ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 117

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 9.21–9.31 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 9.21

Рівняння кола за умовою дотику до осі абсцис

Скласти рівняння кола, центр якого знаходиться на прямій $y = - 5$ та яке дотикається до осі абсцис у точці $S (2; 0)$ .

Розв’язання

Оскільки центр лежить на прямій $y = - 5$ , його ордината дорівнює $- 5$ . Точка дотику з віссю $O x$ має координати $(2; 0)$ , отже абсциса центра $x_{0} = 2$ . Центр має вигляд $(2; - 5)$ .
Відстань від центра $(2; - 5)$ до осі абсцис ( $y = 0$ ) дорівнює модулю ординати центра: $R = ∣ - 5∣ = 5$ .
Підставимо координати центра $(x_{0} = 2, y_{0} = - 5)$ та радіус $R = 5$ у загальне рівняння кола: $(x - 2)^{2} + (y - (- 5))^{2} = 5^{2}$ .

Відповідь:

$(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$ .

Завдання 9.22

Доведення властивостей кола за рівнянням

Довести, що коло $(x + 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ : 1) дотикається до осі ординат; 2) перетинає вісь абсцис; 3) не має спільних точок із прямою $y = 10$ .

Розв’язання

З рівняння бачимо, що центр кола $A (- 6; 3)$ , а радіус $R = 6$ .
Відстань від центра до осі ординат ( $x = 0$ ) дорівнює модулю абсциси центра: $d_{1} = ∣ - 6∣ = 6$ . Оскільки $d_{1} = R$ , коло дотикається до осі ординат.
Відстань від центра до осі абсцис ( $y = 0$ ) дорівнює модулю ординати центра: $d_{2} = ∣3∣ = 3$ . Оскільки $d_{2} < R$ ( $3 < 6$ ), коло перетинає вісь абсцис.
Відстань від центра до прямої $y = 10$ дорівнює різниці ординат: $d_{3} = ∣10 - 3∣ = 7$ . Оскільки $d_{3} > R$ ( $7 > 6$ ), коло не має спільних точок із цією прямою.

Відповідь:

1) дотикається; 2) перетинає; 3) не має спільних точок.

Завдання 9.23

Кіла з центром на осі ординат, що проходять через точку

Знайти кількість кіл, які проходять через точку $(3; 5)$ , радіуси яких дорівнюють $35$ і центри яких належать осі ординат. Записати рівняння кожного такого кола.

Розв’язання

Запишемо рівняння кола з центром $(0; y_{0})$ та радіусом $R = 35$ : $x^{2} + (y - y_{0})^{2} = (35)^{2}$ .
Спростимо правою частиною: $x^{2} + (y - y_{0})^{2} = 9 \cdot 5 = 45$ .
Підставимо координати точки $(3; 5)$ замість $x$ і $y$ : $3^{2} + (5 - y_{0})^{2} = 45$ , тобто $9 + (5 - y_{0})^{2} = 45$ .
Перенесемо 9 вправо: $(5 - y_{0})^{2} = 45 - 9 = 36$ .
Знайдемо корінь з обох частин: $5 - y_{0} = \pm 6$ . Отримуємо два випадки:
а) $5 - y_{0} = 6 \Rightarrow y_{0} = - 1$ . Центр $(0; - 1)$ . Рівняння: $x^{2} + (y + 1)^{2} = 45$ .
б) $5 - y_{0} = - 6 \Rightarrow y_{0} = 11$ . Центр $(0; 11)$ . Рівняння: $x^{2} + (y - 11)^{2} = 45$ .

Відповідь:

Існує 2 такі кола. Їхні рівняння: $x^{2} + (y + 1)^{2} = 45$ та $x^{2} + (y - 11)^{2} = 45$ .

Завдання 9.24

Рівняння кола через дві точки

Скласти рівняння кола, яке проходить через точки $A (- 4; 1)$ і $B (8; 5)$ і центр якого належить осі абсцис.

Розв’язання

Нехай центр кола $O (a; 0)$ . Радіус $R = O A = O B$ .
Запишемо рівняння для відстаней: $(a - (- 4))^{2} + (0 - 1)^{2} = (a - 8)^{2} + (0 - 5)^{2}$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату та розкриємо дужки: $(a + 4)^{2} + 1 = (a - 8)^{2} + 25$ .
Розкриємо дужки: $a^{2} + 8 a + 16 + 1 = a^{2} - 16 a + 64 + 25$ .
Спростимо рівняння, скоротивши $a^{2}$ і перенесення доданків: $8 a + 17 = - 16 a + 89 \Rightarrow 24 a = 72 \Rightarrow a = 3$ .
Знайдемо радіус, підставивши $a = 3$ у вираз для $O A$ : $R^{2} = (3 + 4)^{2} + 1 = 49 + 1 = 50$ .

Відповідь:

Рівняння кола: $(x - 3)^{2} + y^{2} = 50$ або $x^{2} - 6 x + y^{2} - 17 = 0$ .

Завдання 9.25

Перевірка рівнянь на коло

Установити, чи є дані рівняння рівняннями кола. Якщо так — знайти центр та радіус $R$ :
1) $x^{2} + 2 x + y^{2} - 10 y - 23 = 0$ ;
2) $x^{2} - 12 x + y^{2} + 4 y + 40 = 0$ ;
3) $x^{2} + y^{2} + 6 y + 8 x + 34 = 0$ ;
4) $x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 51 = 0$ .

Розв’язання

Рівняння 1: $(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 10 y + 25) = 23 + 1 + 25 \Rightarrow (x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 49$ . Це коло. Центр $(- 1; 5)$ , радіус $R = 7$ .
Рівняння 2: $(x^{2} - 12 x + 36) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 40 + 36 + 4 \Rightarrow (x - 6)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ . Це точка (дегенеративне коло), радіус дорівнює 0.
Рівняння 3: $(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} + 6 y + 9) = - 34 + 16 + 9 \Rightarrow (x + 4)^{2} + (y + 3)^{2} = - 9$ . Під коренем від'ємне число, рівняння кола не є.
Рівняння 4: $(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} - 14 y + 49) = - 51 + 4 + 49 \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} = 2$ . Це коло. Центр $(2; 7)$ , радіус $R = 2$ .

Відповідь:

1) Так, центр $(- 1; 5)$ , $R = 7$ ; 2) Ні (точка); 3) Ні; 4) Так, центр $(2; 7)$ , $R = 2$ .

Завдання 9.26

Аналіз рівнянь кола

Довести, що дані рівняння є рівняннями кола, і вказати координати центра та радіус $R$ :
1) $x^{2} + y^{2} + 16 y + 60 = 0$ ;
2) $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 15 = 0$ .

Розв’язання

Рівняння 1: $(x^{2} + 0 x + 0) + (y^{2} + 16 y + 64) = - 60 + 64 \Rightarrow x^{2} + (y + 8)^{2} = 4$ . Це коло. Центр $(0; - 8)$ , радіус $R = 2$ .
Рівняння 2: $(x^{2} - 8 x + 16) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 15 + 16 + 4 \Rightarrow (x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ . Це коло. Центр $(4; - 2)$ , радіус $R = 5$ .

Відповідь:

1) Так, центр $(0; - 8)$ , $R = 2$ ; 2) Так, центр $(4; - 2)$ , $R = 5$ .

Завдання 9.27

Прямокутний трикутник і описане коло

Довести, що трикутник із вершинами в точках $A (- 1; - 2)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (5; 2)$ є прямокутним, і скласти рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін трикутника за формулою відстані між двома точками: $A B = ∣2 - (- 2) ∣ = 4$ , $B C = ∣5 - (- 1) ∣ = 6$ . Оскільки координати точки $A$ і $B$ однакові по $x$ , а координати $B$ і $C$ — однакові по $y$ , сторони $A B$ (вертикальна) та $B C$ (горизонтальна) перпендикулярні. Значить, $∠ B = 9 0^{\circ}$ .
Трикутник прямокутний з гіпотенузою $A C$ . Центр описаного кола — середина відрізка $A C$ . Координати центра: $x_{0} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ , $y_{0} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ . Тобто центр $O (2; 0)$ .
Знайдемо радіус як половину довжини гіпотенузи $A C$ : $A C = (5 - (- 1))^{2} + (2 - (- 2))^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = 52 = 213$ . Радіус $R = \frac{A C}{2} = 13$ .

Відповідь:

Трикутник прямокутний; рівняння кола: $(x - 2)^{2} + y^{2} = 13$ .

Завдання 9.28

Рівняння кола за дотиком до осей та прямої

Скласти рівняння кола, яке дотикається до координатних осей ( $O x$ і $O y$ ) і прямої $y = - 4$ .

Розв’язання

Оскільки коло дотикається до обох осей координат, відстань між точками дотику на осях дорівнює $2 R$ . Координати центру кола $(x_{0}; y_{0})$ мають вигляд $(\pm R; \pm R)$ .
За умовою коло дотикається до прямої $y = - 4$ . Відстань від центру $(x_{0}; y_{0})$ до цієї прямої має дорівнювати радіусу $R$ . Тобто $∣ y_{0} - (- 4) ∣ = R$ , або $∣ y_{0} + 4∣ = R$ .
Розглянемо можливі випадки для координати центру $y_{0}$ :
а) Якщо центр у верхньому півплощині ( $y_{0} > 0$ ), то $y_{0} = R$ . Тоді $R + 4 = R$ , що неможливо.
б) Якщо центр у нижньому півплощині ( $y_{0} < 0$ ), то $y_{0} = - R$ . Підставимо: $∣ - R + 4∣ = R$ . Це дає дві рівності: $- R + 4 = R \Rightarrow 2 R = 4 \Rightarrow R = 2$ (тоді $y_{0} = - 2$ ) або $- (- R + 4) = R \Rightarrow R - 4 = R \Rightarrow - 4 = 0$ (неможливо).
в) Також можна розглянути випадок, коли коло знаходиться між осями ( $x_{0} > 0, y_{0} < 0$ ), але умова дотику до $y = - 4$ обмежує розміри. Перевіримо: якщо центр $(R; - R)$ , то відстань до $y = - 4$ : $∣ - R - (- 4) ∣ = ∣4 - R ∣$ . Якщо $R = 2$ , то $∣4 - 2∣ = 2 = R$ . Центр $(2; - 2)$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ .
г) Перевіримо випадок, коли коло знаходиться ліворуч ( $x_{0} < 0$ ). Центри можуть бути $(- R; R)$ або $(- R; - R)$ . Для $(- R; - R)$ : відстань до $y = - 4$ дорівнює $∣ - R + 4∣ = R \Rightarrow 4 - R = R \Rightarrow R = 2$ . Центр $(- 2; - 2)$ . Рівняння: $(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ .
д) Перевіримо випадок, коли коло знаходиться праворуч ( $x_{0} > 0$ ), але центр вище осі абсцис? Ні, бо тоді відстань до $y = - 4$ буде більшою за радіус. Якщо центр $(R; R)$ , то $∣ R + 4∣ = R$ , що неможливо для додатних $R$ .
е) Можливий випадок, коли коло дотикається до осей і прямої зверху? Ні, бо пряма $y = - 4$ нижче. Отже, центр кола обов'язково має ординату від'ємну або нульову (але нульова неможлива при дотику до осей).
є) Перевіримо ще один варіант: коло може знаходитися між осями в четвертому квадранті? Так, центр $(2; - 2)$ і $(- 2; - 2)$ . Чи можуть бути інші? Якщо коло дотикається до осей, то $∣ x_{0} ∣ = ∣ y_{0} ∣ = R$ . Відстань від центру до прямої $y = - 4$ дорівнює $R$ . $∣ y_{0} + 4∣ = R$ . Оскільки $y_{0} = \pm R$ , маємо $∣ \pm R + 4∣ = R$ .
- Якщо $y_{0} = R$ : $∣ R + 4∣ = R \Rightarrow R + 4 = R$ (неможливо) або $- R - 4 = R \Rightarrow 2 R = - 4$ (неможливо).
- Якщо $y_{0} = - R$ : $∣ - R + 4∣ = R \Rightarrow ∣4 - R ∣ = R$ . Це дає два випадки: $4 - R = R \Rightarrow 2 R = 4 \Rightarrow R = 2$ ; або $- (4 - R) = R \Rightarrow - 4 + R = R \Rightarrow - 4 = 0$ (неможливо).
ж) Отже, єдині можливі координати центру: $(2; - 2)$ і $(- 2; - 2)$ . Радіус у обох випадках дорівнює 2.

Відповідь:

Існує два такі кола:
1) $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$
2) $(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$

Завдання 9.29

Рівняння кола за умовами дотику

Скласти рівняння кола, яке дотикається до обох координатних осей ( $O x$ та $O y$ ) і до прямої $x = 2$ .

Розв’язання

Оскільки коло дотикається до обох осей, його центр має координати $(R; R)$ , $(- R; R)$ , $(R; - R)$ або $(- R; - R)$ , де $∣ x_{c} ∣ = ∣ y_{c} ∣ = R$ .
Умова дотику до прямої $x = 2$ означає, що відстань від центра $(x_{c}; y_{c})$ до цієї прямої дорівнює радіусу: $∣ x_{c} - 2∣ = R$ .
Розглянемо випадки для абсциси центра $x_{c}$ :
- Якщо коло знаходиться праворуч від осі $O y$ ( $x_{c} > 0$ ), то $x_{c} = R$ . Підставимо в умову дотику: $∣ R - 2∣ = R$ . Це дає два випадки: $R - 2 = R$ (неможливо) або $- (R - 2) = R \Rightarrow 2 - R = R \Rightarrow 2 R = 2 \Rightarrow R = 1$ . Тоді $x_{c} = 1$ . Центр $(1; 1)$ або $(1; - 1)$ . Перевіримо дотик до прямої $x = 2$ : відстань від точки з абсцисою 1 до прямої $x = 2$ дорівнює 1, що дорівнює радіусу.
- Якщо коло знаходиться ліворуч від осі $O y$ ( $x_{c} < 0$ ), то $x_{c} = - R$ . Відстань до прямої $x = 2$ : $∣ - R - 2∣ = R \Rightarrow ∣ - (R + 2) ∣ = R \Rightarrow R + 2 = R$ (неможливо). Отже, коло не може бути зліва від осі.
Таким чином, можливі центри: $(1; 1)$ та $(1; - 1)$ . Радіус у обох випадках $R = 1$ .

Відповідь:

Існує два такі кола з рівняннями: $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ та $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ .

Завдання 9.30

Рівняння кола за трьома точками

Скласти рівняння кола, яке проходить через точки:
1) $A (- 3; 7)$ , $B (- 8; 2)$ , $C (- 6; - 2)$ ;
2) $M (- 1; 10)$ , $N (12; - 3)$ , $K (4; 9)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Знайдемо середину відрізку $A B$ : $x_{M_{1}} = \frac{- 3 + ( - 8 )}{2} = - 5, 5$ , $y_{M_{1}} = \frac{7 + 2}{2} = 4, 5$ . Кут нахилу прямої $A B$ знаходимо через коефіцієнт кута: $k_{A B} = \frac{2 - 7}{- 8 - ( - 3 )} = \frac{- 5}{- 5} = 1$ . Коефіцієнт кута серединного перпендикуляра $k_{⊥} = - 1$ . Рівняння перпендикуляра: $y - 4, 5 = - 1 (x + 5, 5)$ , тобто $x + y + 1 = 0$ .
Для пункту 1: Знайдемо середину відрізку $B C$ : $x_{M_{2}} = \frac{- 8 + ( - 6 )}{2} = - 7$ , $y_{M_{2}} = \frac{2 + ( - 2 )}{2} = 0$ . Коефіцієнт кута прямої $B C$ : $k_{B C} = \frac{- 2 - 2}{- 6 - ( - 8 )} = \frac{- 4}{2} = - 2$ . Коефіцієнт перпендикуляра $k_{⊥}^{'} = 0, 5$ . Рівняння: $y - 0 = 0, 5 (x + 7)$ , тобто $x - 2 y + 7 = 0$ .
Для пункту 1: Розв'яжемо систему ${x + y + 1 = 0 x - 2 y + 7 = 0$ . Віднімаємо перше рівняння від другого: $- 3 y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2$ . Підставляємо в перше: $x + 2 + 1 = 0 \Rightarrow x = - 3$ . Центр $O (- 3; 2)$ . Радіус $R = (- 3 - (- 3))^{2} + (2 - 7)^{2} = 0 + 25 = 5$ . Рівняння: $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .
Для пункту 2: Аналогічно знаходимо середину $M N$ : $(- 5, 5; - 1, 5)$ , коефіцієнт кута $k_{M N} = \frac{- 3 - 10}{12 - ( - 1 )} = \frac{- 13}{13} = - 1$ , перпендикуляр $y + 1, 5 = x + 5, 5 \Rightarrow x - y - 4 = 0$ .
Для пункту 2: Середина $N K$ : $(7; 3, 5)$ , коефіцієнт кута $k_{N K} = \frac{9 - ( - 3 )}{4 - 12} = \frac{12}{- 8} = - 1, 5$ , перпендикуляр $y - 3, 5 = \frac{2}{3} (x - 7) \Rightarrow 2 x - 3 y + 0, 5 = 0$ .
Для пункту 2: Розв'язуємо систему ${x - y - 4 = 0 2 x - 3 y + 0, 5 = 0$ . Помножимо перше на 2 і віднімемо друге: $- 6 y - 8 + 0, 5 = 0 \Rightarrow y = - 1, 5$ (перевірка підстановкою дає помилку в обчисленні, перевіримо точніше).
Перепишемо рівняння перпендикулярів для пункту 2:
Середина $M N$ : $x_{s} = - 5, 5$ , $y_{s} = - 1, 5$ . $k_{M N} = \frac{- 3 - 10}{12 - ( - 1 )} = - 1$ . Рівняння перпендикуляра: $y + 1, 5 = x + 5, 5 \Rightarrow x - y - 4 = 0$ .
Середина $N K$ : $x_{s} = \frac{- 1 + 4}{2} = 1, 5$ , $y_{s} = \frac{10 + 9}{2} = 9, 5$ . (Помилка в попередньому кроці: середина $N K$ це $(\frac{- 1 + 4}{2}; \frac{10 + 9}{2}) = (1, 5; 9, 5)$ ).
$k_{N K} = \frac{9 - ( - 3 )}{4 - 12} = \frac{12}{- 8} = - 1, 5$ . Рівняння перпендикуляра: $y - 9, 5 = \frac{2}{3} (x - 1, 5) \Rightarrow 3 y - 28, 5 = 2 x - 3 \Rightarrow 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ .
Система: ${x - y - 4 = 0 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ . $x = y + 4$ . Підставимо: $2 (y + 4) - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow 2 y + 8 - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow - y + 33, 5 = 0 \Rightarrow y = 33, 5$ . Це не ціле число, перевіримо умову. Точки $M (- 1; 10)$ , $N (12; - 3)$ , $K (4; 9)$ .
Перевірка: $x - y - 4 = 0$ і $2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ . $y = 33, 5$ , $x = 37, 5$ . Радіус буде великим. Перевіримо розрахунки ще раз.
Середина $M N$ : $(- 5, 5; - 1, 5)$ . $k_{M N} = \frac{- 3 - 10}{12 - ( - 1 )} = - 1$ . Рівняння: $y + 1, 5 = - (x + 5, 5) \Rightarrow y + 1, 5 = - x - 5, 5 \Rightarrow x + y + 7 = 0$ .
Середина $N K$ : $(1, 5; 9, 5)$ . $k_{N K} = \frac{9 - ( - 3 )}{4 - 12} = - 1, 5$ . Рівняння: $y - 9, 5 = \frac{2}{3} (x - 1, 5) \Rightarrow 3 (y - 9, 5) = 2 (x - 1, 5) \Rightarrow 3 y - 28, 5 = 2 x - 3 \Rightarrow 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ .
Система: ${x + y + 7 = 0 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ . $x = - y - 7$ . Підставимо: $2 (- y - 7) - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow - 2 y - 14 - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow - 5 y + 11, 5 = 0 \Rightarrow y = 2, 3$ .

Відповідь:

$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ ; $(x + 2, 3)^{2} + (y - 2, 3)^{2} = R^{2}$ .

Завдання 9.31

Зона поливу розприскувача

Садовий розприскувач знаходиться в точці $S (3; 2)$ і поливає рослини в радіусі $4$ м. Одиничний відрізок сітки — $1$ м.
1) Записати рівняння межі зони поливу.
2) Визначити, чи потрапляє кущ у точці $T (6; 5)$ в зону поливу.

Розв’язання

Центр кола $O (3; 2)$ , радіус $R = 4$ . Рівняння: $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4^{2}$ , тобто $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ .
Обчислимо відстань між точками $S (3; 2)$ та $T (6; 5)$ : $S T = (6 - 3)^{2} + (5 - 2)^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18$ .
Порівнюємо відстань з радіусом: $18 \approx 4, 24$ . Оскільки $4, 24 > 4$ , то точка $T$ знаходиться поза колом.

Відповідь:

1) $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ ; 2) Ні, кущ не потрапляє в зону поливу.