ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 109

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 8.33–8.35 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 8.33

Відстані між точками на карті міста

Будинок Олени — $M (1; 1)$ , бібліотека — $A (3; 5)$ , кафе — $B (- 1; 2)$ .
1) Який об'єкт ближчий до будинку?
2) Знайти координати середини відрізка $M A$ (місце зустрічі).

Розв’язання

Знайдемо відстань $M A$ : $(3 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$ .
Знайдемо відстань $M B$ : $(- 1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} = (- 2)^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ .
Порівнюємо: $5 < 20$ , отже кафе ближче.
Знайдемо координати середини відрізка $M A$ : $x = \frac{1 + 3}{2} = 2$ , $y = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .

Відповідь:

1) Кафе; 2) $(2; 3)$ .

Завдання 8.34

Довжина медіани в прямокутному трикутнику

$△ A B C$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 9$ см, $B C = 3$ см. Точка $M$ на гіпотенузі $A B$ така, що $A M : M B = 1 : 2$ . Знайти $C M$ .

Розв’язання

Знайдемо $A C$ за теоремою Піфагора: $A C = A B^{2} - B C^{2} = 9^{2} - 3^{2} = 81 - 9 = 72 = 62$ .
Знайдемо довжину відрізка $A M$ : оскільки $A M : M B = 1 : 2$ , то $A M = \frac{1}{3} A B = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.
Порівнюємо $A C$ і $A M$ : $A C = 62 \approx 8, 48$ , $A M = 3$ . Це не медіана (катет $\neq =$ половина гіпотенузи). Треба розв'язувати через координати або властивість медіани.
Розмістимо $C (0; 0)$ , $A (62; 0)$ , $B (0; 3)$ . Точка $M$ ділить $A B$ у відношенні $1 : 2$ , рахуючи від $A$ .
Координати $M$ : $x_{M} = \frac{2 \cdot x _{A} + 1 \cdot x _{B}}{3} = \frac{2 \cdot 6 2 + 0}{3} = 42$ ; $y_{M} = \frac{2 \cdot y _{A} + 1 \cdot y _{B}}{3} = \frac{0 + 3}{3} = 1$ .
Точка $M (42; 1)$ .
Знайдемо $C M$ : $(42 - 0)^{2} + (1 - 0)^{2} = 32 + 1 = 33$ .

Відповідь:

$33$ см.

Завдання 8.35

Кути ромба за кутом між висотою та діагоналлю

Кут між висотою та діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює $2 8^{\circ}$ . Знайти кути ромба.

Розв’язання

Нехай кут між діагоналлю і висотою $∠ H A C = 2 8^{\circ}$ (або інший варіант, результат буде симетричним). Оскільки діагональ є бісектрисою, то $∠ B A C = 2 \cdot ∠ H A C$ — це не так, бо кут між висотою і діагоналлю не обов'язково половина.
Розглянемо трикутник $A B H$ ( $H$ — основа висоти на $B C$ ). Кут $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ .
У ромбі кути протилежні рівні, сумі сусідніх $18 0^{\circ}$ . Діагональ ділить кут навпіл.
Нехай кут між діагоналлю і висотою $α = 2 8^{\circ}$ .
У прямокутному трикутнику $A B H$ (де $A H ⊥ B C$ ) кут при вершині $B$ пов'язаний з кутом $B A H$ .
Кут $B A H = ∠ B A D /2$ ? Ні, діагональ $A C$ не проходить через $H$ .
Правильний підхід: У прямокутному трикутнику $A B H$ ( $A H ⊥ B C$ ) кут $∠ H A C$ — це різниця між кутом $A$ ромба і кутом бісектриси? Ні.
Розглянемо трикутник $A B C$ . $A C$ — діагональ, $A H$ — висота до $B C$ .
Кут $∠ C A H = 2 8^{\circ}$ . Оскільки $A B C D$ — ромб, то $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ .
У прямокутному трикутнику $A H C$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) кут $∠ A C H = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ .
Оскільки $A C$ — діагональ, вона ділить кут $C$ навпіл. Отже, весь кут $C = 2 \cdot 6 2^{\circ} = 12 4^{\circ}$ .
Тоді сусідній кут $B = 18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути ромба дорівнюють $5 6^{\circ}$ і $12 4^{\circ}$ .