Завдання 8.11, 8. Властивості функції — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 8.11

Проміжки знакосталості

Знайдіть проміжки знакосталості функції: 1) $y = - 4 x + 8$ ; 2) $y = - x^{2} - 1$ ; 3) $y = x + 2$ .

Розв’язання

1) Нуль: $- 4 x + 8 = 0$ , $x = 2$ . $y > 0$ , якщо $- 4 x > - 8$ , тобто $x < 2$ ; $y < 0$ , якщо $x > 2$ . Отже, $y > 0$ на $(- \infty; 2)$ , $y < 0$ на $(2; + \infty)$ .
2) $x^{2} ⩾ 0$ , тому $- x^{2} - 1 ⩽ - 1 < 0$ при всіх $x$ . Нулів немає, $y < 0$ на $(- \infty; + \infty)$ .
3) Область визначення: $x ⩾ 0$ , тобто $[0; + \infty)$ . Оскільки $x ⩾ 0$ , то $y ⩾ 2 > 0$ . Нулів немає, $y > 0$ на $[0; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $y > 0$ на $(- \infty; 2)$ , $y < 0$ на $(2; + \infty)$ ; 2) $y < 0$ на $(- \infty; + \infty)$ ; 3) $y > 0$ на $[0; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

8. Властивості функції Завдання 8.11 с. 81

Проміжки знакосталості

Умова

Знайдіть проміжки знакосталості функції: 1) $y = - 4 x + 8$ ; 2) $y = - x^{2} - 1$ ; 3) $y = x + 2$ .

Що треба знати

Проміжок знакосталості — проміжок, на якому функція набуває значень одного знака: де графік вище від осі абсцис, там $f (x) > 0$ , де нижче — $f (x) < 0$ . Такі проміжки беруть якнайдовшими; межами між ними зазвичай є нулі функції та точки, які не входять в область визначення.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для 2) і 3) оціни вираз: квадрат і корінь не бувають від’ємними.

Розв’язання крок за кроком

1) Нуль: $- 4 x + 8 = 0$ , $x = 2$ . $y > 0$ , якщо $- 4 x > - 8$ , тобто $x < 2$ ; $y < 0$ , якщо $x > 2$ . Отже, $y > 0$ на $(- \infty; 2)$ , $y < 0$ на $(2; + \infty)$ .
2) $x^{2} ⩾ 0$ , тому $- x^{2} - 1 ⩽ - 1 < 0$ при всіх $x$ . Нулів немає, $y < 0$ на $(- \infty; + \infty)$ .
3) Область визначення: $x ⩾ 0$ , тобто $[0; + \infty)$ . Оскільки $x ⩾ 0$ , то $y ⩾ 2 > 0$ . Нулів немає, $y > 0$ на $[0; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $y > 0$ на $(- \infty; 2)$ , $y < 0$ на $(2; + \infty)$ ; 2) $y < 0$ на $(- \infty; + \infty)$ ; 3) $y > 0$ на $[0; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?