Завдання 8.16, 8. Властивості функції — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 8.16

Графік кусково заданої функції

Для функції $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 8, x^{2}, - 2 x + 8, x ⩽ - 2, - 2 < x < 2, x ⩾ 2$ побудуйте графік і за ним укажіть нулі, проміжки знакосталості, зростання та спадання.

Розв’язання

1) $x ⩽ - 2$ : $y = 2 x + 8$ — промінь. Точки: $(- 2; 4)$ , $(- 3; 2)$ , $(- 4; 0)$ , $(- 5; - 2)$ .
2) $- 2 < x < 2$ : $y = x^{2}$ — дуга параболи, вершина $(0; 0)$ , гілки вгору, вісь симетрії $x = 0$ . Точки: $(- 1; 1)$ , $(0; 0)$ , $(1; 1)$ ; біля кінців значення наближаються до $4$ .
3) $x ⩾ 2$ : $y = - 2 x + 8$ — промінь. Точки: $(2; 4)$ , $(3; 2)$ , $(4; 0)$ , $(5; - 2)$ . Оскільки $2 \cdot (- 2) + 8 = 4 = (- 2)^{2}$ і $- 2 \cdot 2 + 8 = 4 = 2^{2}$ , графік суцільний, без розривів.
Нулі: $2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = - 4$ (підходить, бо $- 4 ⩽ - 2$ ); $x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ ; $- 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ (підходить, бо $4 ⩾ 2$ ).
Знакосталість: графік вище осі $x$ на $(- 4; 0)$ і $(0; 4)$ — там $f (x) > 0$ ; нижче осі — на $(- \infty; - 4)$ і $(4; + \infty)$ — там $f (x) < 0$ .
Монотонність: зростає на $(- \infty; - 2]$ ( $k = 2 > 0$ ) і на $[0; 2]$ (права половина параболи); спадає на $[- 2; 0]$ (ліва половина параболи) і на $[2; + \infty)$ ( $k = - 2 < 0$ ).

Відповідь:

Нулі: $- 4$ ; $0$ ; $4$ . $f (x) > 0$ на $(- 4; 0)$ і $(0; 4)$ ; $f (x) < 0$ на $(- \infty; - 4)$ і $(4; + \infty)$ . Зростає на $(- \infty; - 2]$ і $[0; 2]$ ; спадає на $[- 2; 0]$ і $[2; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

8. Властивості функції Завдання 8.16 с. 81

Графік кусково заданої функції

Умова

Що треба знати

Нуль функції — таке значення $x$ , при якому $f (x) = 0$ ; на графіку це точка, де графік зустрічає вісь абсцис. Проміжок знакосталості — найбільший проміжок, на якому всі значення функції одного знаку (графік цілком вище або цілком нижче осі $x$ ). Функція зростає на проміжку, якщо з $x_{2} > x_{1}$ випливає $f (x_{2}) > f (x_{1})$ (графік «піднімається» зліва направо), і спадає, якщо з $x_{2} > x_{1}$ випливає $f (x_{2}) < f (x_{1})$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Побудуй кожну частину на своєму проміжку: два промені та дугу параболи.

Розв’язання крок за кроком

1) $x ⩽ - 2$ : $y = 2 x + 8$ — промінь. Точки: $(- 2; 4)$ , $(- 3; 2)$ , $(- 4; 0)$ , $(- 5; - 2)$ .
2) $- 2 < x < 2$ : $y = x^{2}$ — дуга параболи, вершина $(0; 0)$ , гілки вгору, вісь симетрії $x = 0$ . Точки: $(- 1; 1)$ , $(0; 0)$ , $(1; 1)$ ; біля кінців значення наближаються до $4$ .
3) $x ⩾ 2$ : $y = - 2 x + 8$ — промінь. Точки: $(2; 4)$ , $(3; 2)$ , $(4; 0)$ , $(5; - 2)$ . Оскільки $2 \cdot (- 2) + 8 = 4 = (- 2)^{2}$ і $- 2 \cdot 2 + 8 = 4 = 2^{2}$ , графік суцільний, без розривів.
Нулі: $2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = - 4$ (підходить, бо $- 4 ⩽ - 2$ ); $x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ ; $- 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ (підходить, бо $4 ⩾ 2$ ).
Знакосталість: графік вище осі $x$ на $(- 4; 0)$ і $(0; 4)$ — там $f (x) > 0$ ; нижче осі — на $(- \infty; - 4)$ і $(4; + \infty)$ — там $f (x) < 0$ .
Монотонність: зростає на $(- \infty; - 2]$ ( $k = 2 > 0$ ) і на $[0; 2]$ (права половина параболи); спадає на $[- 2; 0]$ (ліва половина параболи) і на $[2; + \infty)$ ( $k = - 2 < 0$ ).

Відповідь:

Розбір зрозумілий?