Завдання 2.40, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.40

Знаходження відрізка AD у трикутнику

Трикутник $A B C$ з точкою $D$ на стороні $B C$ . Відомо: $A B = 37 см$ , $B C = 44 см$ , $A C = 15 см$ , $C D = 14 см$ . Знайти $A D$ .

Розв’язання

Знайдемо $B D$ : $B D = B C - C D = 44 - 14 = 30 см$ .
У трикутнику $A B C$ знайдемо $cos B$ за теоремою косинусів: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ . Підставимо числа: $1 5^{2} = 3 7^{2} + 4 4^{2} - 2 \cdot 37 \cdot 44 \cdot cos B$ .
Обчислимо: $225 = 1369 + 1936 - 3256 cos B \Rightarrow 225 = 3305 - 3256 cos B \Rightarrow 3256 cos B = 3080 \Rightarrow cos B = \frac{3080}{3256} = \frac{385}{407} = \frac{35}{37}$ .
Тепер у трикутнику $A B D$ знайдемо $A D$ : $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 \cdot A B \cdot B D \cdot cos B$ . Підставимо: $A D^{2} = 3 7^{2} + 3 0^{2} - 2 \cdot 37 \cdot 30 \cdot \frac{35}{37}$ .
Спростимо вираз: $A D^{2} = 1369 + 900 - 60 \cdot 35 = 2269 - 2100 = 169$ . Отже, $A D = 169 = 13 см$ .

Відповідь:

Відрізок $A D$ дорівнює $13 см$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.40 с. 26

Знаходження відрізка AD у трикутнику

Умова

Трикутник $A B C$ з точкою $D$ на стороні $B C$ . Відомо: $A B = 37 см$ , $B C = 44 см$ , $A C = 15 см$ , $C D = 14 см$ . Знайти $A D$ .

Що треба знати

Оскільки точка $D$ лежить на стороні $B C$ , то $B D = B C - C D$ . Розглянемо трикутник $A B D$ і застосуємо теорему косинусів, але спочатку треба знайти кут $B$ з трикутника $A B C$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайдіть довжину відрізка $B D$ , а потім через теорему косинусів у трикутнику $A B C$ знайдіть $cos B$ , і в трикутнику $A B D$ — сторону $A D$ .

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо $B D$ : $B D = B C - C D = 44 - 14 = 30 см$ .
У трикутнику $A B C$ знайдемо $cos B$ за теоремою косинусів: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ . Підставимо числа: $1 5^{2} = 3 7^{2} + 4 4^{2} - 2 \cdot 37 \cdot 44 \cdot cos B$ .
Обчислимо: $225 = 1369 + 1936 - 3256 cos B \Rightarrow 225 = 3305 - 3256 cos B \Rightarrow 3256 cos B = 3080 \Rightarrow cos B = \frac{3080}{3256} = \frac{385}{407} = \frac{35}{37}$ .
Тепер у трикутнику $A B D$ знайдемо $A D$ : $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 \cdot A B \cdot B D \cdot cos B$ . Підставимо: $A D^{2} = 3 7^{2} + 3 0^{2} - 2 \cdot 37 \cdot 30 \cdot \frac{35}{37}$ .
Спростимо вираз: $A D^{2} = 1369 + 900 - 60 \cdot 35 = 2269 - 2100 = 169$ . Отже, $A D = 169 = 13 см$ .

Відповідь:

Відрізок $A D$ дорівнює $13 см$ .

Розбір зрозумілий?