Завдання 2.48, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.48

Бісектриса найбільшого кута

Сторони трикутника дорівнюють $12 см$ , $15 см$ і $18 см$ . Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого кута.

Розв’язання

Найбільша сторона $A C = 18 см$ . Бісектриса $B L$ ділить її на відрізки $A L$ і $L C$ , такі що $\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .
Знайдемо довжини частин: $A L + L C = 18$ . З рівняння $\frac{A L}{18 - A L} = \frac{4}{5}$ отримуємо $5 A L = 72 - 4 A L$ , звідки $9 A L = 72$ , тобто $A L = 8 см$ , а $L C = 10 см$ .
За формулою бісектриси: $\frac{1}{B L ^{2}} = \frac{1}{12 \cdot 8} + \frac{1}{15 \cdot 10} = \frac{1}{96} + \frac{1}{150}$ .
Спростимо дріб: $\frac{1}{B L ^{2}} = \frac{25}{2400} + \frac{16}{2400} = \frac{41}{2400}$ . Тоді $B L^{2} = \frac{2400}{41}$ , отже $B L = \frac{2400}{41} = 20 \frac{6}{41} см$ .

Відповідь:

$20 \frac{6}{41} см$

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.48 с. 27

Бісектриса найбільшого кута

Умова

Що треба знати

Бісектриса $B L$ трикутника $A B C$ , що ділить сторону $A C$ на відрізки $A L$ і $L C$ , пов'язана сторонами за формулою: $\frac{1}{B L ^{2}} = \frac{1}{A B \cdot A L} + \frac{1}{B C \cdot L C}$ . Також бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні сусіднім сторонам.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку визначте, яка сторона є найбільшою (вона лежить проти найбільшого кута). Знайдіть довжини відрізків, на які бісектриса ділить цю сторону, використовуючи властивість бісектриси.

Розв’язання крок за кроком

Найбільша сторона $A C = 18 см$ . Бісектриса $B L$ ділить її на відрізки $A L$ і $L C$ , такі що $\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .
Знайдемо довжини частин: $A L + L C = 18$ . З рівняння $\frac{A L}{18 - A L} = \frac{4}{5}$ отримуємо $5 A L = 72 - 4 A L$ , звідки $9 A L = 72$ , тобто $A L = 8 см$ , а $L C = 10 см$ .
За формулою бісектриси: $\frac{1}{B L ^{2}} = \frac{1}{12 \cdot 8} + \frac{1}{15 \cdot 10} = \frac{1}{96} + \frac{1}{150}$ .
Спростимо дріб: $\frac{1}{B L ^{2}} = \frac{25}{2400} + \frac{16}{2400} = \frac{41}{2400}$ . Тоді $B L^{2} = \frac{2400}{41}$ , отже $B L = \frac{2400}{41} = 20 \frac{6}{41} см$ .

Відповідь:

$20 \frac{6}{41} см$

Розбір зрозумілий?