ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 107

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 8.9–8.20 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 8.9

Знаходження координат точки за умовою середини відрізка

Точка $C$ — середина відрізка $A B$ . Знайти координати точки $B$ , якщо:
1) $A (3; - 4)$ , $C (2; 1)$ ;
2) $A (- 1; 1)$ , $C (0, 5; - 1)$ .

Розв’язання

Для пункту 1):
Знайдемо абсцису точки $B$ : $x_{B} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$ .
Знайдемо ординату точки $B$ : $y_{B} = 2 \cdot 1 - (- 4) = 2 + 4 = 6$ .
Отже, $B (1; 6)$ .
Для пункту 2):
Знайдемо абсцису точки $B$ : $x_{B} = 2 \cdot 0, 5 - (- 1) = 1 + 1 = 2$ .
Знайдемо ординату точки $B$ : $y_{B} = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 2 - 1 = - 3$ .
Отже, $B (2; - 3)$ .

Відповідь:

1) $B (1; 6)$ ; 2) $B (2; - 3)$ .

Завдання 8.10

Заповнення таблиці координат середин відрізків

Точка $K$ — середина відрізка $A D$ . Потрібно знайти пропущені значення в таблиці для трьох випадків, використовуючи координати точок $A$ , $D$ і $K$ .

Розв’язання

Перший стовпчик (відомі $A$ і $D$ , треба знайти $K$ ):
$x_{K} = \frac{- 3 + ( - 1 )}{2} = - 2$ .
$y_{K} = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ .
Відповідь для першого стовпчика: $(- 2; - 1)$ .
Другий стовпчик (відомі $A$ і $K$ , треба знайти $D$ ):
$x_{D} = 2 \cdot x_{K} - x_{A} = 2 \cdot (- 4) - (- 8) = - 8 + 8 = 0$ .
$y_{D} = 2 \cdot y_{K} - y_{A} = 2 \cdot 6 - 1 = 12 - 1 = 11$ .
Відповідь для другого стовпчика: $(0; 11)$ .
Третій стовпчик (відомі $D$ і $K$ , треба знайти $A$ ):
$x_{A} = 2 \cdot x_{K} - x_{D} = 2 \cdot 1 - (- 9) = 2 + 9 = 11$ .
$y_{A} = 2 \cdot y_{K} - y_{D} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$ .
Відповідь для третього стовпчика: $(11; 2)$ .

Відповідь:

Перший пропуск (координати $K$ ): $(- 2; - 1)$ ; другий пропуск (координати $D$ ): $(0; 11)$ ; третій пропуск (координати $A$ ): $(11; 2)$ .

Завдання 8.11

Знаходження довжини медіани трикутника

Вершинами трикутника є точки $A (3; - 2)$ , $B (2; 3)$ і $C (7; 4)$ . Медіана проведена з вершини $B$ до середини сторони $A C$ (точка $M$ ). Знайти довжину відрізка $B M$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини $M$ сторони $A C$ :
$x_{M} = \frac{3 + 7}{2} = 5$ .
$y_{M} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ .
Точка $M (5; 1)$ .
Знайдемо довжину медіани $B M$ , де $B (2; 3)$ і $M (5; 1)$ :
$B M = (5 - 2)^{2} + (1 - 3)^{2} = 3^{2} + (- 2)^{2} = 9 + 4 = 13$ .

Відповідь:

$13$ .

Завдання 8.12

Відстань від початку координат до середини відрізка

Дано точки $A (- 2; 4)$ і $B (2; - 8)$ . Знайти відстань від початку координат до середини відрізка $A B$ .

Розв’язання

Координати середини $M$ знаходимо як середнє арифметичне відповідних координат точок $A$ і $B$ :
$x_{M} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ , $y_{M} = \frac{4 + ( - 8 )}{2} = - 2$ . Отже, $M (0; - 2)$ .
Відстань від початку координат $O (0; 0)$ до точки $M (0; - 2)$ обчислюємо за формулою:
$d = (0 - 0)^{2} + (- 2 - 0)^{2} = 0 + 4 = 2$ .

Відповідь:

Завдання 8.13

Доведення прямокутності трикутника

Вершини трикутника $A (2; 7)$ , $B (- 1; 4)$ і $C (1; 2)$ . Довести, що трикутник є прямокутним. Вказати використану теорему (Піфагора чи обернену).

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін за формулою відстані:
$A B = (- 1 - 2)^{2} + (4 - 7)^{2} = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18$ .
$B C = (1 - (- 1))^{2} + (2 - 4)^{2} = 2^{2} + (- 2)^{2} = 4 + 4 = 8$ .
$A C = (1 - 2)^{2} + (2 - 7)^{2} = (- 1)^{2} + (- 5)^{2} = 1 + 25 = 26$ .
Порівняємо квадрати сторін: $A B^{2} = 18$ , $B C^{2} = 8$ , $A C^{2} = 26$ .
Перевіряємо рівність: $A B^{2} + B C^{2} = 18 + 8 = 26$ . Оскільки $26 = A C^{2}$ , то сума квадратів двох менших сторін дорівнює квадрату найбільшої сторони.

Відповідь:

Трикутник є прямокутним, оскільки $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ . Застосована обернена теорема Піфагора.

Завдання 8.14

Перевірка можливості існування прямокутного трикутника

Вершинами прямокутного трикутника є точки $A (- 1; 2)$ і $B (7; 4)$ . Чи можуть третіми вершинами бути точки з координатами: 1) $(7; 2)$ ; 2) $(2; - 3)$ ?

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ :
$A B = (7 - (- 1))^{2} + (4 - 2)^{2} = 8^{2} + 2^{2} = 64 + 4 = 68$ .
Перевіряємо перший варіант $C_{1} (7; 2)$ :
$A C_{1} = (7 - (- 1))^{2} + (2 - 2)^{2} = 8^{2} + 0 = 8$ .
$B C_{1} = (7 - 7)^{2} + (2 - 4)^{2} = 0 + (- 2)^{2} = 2$ .
Перевіряємо: $A C_{1}^{2} + B C_{1}^{2} = 64 + 4 = 68$ . Оскільки $A B^{2} = 68$ , то трикутник прямокутний.
Перевіряємо другий варіант $C_{2} (2; - 3)$ :
$A C_{2} = (2 - (- 1))^{2} + (- 3 - 2)^{2} = 3^{2} + (- 5)^{2} = 9 + 25 = 34$ .
$B C_{2} = (2 - 7)^{2} + (- 3 - 4)^{2} = (- 5)^{2} + (- 7)^{2} = 25 + 49 = 74$ .
Перевіряємо: $A C_{2}^{2} + B C_{2}^{2} = 34 + 74 = 108$ , що не дорівнює $A B^{2} = 68$ . Також жодна пара сторін не дає суму квадратів, рівну квадрату третьої ( $34 + 68 \neq = 74$ ).

Відповідь:

1) Так, може; 2) Ні, не може.

Завдання 8.15

Перевірка колінеарності трьох точок

1) Точки $A (- 2; - 7)$ , $B (- 1; - 4)$ і $C (5; 14)$ .
2) Точки $D (- 1; 3)$ , $E (2; 13)$ і $F (5; 21)$ .
Потрібно перевірити, чи лежать вони на одній прямій. Якщо так — визначити порядок точок.

Розв’язання

Знайдемо відстань $A B$ : $(- 1 - (- 2))^{2} + (- 4 - (- 7))^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$ .
Знайдемо відстань $B C$ : $(5 - (- 1))^{2} + (14 - (- 4))^{2} = 6^{2} + 1 8^{2} = 36 + 324 = 360 = 610$ .
Знайдемо відстань $A C$ : $(5 - (- 2))^{2} + (14 - (- 7))^{2} = 7^{2} + 2 1^{2} = 49 + 441 = 490 = 710$ .
Оскільки $10 + 610 = 710$ , то точки лежать на одній прямій у порядку $A, B, C$ .
Знайдемо відстань $D E$ : $(2 - (- 1))^{2} + (13 - 3)^{2} = 3^{2} + 1 0^{2} = 9 + 100 = 109$ .
Знайдемо відстань $E F$ : $(5 - 2)^{2} + (21 - 13)^{2} = 3^{2} + 8^{2} = 9 + 64 = 73$ .
Знайдемо відстань $D F$ : $(5 - (- 1))^{2} + (21 - 3)^{2} = 6^{2} + 1 8^{2} = 36 + 324 = 360 = 610$ .
Порівнюємо: $109 + 73 \neq = 610$ (або перевіряємо коефіцієнти кута нахилу). Точки не лежать на одній прямій.

Відповідь:

1) Так, точки $A, B, C$ лежать на одній прямі; точка $B$ лежить між $A$ і $C$ .
2) Ні, точки $D, E, F$ не лежать на одній прямій.

Завдання 8.16

Доведення колінеарності та визначення середини відрізку

Точки $M (- 4; 5)$ , $N (- 10; 7)$ і $K (8; 1)$ .
Потрібно довести, що вони лежать на одній прямій, і вказати, яка точка знаходиться між іншими.

Розв’язання

Знайдемо відстань $M N$ : $(- 10 - (- 4))^{2} + (7 - 5)^{2} = (- 6)^{2} + 2^{2} = 36 + 4 = 40 = 210$ .
Знайдемо відстань $N K$ : $(8 - (- 10))^{2} + (1 - 7)^{2} = 1 8^{2} + (- 6)^{2} = 324 + 36 = 360 = 610$ .
Знайдемо відстань $M K$ : $(8 - (- 4))^{2} + (1 - 5)^{2} = 1 2^{2} + (- 4)^{2} = 144 + 16 = 160 = 410$ .
Оскільки $M N + M K = 210 + 410 = 610 = N K$ , точки лежать на одній прямій, а точка $M$ лежить між $K$ і $N$ .

Відповідь:

Точки $M, N, K$ лежать на одній прямій; точка $M$ знаходиться між точками $K$ і $N$ .

Завдання 8.17

Знаходження невідомої координати за відстанню

Точки $C (3; 2)$ і $D (x; - 1)$ . Відстань між ними дорівнює $5$ .
Потрібно знайти значення $x$ .

Розв’язання

Запишемо рівняння відстані: $(x - 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 5$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату: $(x - 3)^{2} + (- 3)^{2} = 25$ .
Спростимо рівняння: $(x - 3)^{2} + 9 = 25 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 16$ .
Знайдемо корені: $x - 3 = 4$ або $x - 3 = - 4$ .
Розв'яжемо рівняння: $x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 1$ .

Відповідь:

Значення $x$ дорівнює $7$ або $- 1$ .

Завдання 8.18

Знаходження невідомої координати за відстанню

При якому значенні $y$ відстань між точками $M (- 2; y)$ і $K (6; - 4)$ дорівнює 10?

Розв’язання

Запишемо рівняння для відстані між точками $M$ і $K$ : $(6 - (- 2))^{2} + (- 4 - y)^{2} = 10$ .
Спростимо вираз під коренем: $8^{2} + (- 4 - y)^{2} = 10$ , тобто $64 + (y + 4)^{2} = 10$ .
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, щоб позбутися кореня: $64 + (y + 4)^{2} = 100$ .
Перенесемо число 64 в праву частину: $(y + 4)^{2} = 36$ .
Знайдемо значення виразу в дужках, враховуючи, що квадрат числа може бути додатним або від'ємним ( $\pm$ ): $y + 4 = \pm 6$ .
Розв'яжемо дві рівняння: $y_{1} = - 6 - 4 = - 10$ і $y_{2} = 6 - 4 = 2$ .

Відповідь:

$y = - 10$ або $y = 2$ .

Завдання 8.19

Знаходження точки на осі абсцис за умовою рівновіддаленості

На осі абсцис знайдіть точку, яка рівновіддалена від точок $A (- 1; - 1)$ і $B (2; 4)$ .

Розв’язання

Позначимо координати шуканої точки як $P (x; 0)$ . Відстань $P A = P B$ , тому $P A^{2} = P B^{2}$ .
Запишемо рівняння за формулою відстані: $(x - (- 1))^{2} + (0 - (- 1))^{2} = (x - 2)^{2} + (0 - 4)^{2}$ .
Спростимо вирази: $(x + 1)^{2} + 1 = (x - 2)^{2} + 16$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} + 2 x + 1 + 1 = x^{2} - 4 x + 4 + 16$ .
Скоротимо $x^{2}$ і перенесемо всі доданки в ліву частину: $2 x + 2 = - 4 x + 20 \Rightarrow 6 x = 18$ .
Знайдемо $x$ : $x = 3$ . Отже, точка має координати $(3; 0)$ .

Відповідь:

Точка з координатами $(3; 0)$ .

Завдання 8.20

Знаходження точки на осі ординат за умовою рівновіддаленості

Знайдіть координати точки, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок $D (- 2; - 3)$ і $E (4; 1)$ .

Розв’язання

Позначимо координати шуканої точки як $Q (0; y)$ . Відстань $Q D = QE$ , тому $Q D^{2} = Q E^{2}$ .
Запишемо рівняння за формулою відстані: $(0 - (- 2))^{2} + (y - (- 3))^{2} = (0 - 4)^{2} + (y - 1)^{2}$ .
Спростимо вирази: $2^{2} + (y + 3)^{2} = (- 4)^{2} + (y - 1)^{2} \Rightarrow 4 + (y + 3)^{2} = 16 + (y - 1)^{2}$ .
Розкриємо дужки: $4 + y^{2} + 6 y + 9 = 16 + y^{2} - 2 y + 1$ .
Скоротимо $y^{2}$ і перенесемо всі доданки в ліву частину: $6 y + 13 = 17 - 2 y \Rightarrow 8 y = 4$ .
Знайдемо $y$ : $y = 0, 5$ . Отже, точка має координати $(0; 0, 5)$ .

Відповідь:

Точка з координатами $(0; 0, 5)$ .