ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 108

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 8.21–8.32 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 8.21

Точка, що ділить відрізок у відношенні

Знайдіть координати точки $P (x; y)$ , яка ділить відрізок $A B$ у відношенні $1 : 3$ , рахуючи від точки $A (5; - 3)$ до точки $B (- 3; 7)$ .

Розв’язання

Підставимо дані в формули для координат: $x = \frac{1 \cdot ( - 3 ) + 3 \cdot 5}{1 + 3}$ , $y = \frac{1 \cdot 7 + 3 \cdot ( - 3 )}{1 + 3}$ .
Обчислимо чисельники та знаменник: $x = \frac{- 3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$ , $y = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5$ .

Відповідь:

$(3; - 0, 5)$

Завдання 8.22

Знаходження вершини паралелограма

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм. Координати вершин: $A (- 5; 1)$ , $B (- 4; 4)$ , $C (- 1; 5)$ . Знайдіть координати вершини $D (x; y)$ .

Розв’язання

Обчислимо різницю координат між точками $A$ та $B$ : $Δ x = - 4 - (- 5) = 1$ , $Δ y = 4 - 1 = 3$ .
Додамо ці зміни до координат точки $C$ : $x_{D} = - 1 + 1 = 0$ , $y_{D} = 5 + 3 = 8$ .

Відповідь:

$(0; 8)$

Завдання 8.23

Знаходження вершини паралелограма

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм. Координати вершин: $A (- 2; - 2)$ , $C (4; 1)$ , $D (- 1; 1)$ . Знайдіть координати вершини $B (x; y)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини діагоналі $A C$ : $x_{M} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ , $y_{M} = \frac{- 2 + 1}{2} = - 0, 5$ .
Середина відрізка $B D$ має ті самі координати: $\frac{x _{B} + ( - 1 )}{2} = 1$ та $\frac{y _{B} + 1}{2} = - 0, 5$ .
Розв'яжемо рівняння для $x_{B}$ : $x_{B} - 1 = 2 \Rightarrow x_{B} = 3$ . Для $y_{B}$ : $y_{B} + 1 = - 1 \Rightarrow y_{B} = - 2$ .

Відповідь:

$(3; - 2)$

Завдання 8.24

Доведення паралелограма за діагоналями

Чотирикутник $A B C D$ має вершини в точках $A (- 2; 8)$ , $B (3; - 3)$ , $C (6; 2)$ і $D (1; 13)$ . Потрібно довести, що це паралелограм.

Розв’язання

Знайдемо координати середини діагоналі $A C$ :
$x_{M} = \frac{- 2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ,
$y_{M} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Середина $A C$ — точка $(2; 5)$ .
Знайдемо координати середини діагоналі $B D$ :
$x_{N} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ,
$y_{N} = \frac{- 3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Середина $B D$ — точка $(2; 5)$ .

Відповідь:

Оскільки середини діагоналей збігаються в одній точці $(2; 5)$ , чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.

Завдання 8.25

Доведення ромба за діагоналями

Чотирикутник $A B C D$ має вершини в точках $A (- 3; - 2)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (1; - 2)$ і $D (- 1; - 6)$ . Потрібно довести, що це ромб.

Розв’язання

Перевіримо середини діагоналей (центр):
Середина $A C$ : $(\frac{- 3 + 1}{2}; \frac{- 2 - 2}{2}) = (- 1; - 2)$ .
Середина $B D$ : $(\frac{- 1 - 1}{2}; \frac{2 - 6}{2}) = (- 1; - 2)$ .
Діагоналі ділять одна одну навпіл.
Перевіримо перпендикулярність діагоналей:
Кутовий коефіцієнт прямої $A C$ ( $k_{1}$ ): $\frac{- 2 - ( - 2 )}{1 - ( - 3 )} = \frac{0}{4} = 0$ . Прямі паралельна осі $O x$ .
Кутовий коефіцієнт прямої $B D$ ( $k_{2}$ ): $\frac{- 6 - 2}{- 1 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{0}$ (невизначений). Прямі перпендикулярна до осі $O x$ (паралельна осі $O y$ ).
Оскільки одна пряма горизонтальна, а інша вертикальна, вони перпендикулярні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є ромбом, оскільки діагоналі перетинаються в одній точці і перпендикулярні до одна одної.

Завдання 8.26

Доведення квадрата за діагоналями

Чотирикутник $A B C D$ має вершини в точках $A (- 2; 6)$ , $B (- 8; - 2)$ , $C (0; - 8)$ і $D (6; 0)$ . Потрібно довести, що це квадрат.

Розв’язання

Знайдемо довжину діагоналі $A C$ :
$A C = (0 - (- 2))^{2} + (- 8 - 6)^{2} = 2^{2} + (- 14)^{2} = 4 + 196 = 200$ .
Знайдемо довжину діагоналі $B D$ :
$B D = (6 - (- 8))^{2} + (0 - (- 2))^{2} = 1 4^{2} + 2^{2} = 196 + 4 = 200$ .
Діагоналі рівні.
Перевіримо перпендикулярність (як у завданні 8.25):
Кутовий коефіцієнт $A C$ : $\frac{- 8 - 6}{0 - ( - 2 )} = \frac{- 14}{2} = - 7$ .
Кутовий коефіцієнт $B D$ : $\frac{0 - ( - 2 )}{6 - ( - 8 )} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ .
Добуток коефіцієнтів: $- 7 \cdot \frac{1}{7} = - 1$ , отже, прями перпендикулярні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є квадратом, оскільки діагоналі рівні ( $A C = B D = 200$ ) і перпендикулярні.

Завдання 8.27

Знаходження вершин трикутника за серединами сторін

Точки $D (1; 4)$ і $E (2; 2)$ — середини сторін $A C$ і $B C$ відповідно. Вершина $B$ має координати $(- 3; - 1)$ . Потрібно знайти координати вершин $A$ та $C$ .

Розв’язання

Позначимо координати вершини $A$ як $(x_{A}; y_{A})$ , а вершини $C$ як $(x_{C}; y_{C})$ .
Для відрізка $A C$ : точка $D (1; 4)$ є серединою. Отже, $\frac{x _{A} + x _{C}}{2} = 1$ і $\frac{y _{A} + y _{C}}{2} = 4$ . Звідси отримуємо систему: $x_{A} + x_{C} = 2$ , $y_{A} + y_{C} = 8$ .
Для відрізка $B C$ : точка $E (2; 2)$ є серединою, а кінці — $B (- 3; - 1)$ і $C (x_{C}; y_{C})$ . Отже, $\frac{- 3 + x _{C}}{2} = 2$ і $\frac{- 1 + y _{C}}{2} = 2$ .
Розв'яжемо рівняння для $x_{C}$ : $- 3 + x_{C} = 4 \Rightarrow x_{C} = 7$ . Для $y_{C}$ : $- 1 + y_{C} = 4 \Rightarrow y_{C} = 5$ . Точка $C (7; 5)$ .
Підставимо знайдене $x_{C} = 7$ у рівняння для $A$ : $x_{A} + 7 = 2 \Rightarrow x_{A} = - 5$ . Для $y_{A}$ : $y_{A} + 5 = 8 \Rightarrow y_{A} = 3$ . Точка $A (- 5; 3)$ .

Відповідь:

Вершина $A (- 5; 3)$ , вершина $C (7; 5)$ .

Завдання 8.28

Довжина відрізка з серединою на осях координат

Кінці відрізка належать осям координат, а його серединою є точка $M (- 3; 8)$ . Потрібно знайти довжину цього відрізка.

Розв’язання

Нехай один кінець відрізка — точка $P (x; 0)$ на осі $O x$ , а інший — точка $Q (0; y)$ на осі $O y$ .
Координати середини $M (- 3; 8)$ дають рівняння: $\frac{x + 0}{2} = - 3$ і $\frac{0 + y}{2} = 8$ .
З першого рівняння: $x = - 6$ . З другого: $y = 16$ . Кінці відрізка: $P (- 6; 0)$ і $Q (0; 16)$ .
Обчислимо відстань між точками $P$ і $Q$ за формулою $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .
Підставимо значення: $d = (0 - (- 6))^{2} + (16 - 0)^{2} = 6^{2} + 1 6^{2} = 36 + 256 = 292$ .
Спростимо корінь: $292 = 4 \cdot 73 = 273$ .

Відповідь:

$273$ .

Завдання 8.29

Знаходження третьої вершини рівностороннього трикутника

Дано дві вершини рівностороннього трикутника $A B C$ : $A (2; - 3)$ і $B (- 2; 3)$ . Потрібно знайти координати третьої вершини $C (x; y)$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ : $A B = (- 2 - 2)^{2} + (3 - (- 3))^{2} = (- 4)^{2} + 6^{2} = 16 + 36 = 52$ .
Запишемо вирази для $A C$ і $B C$ : $A C^{2} = (x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} = (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2}$ , $B C^{2} = (x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2}$ .
Оскільки трикутник рівносторонній, то $A C^{2} = B C^{2}$ . Прирівняємо квадрати відстаней: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2}$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 6 y + 9 = x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ . Скорочуємо однакові доданки і отримуємо: $- 4 x + 6 y = 4 x - 6 y \Rightarrow 8 x - 12 y = 0 \Rightarrow 2 x = 3 y \Rightarrow x = 1, 5 y$ .
Тепер використаємо умову $A C^{2} = A B^{2}$ (або $B C^{2} = A B^{2}$ ). Підставимо $x = 1, 5 y$ у вираз для $A C^{2}$ : $(1, 5 y - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 52$ .
Розкриємо дужки: $2, 25 y^{2} - 6 y + 4 + y^{2} + 6 y + 9 = 52 \Rightarrow 3, 25 y^{2} + 13 = 52 \Rightarrow 3, 25 y^{2} = 39$ .
Знайдемо $y$ : $y^{2} = \frac{39}{3 , 25} = \frac{3900}{325} = 12$ . Отже, $y = 12$ або $y = - 12$ .
Знайдемо відповідні значення $x$ : якщо $y = 12$ , то $x = 1, 512 = \frac{3}{2} 12 = \frac{3}{2} \cdot 23 = 33$ . Якщо $y = - 12$ , то $x = - 33$ .
Перевіримо, чи не є точка $C$ на прямій $A B$ . Прямі $A B$ проходить через середину відрізка $A B$ , який має координати $(0; 0)$ . Точки $C (33; 12)$ та $(- 33; - 12)$ не лежать на цій прямій, тому обидва варіанти є правильними.

Відповідь:

Координати вершини $C$ : $(33; 23)$ або $(- 33; - 23)$ . (Примітка: $12 = 23$ ).

Завдання 8.30

Вершина рівностороннього трикутника

Знайти координати вершини $E$ рівностороннього трикутника $D E F$ , якщо $D (- 6; 0)$ і $F (2; 0)$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $D F$ : $∣2 - (- 6) ∣ = 8$ . Оскільки трикутник рівносторонній, то $D E = E F = D F = 8$ .
Координати середини відрізка $D F$ (точка $K$ ): $x_{K} = \frac{- 6 + 2}{2} = - 2$ , $y_{K} = 0$ . Точка $E$ має координати $(- 2; y)$ .
Знайдемо висоту трикутника за теоремою Піфагора в трикутнику $D K E$ : $D E^{2} = D K^{2} + K E^{2} \Rightarrow 8^{2} = 4^{2} + y^{2} \Rightarrow 64 = 16 + y^{2} \Rightarrow y^{2} = 48$ .
Знайдемо значення $y$ : $y = 48 = 43$ . Точка $E$ може бути вище або нижче осі $x$ , тому є дві відповіді.

Відповідь:

$E (- 2; 43)$ або $E (- 2; - 43)$ .

Завдання 8.31

Знаходження координат точки за умовою рівності відрізків

Відомо, що $A B = B C$ , точка $A (5; 9)$ , точка $C (1; - 3)$ . Модулі координат точки $B$ рівні ( $∣ x_{B} ∣ = ∣ y_{B} ∣$ ). Знайти координати точки $B$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину відрізка $A C$ : $A C = (5 - 1)^{2} + (9 - (- 3))^{2} = 4^{2} + 1 2^{2} = 16 + 144 = 160 = 410$ .
Оскільки $A B = B C$ , то $B$ — середина відрізка, що дорівнює половині $A C$ , або $B$ лежить на серединному перпендикулярі. Але умова $A B = B C$ означає, що $B$ лежить на серединному перпендикулярі до $A C$ .
Знайдемо рівняння прямої $A C$ : кутовий коефіцієнт $k_{A C} = \frac{9 - ( - 3 )}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$ . Рівняння: $y - 9 = 3 (x - 5) \Rightarrow y = 3 x - 6$ .
Знайдемо рівняння серединного перпендикуляра: проходить через середину $A C (3; 3)$ і має кутовий коефіцієнт $- 1/3$ . Рівняння: $y - 3 = - \frac{1}{3} (x - 3) \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x + 4$ .
Знайдемо точки перетину серединного перпендикуляра з прямими $y = x$ та $y = - x$ :
а) Перетин з $y = x$ : $x = - \frac{1}{3} x + 4 \Rightarrow \frac{4}{3} x = 4 \Rightarrow x = 3, y = 3$ . Точка $(3; 3)$ — це середина відрізка $A C$ , але для неї $A B = 0 \neq = B C$ (якщо $B$ збігається з серединою, то $A B = B C$ , але зазвичай шукають іншу точку). Перевіримо: якщо $B (3; 3)$ , то $A (5; 9), C (1; - 3)$ . $A B = 2^{2} + 6^{2} = 40$ , $B C = (- 2)^{2} + (- 6)^{2} = 40$ . Це підходить.
б) Перетин з $y = - x$ : $- x = - \frac{1}{3} x + 4 \Rightarrow - \frac{2}{3} x = 4 \Rightarrow x = - 6, y = 6$ . Точка $(- 6; 6)$ .

Відповідь:

$B (3; 3)$ або $B (- 6; 6)$ .

Завдання 8.32

Відстань між об'єктами на плані парку

На плані парку точки: $A (0; 0)$ — вхід до парку, $B (6; 4)$ — фонтан, $C (18; 9)$ — вхід на дитячий майданчик. Масштаб: 1 одиничний відрізок = 5 м. Знайти відстань: 1) від входу до фонтана ( $A B$ ); 2) від фонтана до дитячого майданчика ( $B C$ ).

Розв’язання

Знайдемо відстань $A B$ : $(6 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 36 + 16 = 52 \approx 7, 21$ одиничних відрізків.
Переведемо в метри: $7, 21 \times 5 \approx 36, 05$ м. (Точніше $52 \cdot 5 = 213 \cdot 5 = 1013$ ).
Знайдемо відстань $B C$ : $(18 - 6)^{2} + (9 - 4)^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ одиничних відрізків.
Переведемо в метри: $13 \times 5 = 65$ м.

Відповідь:

1) приблизно 36,1 м; 2) 65 м.