{array}$.

2. Підставляємо $y=3x$ у рівняння кола: $(x+1{)}^2+(3x-2{)}^2=25$. Розкриваємо дужки: $x^2+2x+1+9x^2-12x+4=25$.

3. Спрощуємо рівняння: $10x^2-10x-20=0$, ділимо на 10: $x^2-x-2=0$. Знаходимо корені: $(x-2)(x+1)=0\Rightarrow x_1=2,x_2=-1$.

4. Знаходимо відповідні ординати: якщо $x_1=2$, то $y_1=6$; якщо $x_2=-1$, то $y_2=-3$. Точки перетину: $M(2;6)$ і $N(-1;-3)$.

5. Обчислюємо відстань між точками $M$ і $N$: $MN=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(6-(-3){)}^2}=\sqrt{3^2+9^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$.

Розв’язання

1. Знаходимо середину відрізка $AB$: $x_M=\frac{1+(-3)}{2}=-1$, $y_M=\frac{-7+5}{2}=-1$. Середина $M(-1;-1)$.

2. Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої $AB$: $k_{AB}=\frac{5-(-7)}{-3-1}=\frac{12}{-4}=-3$.

3. Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра дорівнює $k_{\perp }=-\frac{1}{k_{AB}}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$.

4. Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку $M(-1;-1)$ з кутовим коефіцієнтом $\frac{1}{3}$: $y-(-1)=\frac{1}{3}(x-(-1))$, тобто $y+1=\frac{1}{3}(x+1)$.

5. Приводимо до загального вигляду: $3(y+1)=x+1\Rightarrow 3y+3=x+1\Rightarrow x-3y-2=0$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати середини відрізка $CD$: $x_0=\frac{2+(-5)}{2}=-1,5$, $y_0=\frac{3+(-2)}{2}=0,5$. Точка середини $M(-1,5;0,5)$.

2. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $CD$: $k_{CD}=\frac{-2-3}{-5-2}=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7}$.

3. Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра дорівнює $k_{\perp }=-\frac{1}{k_{CD}}=-\frac{7}{5}$.

4. Складемо рівняння прямої, що проходить через точку $M(-1,5;0,5)$ з кутовим коефіцієнтом $-\frac{7}{5}$: $y-0,5=-\frac{7}{5}(x+1,5)$.

Розв’язання

1. Умова рівновіддаленості від осей означає, що модуль абсциси дорівнює модулю ординати: $|y|=|x|$, звідки $y=x$ або $y=-x$.

2. Відстань від точки $(x;y)$ до осі координат дорівнює модулю відповідної координати ($|y|$ та $|x|$). Отже, шукана точка рівновіддалена від осей і від точки $A$, якщо $\sqrt{(x-3{)}^2+(y-6{)}^2}=|x|$.

3. Розглянемо випадок $y=x$: підставимо в рівняння: $(x-3{)}^2+(x-6{)}^2=x^2\Rightarrow 2x^2-18x+45=x^2\Rightarrow x^2-18x+45=0$. Корені: $x_1=3$, $x_2=15$. Точки: $(3;3)$, $(15;15)$.

4. Розглянемо випадок $y=-x$: підставимо в рівняння: $(x-3{)}^2+(-x-6{)}^2=x^2\Rightarrow 2x^2+18x+45=x^2\Rightarrow x^2+18x+45=0$. Корені: $x_3=-3$, $x_4=-15$. Точки: $(-3;3)$, $(-15;-15)$.

Розв’язання

1. Умова $|y|=|x|$ дає два випадки: $y=x$ та $y=-x$.

2. Для $y=x$: відстань до осей дорівнює $|x|$. Рівняння відстані до точки $B(-4;2)$: $\sqrt{(x+4{)}^2+(x-2{)}^2}=|x|$. Квадратуємо обидві частини: $(x+4{)}^2+(x-2{)}^2=x^2\Rightarrow 2x^2+4x+20=x^2\Rightarrow x^2+4x+20=0$. Дискримінант $D=16-80<0$, розв'язків немає.

3. Для $y=-x$: відстань до осей дорівнює $|x|$. Рівняння: $\sqrt{(x+4{)}^2+(-x-2{)}^2}=|x|$. Квадратуємо: $(x+4{)}^2+(x+2{)}^2=x^2\Rightarrow 2x^2+12x+20=x^2\Rightarrow x^2+12x+20=0$.

4. Знаходимо корені для $x^2+12x+20=0$: $D=144-80=64$, $\sqrt{D}=8$. $x_1=\frac{-12+8}{2}=-2$, $x_2=\frac{-12-8}{2}=-10$. Відповідні точки: $(-2;2)$ і $(-10;10)$.

Розв’язання

1. Точки $A(2;0)$ та $B(4;0)$ лежать на осі $x$, тому відрізок $AB$ є хордою кола. Середина цього відрізка має координати $M\left(\frac{2+4}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(3;0)$.

2. Оскільки точки $A$ та $B$ лежать на осі абсцис, серединний перпендикуляр до відрізка $AB$ — це пряма, що проходить через точку $(3;0)$ і паралельна осі ординат (вертикальна пряма). Її рівняння: $x=3$.

3. Центр кола є точкою перетину прямих $x=3$ та $2x+3y=18$. Підставимо $x=3$ у рівняння прямої: $2\cdot 3+3y=18\Rightarrow 6+3y=18\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=4$. Центр кола має координати $(3;4)$.

4. Знайдемо радіус $R$ як відстань від центру $(3;4)$ до точки $A(2;0)$: $R^2=(3-2{)}^2+(4-0{)}^2=1^2+4^2=1+16=17$.