Завдання 8.15, 8. Властивості функції — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 8.15

Функція з заданою монотонністю

Накресліть ескіз будь-якої функції, визначеної на всій числовій прямій, що зростає на $(- \infty; 1]$ і на $[4; + \infty)$ , а спадає на $[1; 4]$ .

Розв’язання

Ідея: графік — ламана. До точки $x = 1$ вона піднімається, між $x = 1$ і $x = 4$ опускається, після $x = 4$ знову піднімається.
Наприклад, $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 2, 4 - x, x - 4, x ⩽ 1, 1 < x < 4, x ⩾ 4.$ Частини стикуються: $f (1) = 3$ і $4 - 1 = 3$ ; $f (4) = 0$ і $4 - 4 = 0$ .
Точки для побудови: $(- 2; 0)$ , $(0; 2)$ , $(1; 3)$ , $(2; 2)$ , $(4; 0)$ , $(6; 2)$ . Проводимо промінь з $(1; 3)$ ліворуч униз через $(- 2; 0)$ , відрізок від $(1; 3)$ до $(4; 0)$ і промінь з $(4; 0)$ праворуч угору через $(6; 2)$ .
Перевірка: на $(- \infty; 1]$ маємо $y = x + 2$ , $k = 1 > 0$ — зростає; на $[1; 4]$ маємо $y = 4 - x$ , $k = - 1 < 0$ — спадає; на $[4; + \infty)$ маємо $y = x - 4$ , $k = 1 > 0$ — зростає.
Підійде й будь-яка плавна крива з «горбом» у точці $x = 1$ та «западиною» в точці $x = 4$ .

Відповідь:

Наприклад, ламана через точки $(- 2; 0)$ , $(1; 3)$ , $(4; 0)$ , $(6; 2)$ : $f (x) = x + 2$ при $x ⩽ 1$ , $f (x) = 4 - x$ при $1 < x < 4$ , $f (x) = x - 4$ при $x ⩾ 4$ .

Розбір зрозумілий?

8. Властивості функції Завдання 8.15 с. 81

Функція з заданою монотонністю

Умова

Що треба знати

Нуль функції — таке значення $x$ , при якому $f (x) = 0$ ; на графіку це точка, де графік зустрічає вісь абсцис. Проміжок знакосталості — найбільший проміжок, на якому всі значення функції одного знаку (графік цілком вище або цілком нижче осі $x$ ). Функція зростає на проміжку, якщо з $x_{2} > x_{1}$ випливає $f (x_{2}) > f (x_{1})$ (графік «піднімається» зліва направо), і спадає, якщо з $x_{2} > x_{1}$ випливає $f (x_{2}) < f (x_{1})$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади графік із трьох шматків прямих: «вгору» до $x = 1$ , «вниз» від $1$ до $4$ , знову «вгору» після $4$ .

Розв’язання крок за кроком

Ідея: графік — ламана. До точки $x = 1$ вона піднімається, між $x = 1$ і $x = 4$ опускається, після $x = 4$ знову піднімається.
Наприклад, $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 2, 4 - x, x - 4, x ⩽ 1, 1 < x < 4, x ⩾ 4.$ Частини стикуються: $f (1) = 3$ і $4 - 1 = 3$ ; $f (4) = 0$ і $4 - 4 = 0$ .
Точки для побудови: $(- 2; 0)$ , $(0; 2)$ , $(1; 3)$ , $(2; 2)$ , $(4; 0)$ , $(6; 2)$ . Проводимо промінь з $(1; 3)$ ліворуч униз через $(- 2; 0)$ , відрізок від $(1; 3)$ до $(4; 0)$ і промінь з $(4; 0)$ праворуч угору через $(6; 2)$ .
Перевірка: на $(- \infty; 1]$ маємо $y = x + 2$ , $k = 1 > 0$ — зростає; на $[1; 4]$ маємо $y = 4 - x$ , $k = - 1 < 0$ — спадає; на $[4; + \infty)$ маємо $y = x - 4$ , $k = 1 > 0$ — зростає.
Підійде й будь-яка плавна крива з «горбом» у точці $x = 1$ та «западиною» в точці $x = 4$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?