ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 106

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 8.1

Відстань до початку координат

Знайти відстань $d$ від початку координат $O (0; 0)$ до точок: 1) $A (0; 2)$ ; 2) $B (15; 8)$ ; 3) $C (- 1; 2)$ .

Розв’язання

Для точки $A (0; 2)$ підставимо координати у формулу: $d = 0^{2} + 2^{2} = 4 = 2$ .
Для точки $B (15; 8)$ обчислимо: $d = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ .
Для точки $C (- 1; 2)$ знайдемо: $d = (- 1)^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ .

Відповідь:

1) $2$ ; 2) $17$ ; 3) $5$ .

Доведення рівнобедреності трикутника

Вершинами трикутника є точки $A (- 1; 3)$ , $B (5; 9)$ , $C (6; 2)$ . Потрібно довести, що $△ A B C$ — рівнобедрений.

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ : $A B = (5 - (- 1))^{2} + (9 - 3)^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 36 + 36 = 72$ .
Знайдемо довжину сторони $B C$ : $B C = (6 - 5)^{2} + (2 - 9)^{2} = 1^{2} + (- 7)^{2} = 1 + 49 = 50$ .
Знайдемо довжину сторони $A C$ : $A C = (6 - (- 1))^{2} + (2 - 3)^{2} = 7^{2} + (- 1)^{2} = 49 + 1 = 50$ .
Порівнюємо отримані значення: $B C = A C = 50$ , а $A B = 72$ . Оскільки дві сторони рівні, трикутник є рівнобедреним.

Відповідь:

$△ A B C$ — рівнобедрений ( $A C = B C$ ).

Доведення центру описаного кола

Точка $M (0; - 1)$ має бути центром кола, описаного навколо трикутника $A B C$ , де вершини $A (6; - 9)$ , $B (- 6; 7)$ , $C (8; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо відстань $M A$ : $M A = (6 - 0)^{2} + (- 9 - (- 1))^{2} = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
Знайдемо відстань $M B$ : $M B = (- 6 - 0)^{2} + (7 - (- 1))^{2} = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
Знайдемо відстань $M C$ : $M C = (8 - 0)^{2} + (5 - (- 1))^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ .
Порівнюємо результати: $M A = M B = M C = 10$ . Отже, точка $M$ рівновіддалена від вершин трикутника.

Відповідь:

Точка $M (0; - 1)$ є центром описаного кола (радіус $R = 10$ ).

Доведення рівності кутів трикутника

Вершинами трикутника $A B C$ є точки $A (5; - 7)$ , $B (- 3; 8)$ , $C (- 10; - 15)$ . Потрібно довести, що кути $∠ B$ та $∠ C$ рівні.

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ : $A B = (- 3 - 5)^{2} + (8 - (- 7))^{2} = (- 8)^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ .
Знайдемо довжину сторони $A C$ : $A C = (- 10 - 5)^{2} + (- 15 - (- 7))^{2} = (- 15)^{2} + (- 8)^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ .
Знайдемо довжину сторони $B C$ для порівняння (не обов'язково, але корисно): $B C = (- 10 - (- 3))^{2} + (- 15 - 8)^{2} = (- 7)^{2} + (- 23)^{2} = 49 + 529 = 578$ .
Порівнюємо сторони $A B$ та $A C$ : отримали $A B = A C = 17$ . Трикутник рівнобедрений, тому кути при основі $∠ B$ і $∠ C$ рівні.

Відповідь:

Кути $∠ B$ і $∠ C$ рівні (оскільки $A B = A C$ ).

Координати середини відрізків

Дано точки $O (0; 0)$ , $M (10; 4)$ , $K (6; - 8)$ . Знайти координати середини відрізків: 1) $O M$ ; 2) $O K$ .

Розв’язання

Для відрізка $O M$ ( $O (0; 0)$ , $M (10; 4)$ ):
$x_{M} = \frac{0 + 10}{2} = 5$ , $y_{M} = \frac{0 + 4}{2} = 2$ . Середина — точка $(5; 2)$ .
Для відрізка $O K$ ( $O (0; 0)$ , $K (6; - 8)$ ):
$x_{K} = \frac{0 + 6}{2} = 3$ , $y_{K} = \frac{0 + ( - 8 )}{2} = - 4$ . Середина — точка $(3; - 4)$ .

Відповідь:

1) $(5; 2)$ ; 2) $(3; - 4)$ .

Координати середини відрізка BC

Знайти координати середини відрізка $B C$ , якщо:
1) $B (5; 4)$ , $C (3; 2)$ ;
2) $B (- 2; - 1)$ , $C (- 1; 7)$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $B (5; 4)$ , $C (3; 2)$ ):
$x = \frac{5 + 3}{2} = 4$ , $y = \frac{4 + 2}{2} = 3$ . Середина — точка $(4; 3)$ .
Для пункту 2 ( $B (- 2; - 1)$ , $C (- 1; 7)$ ):
$x = \frac{- 2 + ( - 1 )}{2} = - 1, 5$ , $y = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ . Середина — точка $(- 1, 5; 3)$ .

Відповідь:

1) $(4; 3)$ ; 2) $(- 1, 5; 3)$ .