Завдання 9.16, 9. Побудова графіка функції y = ax² — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 9.16

Доведення тотожності

Доведіть тотожність $(\frac{m - n}{m ^{2} + mn} - \frac{m}{mn + n ^{2}}) : (\frac{n ^{2}}{m ^{3} - m n ^{2}} + \frac{1}{m + n}) = \frac{n - m}{n}$ .

Розв’язання

1) Перша дужка: $m^{2} + mn = m (m + n)$ , $mn + n^{2} = n (m + n)$ , спільний знаменник $mn (m + n)$ . $\frac{n ( m - n ) - m \cdot m}{mn ( m + n )} = \frac{mn - n ^{2} - m ^{2}}{mn ( m + n )} = - \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )}$ .
2) Друга дужка: $m^{3} - m n^{2} = m (m - n) (m + n)$ , спільний знаменник $m (m - n) (m + n)$ . $\frac{n ^{2} + m ( m - n )}{m ( m - n ) ( m + n )} = \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )}$ .
3) Ділення: $- \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )} \cdot \frac{m ( m - n ) ( m + n )}{m ^{2} - mn + n ^{2}} = - \frac{m - n}{n} = \frac{n - m}{n}$ .
При допустимих значеннях ( $m \neq = 0$ , $n \neq = 0$ , $m \neq = \pm n$ ) вираз $m^{2} - mn + n^{2} = (m - \frac{n}{2})^{2} + \frac{3 n ^{2}}{4} > 0$ , тож скорочення законне. Ліва частина дорівнює правій — тотожність доведено.

Відповідь:

Тотожність доведено: ліва частина дорівнює $\frac{n - m}{n}$ .

Розбір зрозумілий?

9. Побудова графіка функції y = ax² Завдання 9.16 с. 89

Доведення тотожності

Умова

Доведіть тотожність $(\frac{m - n}{m ^{2} + mn} - \frac{m}{mn + n ^{2}}) : (\frac{n ^{2}}{m ^{3} - m n ^{2}} + \frac{1}{m + n}) = \frac{n - m}{n}$ .

Що треба знати

Щоб довести тотожність, ліву частину тотожними перетвореннями зводять до правої. Для дробів: розкладаємо знаменники на множники, зводимо до спільного знаменника, а ділення замінюємо множенням на обернений дріб.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розклади знаменники на множники й виконай дії в кожній дужці окремо.

Розв’язання крок за кроком

1) Перша дужка: $m^{2} + mn = m (m + n)$ , $mn + n^{2} = n (m + n)$ , спільний знаменник $mn (m + n)$ . $\frac{n ( m - n ) - m \cdot m}{mn ( m + n )} = \frac{mn - n ^{2} - m ^{2}}{mn ( m + n )} = - \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )}$ .
2) Друга дужка: $m^{3} - m n^{2} = m (m - n) (m + n)$ , спільний знаменник $m (m - n) (m + n)$ . $\frac{n ^{2} + m ( m - n )}{m ( m - n ) ( m + n )} = \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )}$ .
3) Ділення: $- \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )} \cdot \frac{m ( m - n ) ( m + n )}{m ^{2} - mn + n ^{2}} = - \frac{m - n}{n} = \frac{n - m}{n}$ .
При допустимих значеннях ( $m \neq = 0$ , $n \neq = 0$ , $m \neq = \pm n$ ) вираз $m^{2} - mn + n^{2} = (m - \frac{n}{2})^{2} + \frac{3 n ^{2}}{4} > 0$ , тож скорочення законне. Ліва частина дорівнює правій — тотожність доведено.

Відповідь:

Тотожність доведено: ліва частина дорівнює $\frac{n - m}{n}$ .

Розбір зрозумілий?