Сторінка 118

Розв’язання

1. Рівняння зони покриття вежі (центр $C(0;0)$, радіус $R=5$): $x^2+y^2=5^2$, тобто $x^2+y^2=25$.

2. Перевіряємо точку дому $H(3;4)$: підставляємо в ліву частину: $3^2+4^2=9+16=25$. Оскільки $25=25$, точка лежить на межі покриття, сигнал досягає.

3. Перевіряємо точку друга $D(5;1)$: підставляємо в ліву частину: $5^2+1^2=25+1=26$. Оскільки $26>25$, точка знаходиться поза зоною покриття.

Розв’язання

1. Розглянемо трикутник $ABE$. Оскільки $AB=BE=12$ см, це рівнобедрений трикутник. Бісектриса кута $B$ паралелограма ділить кут $B$ навпіл. Нехай $\angle B=2\alpha$, тоді $\angle ABE=\angle CBE=\alpha$. Оскільки $AD\parallel BC$, то $\angle BEA=\angle CBE=\alpha$ (альтернативні кути). Отже, $△ABE$ рівнобедрений з основою $AE$, але в умові сказано $AB=BE$, отже $\angle BAE=\angle BEA$.

2. Перевіримо логіку: У трикутнику $ABE$ кути при основі $AE$ рівні. Але $AB=BE$, отже кути проти цих сторін рівні: $\angle BEA=\angle BAE$. Оскільки $AD\parallel BC$, то $\angle AEB=\angle EBC$. Отже, $\angle BAE=\angle EBC$. Бісектриса ділить кут $B$ на два рівні кути. Тоді трикутник $ABE$ — рівнобедрений з $AB=BE$.

3. Знайдемо довжину сторони $AD$. Сторона $AD=AE+ED$. У трикутнику $ABE$ сума кутів $180^{\circ }$. Але простіше використати властивість бісектриси в паралелограмі: $\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{BC}$. Оскільки $AB=CD$, а $AD=BC$, то $\frac{AE}{18}=\frac{12}{AD}$. Також $AD=AE+18$.

4. З рівняння $\frac{AE}{18}=\frac{12}{AE+18}$ знайдемо $AE$: $AE(AE+18)=12\cdot 18\Rightarrow A{E}^2+18AE-216=0$. Дискримінант $D=324-4(1)(-216)=324+864=1188$. Це складно.

5. Перепишемо умову уважніше: $AB=BE=12$. Трикутник $ABE$ рівнобедрений ($AB=BE$). Тоді $\angle BAE=\angle BEA$. Оскільки $AD\parallel BC$, то $\angle BEA=\angle EBC$ (альтернативні). Отже, $\angle BAE=\angle EBC$. Але $BE$ — бісектриса кута $B$, отже $\angle ABE=\angle EBC$. Тоді $\angle BAE=\angle ABE$. Трикутник $ABE$ рівнобедрений з основою $AE$? Ні, якщо кути при основі рівні, то сторони рівні. Тут $\angle BAE=\angle ABE$, отже сторони проти них рівні: $BE=AE$. Але в умові $AB=BE$. Отже $AB=BE=AE$. Трикутник $ABE$ — рівносторонній!

6. Якщо трикутник $ABE$ рівносторонній, то $AE=AB=12$ см. Тоді сторона $AD=AE+ED=12+18=30$ см. Сторона $BC=AD=30$ см.

7. Знайдемо висоту паралелограма, опущену з вершини $B$ на сторону $AD$. Нехай це висота $h$. В трикутнику $ABE$ (рівносторонньому зі стороною $12$) висота до сторони $AE$ дорівнює $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12=6\sqrt{3}$. Але нам потрібна висота до сторони $AD$, яка є основою рівнобедреного трикутника? Ні, $AD$ — це пряма. Висота паралелограма — це відстань між паралельними сторонами $AB$ і $CD$ або $AD$ і $BC$. Тут висоту треба знайти до сторони $AD$.

8. Розглянемо трикутник $ABE$. Він рівносторонній зі стороною $12$. Кут $A=60^{\circ }$. Висота паралелограма, опущена з точки $B$ на пряму $AD$, є висотою рівнобедреного трикутника $ABD$? Ні. Висота $h$ у трикутнику $ABE$ до сторони $AE$ (яка лежить на $AD$) дорівнює $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12=6\sqrt{3}$.

9. Площа паралелограма $S=AD\cdot h=30\cdot 6\sqrt{3}=180\sqrt{3}$ см${}^2$.

Розв’язання

1. Довжина діагоналі $d=9+16=25$ см.

2. Сторони прямокутника обчислюються за формулами $a=\sqrt{p\cdot d}$ і $b=\sqrt{q\cdot d}$, де $p=9$, $q=16$.

3. Знайдемо першу сторону: $a=\sqrt{9\cdot 25}=\sqrt{225}=15$ см.

4. Знайдемо другу сторону: $b=\sqrt{16\cdot 25}=\sqrt{400}=20$ см.

5. Перевірка: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$. Все вірно.

6. Знайдемо периметр: $P=2(a+b)=2(15+20)=2\cdot 35=70$ см.

Розв’язання

1. Проведіть пряму, що проходить через точки $A$ і $B$, та продовжте її за точку $B$.

2. Відкладіть на продовженні відрізка $AB$ від точки $B$ відрізок $BC$, рівний відрізку $AB$, використовуючи циркуль (закріпіть голку циркуля в точці $A$, відкрийте його до довжини $AB$, перенесіть цей радіус на продовження відрізка від точки $B$).

3. Точка, у якій кінець цього нового відрізка перетне пряму, є шуканою точкою $C$.