ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 122

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 10.1–10.4 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 10.1

Ідентифікація рівнянь прямої

Дано вісім рівнянь, з яких треба вибрати ті, що є рівняннями прямої: 1) $2 x - 3 y = 5$ ; 2) $2 x - 3 y = 0$ ; 3) $2 x^{2} - 3 y = 5$ ; 4) $2 x = 5$ ; 5) $- 3 y = 5$ ; 6) $2 x + 0 y = 0$ ; 7) $0 x + 0 y = 0$ ; 8) $0 x + 0 y = 5$ .

Розв’язання

Розглянемо рівняння $2 x^{2} - 3 y = 5$ : воно містить $x^{2}$ , тому не є лінійним, а отже, не задає пряму.
Розглянемо випадки $0 x + 0 y = 0$ та $0 x + 0 y = 5$ : перше тотожно виконується для будь-яких $x, y$ (це вся площина), друге — ніколи не виконується (пустий набір точок), жодне з них не є прямою.
Перевіримо решту рівнянь: $2 x - 3 y = 5$ , $2 x - 3 y = 0$ , $2 x = 5$ ( $- 3 y = 0$ ), $- 3 y = 5$ , $2 x + 0 y = 0$ . Усі вони мають вигляд $a x + b y = c$ з хоча б одним ненульовим коефіцієнтом при змінній.

Відповідь:

Рівняннями прямої є: 1), 2), 4), 5), 6). Рівняння 3) — не лінійне; 7) і 8) — не задають пряму.

Завдання 10.2

Перетин прямої з осями та перевірка точок

Пряма задана рівнянням $4 x - 5 y = 20$ . Потрібно знайти координати точок перетину з осями координат і визначити, чи належать цій прямій точки: 1) $A (10; 4)$ ; 2) $B (6; 1)$ ; 3) $C (- 1, 5; 5, 2)$ ; 4) $D (- 1; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо точки перетину: при $y = 0$ маємо $4 x = 20 \Rightarrow x = 5$ , точка $(5; 0)$ . При $x = 0$ маємо $- 5 y = 20 \Rightarrow y = - 4$ , точка $(0; - 4)$ .
Перевіримо точку $A (10; 4)$ : підставимо в рівняння $4 \cdot 10 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ . Рівність виконується, точка належить прямій.
Перевіримо точку $B (6; 1)$ : $4 \cdot 6 - 5 \cdot 1 = 24 - 5 = 19 \neq = 20$ . Точка не належить прямій.
Перевіримо точку $C (- 1, 5; 5, 2)$ : $4 \cdot (- 1, 5) - 5 \cdot 5, 2 = - 6 - 26 = - 32 \neq = 20$ . Точка не належить прямій.
Перевіримо точку $D (- 1; 5)$ : $4 \cdot (- 1) - 5 \cdot 5 = - 4 - 25 = - 29 \neq = 20$ . Точка не належить прямій.

Відповідь:

Точки перетину з осями: $(5; 0)$ та $(0; - 4)$ . З точок лише точка $A (10; 4)$ належить прямій.

Завдання 10.3

Перетин прямої з осями та перевірка точок

Пряма задана рівнянням $3 x + 4 y = 12$ . Потрібно знайти координати точок перетину з осями координат і визначити, яка з точок $M (- 2; 4)$ та $K (8; - 3)$ належить цій прямій.

Розв’язання

Знайдемо точки перетину: при $y = 0$ маємо $3 x = 12 \Rightarrow x = 4$ , точка $(4; 0)$ . При $x = 0$ маємо $4 y = 12 \Rightarrow y = 3$ , точка $(0; 3)$ .
Перевіримо точку $M (- 2; 4)$ : підставимо в рівняння $3 \cdot (- 2) + 4 \cdot 4 = - 6 + 16 = 10 \neq = 12$ . Точка $M$ не належить прямій.
Перевіримо точку $K (8; - 3)$ : підставимо в рівняння $3 \cdot 8 + 4 \cdot (- 3) = 24 - 12 = 12$ . Рівність виконується, точка $K$ належить прямій.

Відповідь:

Точки перетину з осями: $(4; 0)$ та $(0; 3)$ . Належить прямій точка $K (8; - 3)$ .

Завдання 10.4

Рівняння прямих за графіком

Скласти рівняння прямих $a$ і $b$ , зображених на рисунку 10.3. Пряма $a$ проходить через точку $(0; 3)$ і паралельна осі абсцис. Пряма $b$ проходить через точку $(- 4; 0)$ і перпендикулярна до осі абсцис.

Розв’язання

Пряма $a$ є горизонтальною і перетинає вісь $y$ в точці з ординатою 3, тому її рівняння має вигляд $y = 3$ .
Пряма $b$ є вертикальною і перетинає вісь $x$ в точці з абсцисою -4, тому її рівняння має вигляд $x = - 4$ .

Відповідь:

$a : y = 3$ , $b : x = - 4$ .