Завдання 8.10, 8. Властивості функції — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 8.10

Проміжки знакосталості

Знайдіть проміжки знакосталості функції: 1) $y = 5 x - 15$ ; 2) $y = - 7 x - 28$ ; 3) $y = x^{2} - 2 x + 1$ ; 4) $y = \frac{9}{3 - x}$ .

Розв’язання

1) Нуль: $5 x - 15 = 0$ , $x = 3$ . $y > 0$ , якщо $5 x > 15$ , тобто $x > 3$ ; $y < 0$ , якщо $x < 3$ . Отже, $y < 0$ на $(- \infty; 3)$ , $y > 0$ на $(3; + \infty)$ .
2) Нуль: $- 7 x - 28 = 0$ , $x = - 4$ . $y > 0$ , якщо $- 7 x > 28$ , тобто $x < - 4$ ; $y < 0$ , якщо $x > - 4$ . Отже, $y > 0$ на $(- \infty; - 4)$ , $y < 0$ на $(- 4; + \infty)$ .
3) $y = (x - 1)^{2}$ ; нуль $x = 1$ ; при $x \neq = 1$ квадрат ненульового числа додатний. Отже, $y > 0$ на $(- \infty; 1)$ і на $(1; + \infty)$ ; від’ємних значень функція не набуває.
4) Область визначення: $x \neq = 3$ . Чисельник $9 \neq = 0$ , тому нулів немає, а знак $y$ збігається зі знаком $3 - x$ : $y > 0$ при $x < 3$ , $y < 0$ при $x > 3$ . Отже, $y > 0$ на $(- \infty; 3)$ , $y < 0$ на $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $y < 0$ на $(- \infty; 3)$ , $y > 0$ на $(3; + \infty)$ ; 2) $y > 0$ на $(- \infty; - 4)$ , $y < 0$ на $(- 4; + \infty)$ ; 3) $y > 0$ на $(- \infty; 1)$ і $(1; + \infty)$ ; 4) $y > 0$ на $(- \infty; 3)$ , $y < 0$ на $(3; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

8. Властивості функції Завдання 8.10 с. 81

Проміжки знакосталості

Умова

Знайдіть проміжки знакосталості функції: 1) $y = 5 x - 15$ ; 2) $y = - 7 x - 28$ ; 3) $y = x^{2} - 2 x + 1$ ; 4) $y = \frac{9}{3 - x}$ .

Що треба знати

Проміжок знакосталості — проміжок, на якому функція набуває значень одного знака: де графік вище від осі абсцис, там $f (x) > 0$ , де нижче — $f (x) < 0$ . Такі проміжки беруть якнайдовшими; межами між ними зазвичай є нулі функції та точки, які не входять в область визначення.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди нулі й точки поза областю визначення, а потім з’ясуй знак функції між ними.

Розв’язання крок за кроком

1) Нуль: $5 x - 15 = 0$ , $x = 3$ . $y > 0$ , якщо $5 x > 15$ , тобто $x > 3$ ; $y < 0$ , якщо $x < 3$ . Отже, $y < 0$ на $(- \infty; 3)$ , $y > 0$ на $(3; + \infty)$ .
2) Нуль: $- 7 x - 28 = 0$ , $x = - 4$ . $y > 0$ , якщо $- 7 x > 28$ , тобто $x < - 4$ ; $y < 0$ , якщо $x > - 4$ . Отже, $y > 0$ на $(- \infty; - 4)$ , $y < 0$ на $(- 4; + \infty)$ .
3) $y = (x - 1)^{2}$ ; нуль $x = 1$ ; при $x \neq = 1$ квадрат ненульового числа додатний. Отже, $y > 0$ на $(- \infty; 1)$ і на $(1; + \infty)$ ; від’ємних значень функція не набуває.
4) Область визначення: $x \neq = 3$ . Чисельник $9 \neq = 0$ , тому нулів немає, а знак $y$ збігається зі знаком $3 - x$ : $y > 0$ при $x < 3$ , $y < 0$ при $x > 3$ . Отже, $y > 0$ на $(- \infty; 3)$ , $y < 0$ на $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?