Завдання 2.31, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.31

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та кутом

Дві сторони трикутника дорівнюють $16 см$ і $14 см$ . Кут, протилежний меншій із відомих сторін ( $14 см$ ), дорівнює $6 0^{\circ}$ . Знайдіть третю сторону.

Розв’язання

Позначимо сторони трикутника як $a = 16 см$ , $b = 14 см$ , шукану сторону — $c$ . Кут $β$ , протилежний стороні $b$ , дорівнює $6 0^{\circ}$ .
За теоремою косинусів: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos (6 0^{\circ})$ .
Підставимо числа: $1 4^{2} = 1 6^{2} + c^{2} - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot 0, 5$ .
Спростимо рівняння: $196 = 256 + c^{2} - 16 c$ . Перенесемо все в один бік: $c^{2} - 16 c + 60 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$ . Корені: $c_{1} = \frac{16 + 4}{2} = 10$ , $c_{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ .

Відповідь:

Третя сторона трикутника може дорівнювати $10 см$ або $6 см$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.31 с. 25

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та кутом

Умова

Що треба знати

Теорема косинусів дозволяє знайти сторону трикутника, якщо відомі дві інші сторони та кут між ними. Якщо ж кут протилежний одній із відомих сторін, застосовуємо теорему синусів для знаходження іншого кута або координатне/геометричне побудова. У даному випадку зручніше використати формулу косинусів для кута між невідомою стороною та більшою вісною, але спочатку треба визначити третю сторону через теорему синусів або розбити на два трикутники. Простіший шлях: позначимо сторони $a = 16$ , $b = 14$ , кут $β$ протилежний $b$ . Тоді за теоремою синусів $\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin C}$ , але ми не знаємо жодного іншого кута. Краще використати формулу косинусів для кута між сторонами $16$ та $x$ , де $x$ — шукана сторона, і кут між ними $α$ . Але ми знаємо кут протилежний стороні $14$ .
Правильний підхід: Позначимо сторони $a = 16$ , $b = 14$ , шукану сторону $c$ . Кут $β$ протилежний $b$ дорівнює $6 0^{\circ}$ . За теоремою косинусів для кута $β$ : $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Складіть рівняння за теоремою косинусів, де невідомою є третя сторона $c$ , і розв'яжіть квадратне рівняння.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо сторони трикутника як $a = 16 см$ , $b = 14 см$ , шукану сторону — $c$ . Кут $β$ , протилежний стороні $b$ , дорівнює $6 0^{\circ}$ .
За теоремою косинусів: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos (6 0^{\circ})$ .
Підставимо числа: $1 4^{2} = 1 6^{2} + c^{2} - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot 0, 5$ .
Спростимо рівняння: $196 = 256 + c^{2} - 16 c$ . Перенесемо все в один бік: $c^{2} - 16 c + 60 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$ . Корені: $c_{1} = \frac{16 + 4}{2} = 10$ , $c_{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ .

Відповідь:

Третя сторона трикутника може дорівнювати $10 см$ або $6 см$ .

Розбір зрозумілий?