Функція y=f(x) спадна. Зростаючою чи спадною є функція: 1) y=3f(x); 2) y=31f(x); 3) y=−f(x)? Відповідь обґрунтуйте.
Що треба знати
Візьмемо x2>x1 і порівняємо значення функції. Якщо обидві частини нерівності помножити на додатне число, знак нерівності не зміниться, а якщо на від’ємне — зміниться на протилежний. Тому y=c⋅f(x) при c>0 має ту саму монотонність, що й f, а при c<0 — протилежну.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Візьми x2>x1, запиши f(x2)<f(x1) і помнож обидві частини на коефіцієнт.
Розв’язання крок за кроком
Нехай x1, x2 — будь-які значення аргументу, x2>x1. Оскільки f спадна, f(x2)<f(x1).
1) Множимо на 3>0: 3f(x2)<3f(x1) — більшому аргументу відповідає менше значення, функція y=3f(x) спадна.
2) Множимо на 31>0: 31f(x2)<31f(x1) — функція y=31f(x) спадна.
3) Множимо на −1<0, знак нерівності змінюється: −f(x2)>−f(x1) — функція y=−f(x) зростаюча.
Приклад: f(x)=−x спадна; 3f(x)=−3x і 31f(x)=−3x спадні, а −f(x)=x зростає.
