ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 115

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 9.6–9.8 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 9.6

Координати центра та радіус кола за графіком

Для чотирьох коло (а, б, в, г) на рисунку 9.6 визначити координати центра та радіус і записати рівняння кожного з них.

Розв’язання

Малюнок а: Центр у початку координат $(0; 0)$ , радіус $R = 3$ . Рівняння: $x^{2} + y^{2} = 9$ .
Малюнок б: Центр на осі $y$ у точці $(0; 1)$ , радіус $R = 1$ . Рівняння: $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ .
Малюнок в: Центр у точці $(- 3; 0)$ , радіус $R = 1$ . Рівняння: $(x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ .
Малюнок г: Центр у точці $(2; 3)$ , радіус $R = 2^{2} + 3^{2} = 13$ (або просто візуально — відстань до осей). Проте на малюнку видно, що коло проходить через початок координат і точки $(4; 0)$ та $(0; 6)$ . Тоді центр $C (2; 3)$ , радіус $R = (4 - 2)^{2} + (0 - 3)^{2} = 13$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ .

Відповідь:

а) Центр $(0; 0)$ , радіус $3$ , рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ ; б) Центр $(0; 1)$ , радіус $1$ , рівняння $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ; в) Центр $(- 3; 0)$ , радіус $1$ , рівняння $(x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ ; г) Центр $(2; 3)$ , радіус $13$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ .

Завдання 9.7

Складання рівняння кола за центром та радіусом

Радіус кола із центром у точці $A$ дорівнює $4$ . Для двох випадків (а, б) на рисунку 9.7 знайти координати точки $A$ і скласти рівняння кола.

Розв’язання

Малюнок а: Точка $A$ лежить на осі абсцис, відстань до початку координат дорівнює радіусу $4$ , але знаходиться зліва, отже $a = - 4$ . Координати центру $(- 4; 0)$ . Рівняння: $(x + 4)^{2} + y^{2} = 16$ .
Малюнок б: Точка $A$ має координати $(2; - 3)$ (відстань до осі $y$ — $2$ , до осі $x$ — $3$ вниз). Радіус $R = 4$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Відповідь:

а) Центр $(- 4; 0)$ , рівняння $(x + 4)^{2} + y^{2} = 16$ ; б) Центр $(2; - 3)$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Завдання 9.8

Побудова кола за рівнянням

Побудувати на координатній площині коло з рівняннями: 1) $x^{2} + y^{2} = 4$ ; 2) $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .

Розв’язання

Рівняння $x^{2} + y^{2} = 4$ : Центр у початку координат $(0; 0)$ , радіус $R = 4 = 2$ . Будуємо коло з центром в $(0; 0)$ , що проходить через точки $(2; 0), (- 2; 0), (0; 2), (0; - 2)$ .
Рівняння $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ : Центр у точці $(- 1; 2)$ , радіус $R = 25 = 5$ . Будуємо коло з центром в $(- 1; 2)$ , що проходить через точки $(4; 2), (- 6; 2), (- 1; 7), (- 1; - 3)$ .

Відповідь:

1) Коло з центром $(0; 0)$ та радіусом $2$ ; 2) Коло з центром $(- 1; 2)$ та радіусом $5$ .