Завдання 2.41, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.41

Знаходження відстані між точками на сторонах трикутника

У трикутнику $A B C$ точка $K$ лежить на стороні $A B$ , а точка $M$ — на продовженні сторони $B C$ за точку $C$ . Відомо: $A B = 15 см$ , $B C = 7 см$ , $A C = 13 см$ , $A K = 8 см$ , $M C = 3 см$ . Потрібно знайти довжину відрізка $M K$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину відрізка $B K$ : $B K = A B - A K = 15 см - 8 см = 7 см$ .
Оскільки $B C = 7 см$ і $B K = 7 см$ , то трикутник $K B C$ є рівнобедреним з основою $K C$ .
Знайдемо кут $∠ C$ у трикутнику $A B C$ за теоремою косинусів: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ . Але простіше помітити, що $B K = B C$ , отже $∠ B K C = ∠ C$ .
Оскільки точка $M$ лежить на продовженні $B C$ , то $B M = B C + C M = 7 см + 3 см = 10 см$ .
Розглянемо трикутник $K B M$ . Ми знаємо сторони $B K = 7 см$ , $B M = 10 см$ і кут $∠ B$ . Знайдемо $cos B$ з рівняння $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ : $1 3^{2} = 1 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot cos B$ .
Обчислимо $cos B$ : $169 = 225 + 49 - 210 cos B \Rightarrow 169 = 274 - 210 cos B \Rightarrow 210 cos B = 105 \Rightarrow cos B = 0, 5$ .
Отже, $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Трикутник $K B M$ має сторони $7 см$ і $10 см$ та кут між ними $6 0^{\circ}$ . Знайдемо сторону $M K$ за теоремою косинусів: $M K^{2} = B K^{2} + B M^{2} - 2 \cdot B K \cdot B M \cdot cos B$ .
Підставимо значення: $M K^{2} = 7^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 0, 5 = 49 + 100 - 70 = 79$ .

Відповідь:

$M K = 79 см$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.41 с. 26

Знаходження відстані між точками на сторонах трикутника

Умова

Що треба знати

Щоб знайти сторону трикутника за двома сторонами та кутом між ними, використовується теорема косинусів. Для розв'язання задачі спочатку потрібно знайти кут $∠ C$ або $∠ B$ , а потім скористатися властивістю бісектриси або простою геометрією, якщо точка $M$ лежить на продовженні сторони.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку визначте довжину відрізка $B K$ . Оскільки точка $M$ знаходиться на продовженні сторони $B C$ , то кут $∠ A C M$ є зовнішнім кутом при вершині $C$ . Знайдіть кут $∠ C$ у трикутнику $A B C$ за теоремою косинусів, а потім скористайтеся властивістю бісектриси або знайдіть довжину $C M$ і кутом.

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо довжину відрізка $B K$ : $B K = A B - A K = 15 см - 8 см = 7 см$ .
Оскільки $B C = 7 см$ і $B K = 7 см$ , то трикутник $K B C$ є рівнобедреним з основою $K C$ .
Знайдемо кут $∠ C$ у трикутнику $A B C$ за теоремою косинусів: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ . Але простіше помітити, що $B K = B C$ , отже $∠ B K C = ∠ C$ .
Оскільки точка $M$ лежить на продовженні $B C$ , то $B M = B C + C M = 7 см + 3 см = 10 см$ .
Розглянемо трикутник $K B M$ . Ми знаємо сторони $B K = 7 см$ , $B M = 10 см$ і кут $∠ B$ . Знайдемо $cos B$ з рівняння $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ : $1 3^{2} = 1 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot cos B$ .
Обчислимо $cos B$ : $169 = 225 + 49 - 210 cos B \Rightarrow 169 = 274 - 210 cos B \Rightarrow 210 cos B = 105 \Rightarrow cos B = 0, 5$ .
Отже, $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Трикутник $K B M$ має сторони $7 см$ і $10 см$ та кут між ними $6 0^{\circ}$ . Знайдемо сторону $M K$ за теоремою косинусів: $M K^{2} = B K^{2} + B M^{2} - 2 \cdot B K \cdot B M \cdot cos B$ .
Підставимо значення: $M K^{2} = 7^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 0, 5 = 49 + 100 - 70 = 79$ .

Відповідь:

$M K = 79 см$ .

Розбір зрозумілий?