Завдання 2.47, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.47

Властивість діагоналей паралелограма

Доведіть, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Сформулюйте та доведіть обернене твердження.

Розв’язання

Нехай в паралелограмі $A B C D$ кут $∠ B > ∠ D$ . Оскільки сумою протилежних кутів паралелограма є $18 0^{\circ}$ , то $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ .
Розглянемо трикутник $A B C$ і трикутник $A B D$ . У них спільна сторона $A B$ . Протилежні сторони до кутів $∠ B$ та $∠ D$ — це діагоналі $A C$ та $B D$ відповідно.
З огляду на властивість трикутника (більша сторона лежить проти більшого кута), оскільки $∠ B > ∠ D$ , то діаметрально протилежна до нього діагональ $A C$ більша за $B D$ .

Відповідь:

Доведено, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Обернене твердження: якщо одна діагональ більша за іншу, то протилежний їй кут більший (тобто $∠ B > ∠ D ⟹ A C > B D$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.47 с. 27

Властивість діагоналей паралелограма

Умова

Що треба знати

У будь-якому трикутнику більша сторона протилежна більшому куту. Діагоналі паралелограма ділять його на два трикутники, що мають спільну сторону (діагональ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розгляньте паралелограм $A B C D$ і діагоналі $A C$ та $B D$ . Порівняйте кути $∠ B$ і $∠ D$ з протилежними сторонами $A C$ і $B D$ у відповідних трикутниках.

Розв’язання крок за кроком

Нехай в паралелограмі $A B C D$ кут $∠ B > ∠ D$ . Оскільки сумою протилежних кутів паралелограма є $18 0^{\circ}$ , то $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ .
Розглянемо трикутник $A B C$ і трикутник $A B D$ . У них спільна сторона $A B$ . Протилежні сторони до кутів $∠ B$ та $∠ D$ — це діагоналі $A C$ та $B D$ відповідно.
З огляду на властивість трикутника (більша сторона лежить проти більшого кута), оскільки $∠ B > ∠ D$ , то діаметрально протилежна до нього діагональ $A C$ більша за $B D$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?