Завдання 2.21, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.21

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та синусом кута

Дві сторони трикутника дорівнюють $3 см$ і $4 см$ , а синус кута між ними дорівнює $\frac{35}{6}$ . Знайдіть третю сторону. Обговоріть з однокласниками й однокласницями, скільки розв'язків має задача.

Розв’язання

Знайдемо $cos α$ : $cos^{2} α = 1 - (\frac{35}{6})^{2} = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$ , отже $cos α = \pm \frac{1}{6}$ .
Знайдемо третю сторону $c$ для першого випадку ( $cos α = \frac{1}{6}$ ): $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 16 - 4 = 21$ , тобто $c = 21 см$ .
Знайдемо третю сторону $c$ для другого випадку ( $cos α = - \frac{1}{6}$ ): $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{6}) = 9 + 16 + 4 = 29$ , тобто $c = 29 см$ .

Відповідь:

Третя сторона дорівнює $21 см$ або $29 см$ . Задача має два розв'язки.

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.21 с. 25

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та синусом кута

Умова

Що треба знати

Спочатку знайдемо косинус кута за формулою $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ . Потім використаємо теорему косинусів $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ для знаходження третьої сторони. Оскільки синус додатний, кут може бути гострим або тупим, тому розглянемо два випадки знаку косинуса.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обчисліть значення $cos α$ , використовуючи $sin α = \frac{35}{6}$ . Чи є обидва варіанти косинуса можливими для кута між сторонами?

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо $cos α$ : $cos^{2} α = 1 - (\frac{35}{6})^{2} = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$ , отже $cos α = \pm \frac{1}{6}$ .
Знайдемо третю сторону $c$ для першого випадку ( $cos α = \frac{1}{6}$ ): $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 16 - 4 = 21$ , тобто $c = 21 см$ .
Знайдемо третю сторону $c$ для другого випадку ( $cos α = - \frac{1}{6}$ ): $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{6}) = 9 + 16 + 4 = 29$ , тобто $c = 29 см$ .

Відповідь:

Третя сторона дорівнює $21 см$ або $29 см$ . Задача має два розв'язки.

Розбір зрозумілий?