ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 116

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 9.9–9.19 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 9.9

Побудова кола за рівнянням

Побудувати коло, рівняння якого має вигляд $(x - 4)^{2} + y^{2} = 9$ .

Розв’язання

Рівняння $(x - 4)^{2} + (y - 0)^{2} = 3^{2}$ показує, що центр кола знаходиться в точці з координатами $(4; 0)$ , а радіус дорівнює $R = 9 = 3$ .
Для побудови відкладаємо на осі абсцис точку центру $O (4; 0)$ . Від неї вгору та вниз відкладаємо відрізок довжиною $3$ одиниці, щоб знайти точки перетину з площиною кола.

Відповідь:

Коло з центром у точці $(4; 0)$ і радіусом $3$ .

Завдання 9.10

Перевірка положень точок відносно кола

Коло задано рівнянням $(x + 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ . Потрібно визначити, які з точок $A (- 3; 0)$ , $B (- 5; - 2)$ , $C (1; 0)$ , $D (- 4; 3)$ , $E (- 7; - 3)$ , $F (- 9; 0)$ лежать: 1) на колі; 2) усередині кола; 3) поза колом.

Розв’язання

Центр кола $O (- 6; 1)$ , радіус $R = 10$ . Квадрат радіуса $R^{2} = 10$ .
Перевірка точок (обчислення $(x - (- 6))^{2} + (y - 1)^{2}$ ):
- Для точки $A (- 3; 0)$ : $(- 3 + 6)^{2} + (0 - 1)^{2} = 9 + 1 = 10$ . Оскільки $10 = R^{2}$ , точка $A$ лежить на колі.
- Для точки $B (- 5; - 2)$ : $(- 5 + 6)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 1 + 9 = 10$ . Точка $B$ лежить на колі.
- Для точки $C (1; 0)$ : $(1 + 6)^{2} + (0 - 1)^{2} = 49 + 1 = 50$ . Оскільки $50 > 10$ , точка $C$ поза колом.
- Для точки $D (- 4; 3)$ : $(- 4 + 6)^{2} + (3 - 1)^{2} = 4 + 4 = 8$ . Оскільки $8 < 10$ , точка $D$ усередині кола.
- Для точки $E (- 7; - 3)$ : $(- 7 + 6)^{2} + (- 3 - 1)^{2} = 1 + 16 = 17$ . Оскільки $17 > 10$ , точка $E$ поза колом.
- Для точки $F (- 9; 0)$ : $(- 9 + 6)^{2} + (0 - 1)^{2} = 9 + 1 = 10$ . Точка $F$ лежить на колі.

Відповідь:

На колі: $A, B, F$ ; усередині кола: $D$ ; поза колом: $C, E$ .

Завдання 9.11

Перевірка належності точок колу

Чи належить колу $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 100$ точка: 1) $A (8; - 8)$ ; 2) $B (6; - 9)$ ; 3) $C (- 3; 7)$ ; 4) $D (- 4; 6)$ ?

Розв’язання

Для точки $A (8; - 8)$ : $(8 - 2)^{2} + (- 8 + 2)^{2} = 6^{2} + (- 6)^{2} = 36 + 36 = 72$ . Оскільки $72 \neq = 100$ , точка $A$ не належить колу (вона всередині).
Для точки $B (6; - 9)$ : $(6 - 2)^{2} + (- 9 + 2)^{2} = 4^{2} + (- 7)^{2} = 16 + 49 = 65$ . Оскільки $65 \neq = 100$ , точка $B$ не належить колу (вона всередині).
Для точки $C (- 3; 7)$ : $(- 3 - 2)^{2} + (7 + 2)^{2} = (- 5)^{2} + 9^{2} = 25 + 81 = 106$ . Оскільки $106 \neq = 100$ , точка $C$ не належить колу (вона поза колом).
Для точки $D (- 4; 6)$ : $(- 4 - 2)^{2} + (6 + 2)^{2} = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ . Оскільки $100 = 100$ , точка $D$ належить колу.

Відповідь:

Точка, що належить колу — лише $D (- 4; 6)$ . Інші точки не належать колу.

Завдання 9.12

Знаходження точок на колі за координатами

Дано коло $x^{2} + y^{2} = 100$ . Потрібно знайти точки: 1) з абсцисою $6$ ; 2) з ординатою $9$ . Також визначити кількість спільних точок кола з осями координат і знайти їх.

Розв’язання

Знайдемо точку з абсцисою $6$ : підставляємо $x = 6$ у рівняння $x^{2} + y^{2} = 100$ , отримуємо $36 + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} = 64 \Rightarrow y = \pm 8$ . Точки: $(6; 8)$ і $(6; - 8)$ .
Знайдемо точку з ординатою $9$ : підставляємо $y = 9$ у рівняння $x^{2} + y^{2} = 100$ , отримуємо $x^{2} + 81 = 100 \Rightarrow x^{2} = 19 \Rightarrow x = \pm 19$ . Точки: $(19; 9)$ і $(- 19; 9)$ .
Знайдемо перетин з осями координат (підставляємо $x = 0$ або $y = 0$ ): $0 + y^{2} = 100 \Rightarrow y = \pm 10$ , отже точки $(0; 10)$ і $(0; - 10)$ . Аналогічно для осі абсцис: $x^{2} = 100 \Rightarrow x = \pm 10$ , отже точки $(10; 0)$ і $(- 10; 0)$ . Разом 4 спільні точки.

Відповідь:

Точки з абсцисою 6: $(6; 8), (6; - 8)$ ; точки з ординатою 9: $(19; 9), (- 19; 9)$ . Коло має 4 спільні точки з осями координат: $(0; 10), (0; - 10), (10; 0), (- 10; 0)$ .

Завдання 9.13

Перетин кола з осями координат

Дано коло $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 13$ . Потрібно перевірити, чи перетинає воно: 1) вісь абсцис; 2) вісь ординат. Якщо так — знайти координати точок перетину.

Розв’язання

Перевірка вісі абсцис ( $y = 0$ ): $(x - 4)^{2} + (0 + 3)^{2} = 13 \Rightarrow (x - 4)^{2} + 9 = 13 \Rightarrow (x - 4)^{2} = 4$ . Корені: $x - 4 = \pm 2$ , звідки $x = 6$ або $x = 2$ . Точки перетину існують.
Перевірка осі ординат ( $x = 0$ ): $(0 - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 13 \Rightarrow 16 + (y + 3)^{2} = 13 \Rightarrow (y + 3)^{2} = - 3$ . Оскільки квадрат числа не може бути від'ємним, рівняння не має дійсних коренів. Перетину з віссю ординат немає.

Відповідь:

Коло перетинає вісь абсцис у точках $(2; 0)$ і $(6; 0)$ . Коло не перетинає вісь ординат.

Завдання 9.14

Складання рівняння кола за центром і точкою на колі

Потрібно скласти рівняння кола, центр якого $M (- 3; 1)$ , а коло проходить через точку $K (- 1; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо квадрат радіуса $R^{2}$ як відстань між центром $M (- 3; 1)$ і точкою $K (- 1; 5)$ : $R^{2} = (- 1 - (- 3))^{2} + (5 - 1)^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$ .
Підставимо координати центра $(a = - 3, b = 1)$ та знайдене $R^{2} = 20$ у формулу рівняння кола: $(x - (- 3))^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .

Відповідь:

Рівняння кола має вигляд $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .

Завдання 9.15

Рівняння кола за центром і точкою на колі

Скласти рівняння кола із центром у точці $A (4; - 2)$ , яке проходить через точку $C (1; 0)$ .

Розв’язання

Обчислимо радіус $R$ як відстань між центром $A (4; - 2)$ і точкою $C (1; 0)$ за формулою відстані: $R = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} = (1 - 4)^{2} + (0 - (- 2))^{2} = (- 3)^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$ .
Підставимо координати центру $(a = 4, b = - 2)$ та значення $R^{2} = 13$ у стандартне рівняння кола: $(x - 4)^{2} + (y - (- 2))^{2} = 13$ .

Відповідь:

$(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 13$ .

Завдання 9.16

Заповнення таблиці властивостей кола

За даними координатах кінців діаметра знайти координати центра, радіус та рівняння кола для двох випадків: а) кінці $(6; - 1)$ і $(- 2; 3)$ ; б) кінці $(- 3; 7)$ і $(9; - 7)$ .

Розв’язання

Для першого випадку $(6; - 1)$ і $(- 2; 3)$ :
Центр: $x_{c} = \frac{6 + ( - 2 )}{2} = 2$ , $y_{c} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ . Радіус: $R = (6 - (- 2))^{2} + (- 1 - 3)^{2} /2 = 8^{2} + (- 4)^{2} /2 = 80 /2 = 20$ .
Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .
Для другого випадку $(- 3; 7)$ і $(9; - 7)$ :
Центр: $x_{c} = \frac{- 3 + 9}{2} = 3$ , $y_{c} = \frac{7 + ( - 7 )}{2} = 0$ . Радіус: $R = (9 - (- 3))^{2} + (- 7 - 7)^{2} /2 = 1 2^{2} + (- 14)^{2} /2 = 144 + 196 /2 = 340 /2 = 85$ .
Рівняння: $(x - 3)^{2} + y^{2} = 85$ .

Відповідь:

1) Центр $(2; 1)$ , радіус $20$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ ;
2) Центр $(3; 0)$ , радіус $85$ , рівняння $(x - 3)^{2} + y^{2} = 85$ .

Завдання 9.17

Рівняння кола за діаметром

Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок $A B$ , якщо $A (2; - 7)$ і $B (- 2; 3)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати центру $O (x_{0}; y_{0})$ як середину відрізка $A B$ : $x_{0} = \frac{2 + ( - 2 )}{2} = 0$ , $y_{0} = \frac{- 7 + 3}{2} = - 2$ . Центр $(0; - 2)$ .
Обчислимо довжину діаметра $d = A B = (- 2 - 2)^{2} + (3 - (- 7))^{2} = (- 4)^{2} + 1 0^{2} = 16 + 100 = 116$ .
Радіус $R = \frac{116}{2} = \frac{116}{4} = 29$ . Тоді $R^{2} = 29$ .
Запишемо рівняння кола: $(x - 0)^{2} + (y - (- 2))^{2} = 29$ , що спрощується до $x^{2} + (y + 2)^{2} = 29$ .

Відповідь:

$x^{2} + (y + 2)^{2} = 29$ .

Завдання 9.18

Доведення, що відрізок є діаметром кола

Довести, що відрізок $A B$ є діаметром кола $(x - 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 17$ , якщо $A (1; - 5)$ , $B (9; - 3)$ .

Розв’язання

З рівняння кола $(x - 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 17$ знаходимо центр $O (5; - 4)$ та радіус $R = 17$ .
Обчислюємо відстань від центра $O (5; - 4)$ до точки $A (1; - 5)$ за формулою: $(5 - 1)^{2} + (- 4 - (- 5))^{2} = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17$ .
Обчислюємо відстань від центра $O (5; - 4)$ до точки $B (9; - 3) : (9 - 5)^{2} + (- 3 - (- 4))^{2} = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17$ .

Відповідь:

Оскільки відстань від центра кола до точок $A$ і $B$ дорівнює радіусу ( $O A = O B = R = 17$ ), точка $A$ лежить на колі, а точка $B$ також лежить на колі. Отже, відрізок $A B$ є хордою довжиною $2 R$ , тобто діаметром кола.

Завдання 9.19

Доведення, що відрізок є хордою кола

Довести, що відрізок $C D$ є хордою кола $x^{2} + (y - 9)^{2} = 169$ , якщо координати кінців відрізка $C (5; - 3)$ та $D (- 12; 4)$ .

Розв’язання

Перевіримо належність точки $C (5; - 3)$ колу, підставивши її координати у рівняння $x^{2} + (y - 9)^{2} = 169$ :
$5^{2} + (- 3 - 9)^{2} = 25 + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169$ . Оскільки $169 = 169$ , точка $C$ належить колу.
Перевіримо належність точки $D (- 12; 4)$ колу:
$(- 12)^{2} + (4 - 9)^{2} = 144 + (- 5)^{2} = 144 + 25 = 169$ . Оскільки $169 = 169$ , точка $D$ також належить колу.

Відповідь:

Відрізок $C D$ є хордою кола, оскільки обидві його кінці $C (5; - 3)$ та $D (- 12; 4)$ належать цьому колу.