ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 123

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 10.5–10.13 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 10.5

Пряма, перпендикулярна до осі x

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $A (6; - 3)$ і перпендикулярна до осі $x$ . Знайти координати точки перетину цієї прямої з віссю $x$ .

Розв’язання

Оскільки пряма проходить через точку $A (6; - 3)$ і перпендикулярна до осі $x$ , абсциса всіх її точок дорівнює 6. Рівняння прямої: $x = 6$ .
Точка перетину з віссю $x$ має координати $(6; 0)$ , оскільки на цій осі ордината завжди дорівнює нулю.

Відповідь:

Рівняння прямої: $x = 6$ ; точка перетину з віссю $x$ : $(6; 0)$ .

Завдання 10.6

Пряма, перпендикулярна до осі y

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $B (5; - 8)$ і перпендикулярна до осі $y$ . Знайти координати точки перетину цієї прямої з віссю $y$ .

Розв’язання

Оскільки пряма проходить через точку $B (5; - 8)$ і перпендикулярна до осі $y$ , ордината всіх її точок дорівнює $- 8$ . Рівняння прямої: $y = - 8$ .
Точка перетину з віссю $y$ має координати $(0; - 8)$ , оскільки на цій осі абсциса завжди дорівнює нулю.

Відповідь:

Рівняння прямої: $y = - 8$ ; точка перетину з віссю $y$ : $(0; - 8)$ .

Завдання 10.7

Пряма, паралельна осям координат

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $C (- 4; 9)$ і паралельно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат.

Розв’язання

Пряма паралельна осі $x$ , тому її рівняння залежить від ординати точки $C (- 4; 9)$ , яка дорівнює 9. Рівняння: $y = 9$ .
Пряма паралельна осі $y$ , тому її рівняння залежить від абсциси точки $C (- 4; 9)$ , яка дорівнює $- 4$ . Рівняння: $x = - 4$ .

Відповідь:

1) $y = 9$ ; 2) $x = - 4$ .

Завдання 10.8

Рівняння осей та бісектрис

Скласти рівняння: 1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) прямої, що містить бісектрису третього координатного кута; 4) прямої, що містить бісектрису другого координатного кута.

Розв’язання

Рівняння осі абсцис: оскільки це вісь $x$ , то ордината будь-якої точки на ній дорівнює нулю, отже $y = 0$ .
Рівняння осі ординат: оскільки це вісь $y$ , то абсциса будь-якої точки на ній дорівнює нулю, отже $x = 0$ .
Третій координатний кут знаходиться в III чверті ( $x < 0, y < 0$ ). Бісектриса цього кута ділить його навпіл, тому для будь-якої точки на ній виконується умова $y = x$ . Рівняння: $y = x$ .
Другий координатний кут знаходиться в II чверті ( $x < 0, y > 0$ ). Бісектриса цього кута має кутовий коефіцієнт $- 1$ , тому рівняння має вигляд $y = - x$ .

Відповідь:

1) $y = 0$ ; 2) $x = 0$ ; 3) $y = x$ ; 4) $y = - x$ .

Завдання 10.9

Точка перетину прямих

Знайти координати точки перетину прямих: 1) $y = 3 x - 7$ і $y = 5 x + 9$ ; 2) $2 x - 7 y = - 16$ і $6 x + 11 y = 16$ .

Розв’язання

Перший випадок ( $y = 3 x - 7$ і $y = 5 x + 9$ ): Прирівнюємо праві частини рівнянь: $3 x - 7 = 5 x + 9$ . Переносимо змінні в одну сторону, числа в іншу: $- 2 x = 16$ , звідки $x = - 8$ . Підставляємо $x$ у перше рівняння: $y = 3 (- 8) - 7 = - 24 - 7 = - 31$ . Точка: $(- 8; - 31)$ .
Другий випадок ( $2 x - 7 y = - 16$ і $6 x + 11 y = 16$ ): Помножимо перше рівняння на 3, щоб коефіцієнт при $x$ став таким самим як у другому: $6 x - 21 y = - 48$ . Віднімемо це від другого рівняння: $(6 x + 11 y) - (6 x - 21 y) = 16 - (- 48)$ , що дає $32 y = 64$ , звідки $y = 2$ . Підставимо $y = 2$ у перше рівняння: $2 x - 7 (2) = - 16 \Rightarrow 2 x - 14 = - 16 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$ . Точка: $(- 1; 2)$ .

Відповідь:

1) $(- 8; - 31)$ ; 2) $(- 1; 2)$ .

Завдання 10.10

Перетин прямих та історичний факт

Знайти координати точки перетину прямих $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5438$ (у тексті зображення дріб зіпсований, але за логікою вправ це рівняння прямої у відрізках або подібне; однак, оглядаючи умову уважніше на зображенні, там написано $3 x + 2 y = 5438$ і $x - 10 y = 1610$ . У тексті підручника це виглядає як $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = ...$ , але цифри 5438 та 1610 дуже великі для дробів. Перевіримо зображення: там чітко видно $3 x + 2 y = 5438$ і $x - 10 y = 1610$ . Використовуємо ці рівняння). Додати абсцису й ординату знайденої точки, щоб дізнатися рік вистави «Наталка Полтавка».

Розв’язання

Маємо систему: ${3 x + 2 y = 5438 x - 10 y = 1610$ . Помножимо друге рівняння на 3: $3 x - 30 y = 4830$ . Віднімемо це від першого рівняння: $(3 x + 2 y) - (3 x - 30 y) = 5438 - 4830 \Rightarrow 32 y = 608 \Rightarrow y = 19$ .
Знайдемо $x$ : $x - 10 (19) = 1610 \Rightarrow x - 190 = 1610 \Rightarrow x = 1800$ . Точка перетину: $(1800; 19)$ .
Знайдемо рік: додаємо координати $x + y = 1800 + 19 = 1819$ . Це відповідає історичним даним про прем'єру п'єси Івана Котляревського.

Відповідь:

Координати точки перетину: $(1800; 19)$ . Рік вистави: 1819.

Завдання 10.11

Рівняння прямої через дві точки

Скласти рівняння прямої, що проходить через пари точок:
1) $A (1; - 3)$ і $B (- 2; - 9)$ ;
2) $C (3; 5)$ і $D (3; - 10)$ ;
3) $E (- 4; - 1)$ і $F (9; - 1)$ ;
4) $M (3; - 3)$ і $K (- 6; 12)$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $k = \frac{- 9 - ( - 3 )}{- 2 - 1} = \frac{- 6}{- 3} = 2$ . Підставимо точку $A (1; - 3)$ у $y = 2 x + p$ : $- 3 = 2 \cdot 1 + p \Rightarrow p = - 5$ . Рівняння: $y = 2 x - 5$ .
Для пункту 2): Абсциси точок $C$ і $D$ дорівнюють $3$ . Це вертикальна пряма. Рівняння: $x = 3$ .
Для пункту 3): Ординати точок $E$ і $F$ дорівнюють $- 1$ . Це горизонтальна пряма. Рівняння: $y = - 1$ .
Для пункту 4): $k = \frac{12 - ( - 3 )}{- 6 - 3} = \frac{15}{- 9} = - \frac{5}{3}$ . Підставимо точку $M (3; - 3)$ у $y = - \frac{5}{3} x + p$ : $- 3 = - \frac{5}{3} \cdot 3 + p \Rightarrow - 3 = - 5 + p \Rightarrow p = 2$ . Рівняння: $y = - \frac{5}{3} x + 2$ або $5 x + 3 y = 6$ .

Відповідь:

1) $y = 2 x - 5$ ; 2) $x = 3$ ; 3) $y = - 1$ ; 4) $y = - \frac{5}{3} x + 2$ (або $5 x + 3 y = 6$ ).

Завдання 10.12

Рівняння прямої через дві точки

Скласти рівняння прямої, що проходить через пари точок:
1) $A (2; - 5)$ і $B (- 3; 10)$ ;
2) $C (6; - 1)$ і $D (24; 2)$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Знайдемо $k = \frac{10 - ( - 5 )}{- 3 - 2} = \frac{15}{- 5} = - 3$ . Підставимо точку $A (2; - 5)$ у рівняння $y = - 3 x + p$ : $- 5 = - 3 \cdot 2 + p \Rightarrow - 5 = - 6 + p \Rightarrow p = 1$ . Рівняння: $y = - 3 x + 1$ .
Для пункту 2): Знайдемо $k = \frac{2 - ( - 1 )}{24 - 6} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ . Підставимо точку $C (6; - 1)$ у рівняння $y = \frac{1}{6} x + p$ : $- 1 = \frac{1}{6} \cdot 6 + p \Rightarrow - 1 = 1 + p \Rightarrow p = - 2$ . Рівняння: $y = \frac{1}{6} x - 2$ або $x - 6 y = 12$ .

Відповідь:

1) $y = - 3 x + 1$ ; 2) $y = \frac{1}{6} x - 2$ (або $x - 6 y = 12$ ).

Завдання 10.13

Рівняння медіани трикутника

Точки $A (- 6; - 1)$ , $B (1; 2)$ і $C (- 5; - 8)$ — вершини трикутника $A B C$ . Скласти рівняння прямої, яка містить медіану $A K$ трикутника.

Розв’язання

Знайдемо координати середини сторони $B C$ (позначимо її як $K$ ). $x_{K} = \frac{1 + ( - 5 )}{2} = - 2$ , $y_{K} = \frac{2 + ( - 8 )}{2} = - 3$ . Точка $K (- 2; - 3)$ .
Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A (- 6; - 1)$ і $K (- 2; - 3)$ . Кутовий коефіцієнт $k = \frac{- 3 - ( - 1 )}{- 2 - ( - 6 )} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5 = - \frac{1}{2}$ .
Підставимо координати точки $A (- 6; - 1)$ у рівняння $y = - \frac{1}{2} x + p$ : $- 1 = - \frac{1}{2} \cdot (- 6) + p \Rightarrow - 1 = 3 + p \Rightarrow p = - 4$ .

Відповідь:

Рівняння прямої медіани $A K$ : $y = - \frac{1}{2} x - 4$ (або $x + 2 y = - 8$ ).