Завдання 6.39, 6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 6.39

Корені на проміжку

Знайдіть усі $a$ , при яких корені рівняння $x^{2} - (4 a - 2) x + 3 a^{2} - 4 a + 1 = 0$ належать проміжку $[- 2; 8]$ .

Розв’язання

$D = (4 a - 2)^{2} - 4 (3 a^{2} - 4 a + 1) = 16 a^{2} - 16 a + 4 - 12 a^{2} + 16 a - 4 = 4 a^{2} = (2 a)^{2}$ .
$x = \frac{4 a - 2 \pm 2 a}{2}$ : $x_{1} = \frac{6 a - 2}{2} = 3 a - 1$ , $x_{2} = \frac{2 a - 2}{2} = a - 1$ . (При $a = 0$ корені збігаються: $x = - 1$ .)
Обидва корені належать $[- 2; 8]$ : ${- 2 ⩽ 3 a - 1 ⩽ 8, - 2 ⩽ a - 1 ⩽ 8;$ ${- 1 ⩽ 3 a ⩽ 9, - 1 ⩽ a ⩽ 9;$ ${- \frac{1}{3} ⩽ a ⩽ 3, - 1 ⩽ a ⩽ 9.$
Перетин проміжків: $- \frac{1}{3} ⩽ a ⩽ 3$ .

Відповідь:

$a \in [- \frac{1}{3}; 3]$ .

Розбір зрозумілий?

6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною Завдання 6.39 с. 55

Корені на проміжку

Умова

Знайдіть усі $a$ , при яких корені рівняння $x^{2} - (4 a - 2) x + 3 a^{2} - 4 a + 1 = 0$ належать проміжку $[- 2; 8]$ .

Що треба знати

Корені квадратного рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ знаходять за формулою $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ , де $D = b^{2} - 4 a c$ . Якщо $D$ є повним квадратом виразу з параметром, корені виражаються через параметр, і умови на корені стають системою лінійних нерівностей.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обчисли дискримінант — він виявиться повним квадратом, тож корені виразяться через $a$ .

Розв’язання крок за кроком

$D = (4 a - 2)^{2} - 4 (3 a^{2} - 4 a + 1) = 16 a^{2} - 16 a + 4 - 12 a^{2} + 16 a - 4 = 4 a^{2} = (2 a)^{2}$ .
$x = \frac{4 a - 2 \pm 2 a}{2}$ : $x_{1} = \frac{6 a - 2}{2} = 3 a - 1$ , $x_{2} = \frac{2 a - 2}{2} = a - 1$ . (При $a = 0$ корені збігаються: $x = - 1$ .)
Обидва корені належать $[- 2; 8]$ : ${- 2 ⩽ 3 a - 1 ⩽ 8, - 2 ⩽ a - 1 ⩽ 8;$ ${- 1 ⩽ 3 a ⩽ 9, - 1 ⩽ a ⩽ 9;$ ${- \frac{1}{3} ⩽ a ⩽ 3, - 1 ⩽ a ⩽ 9.$
Перетин проміжків: $- \frac{1}{3} ⩽ a ⩽ 3$ .

Відповідь:

$a \in [- \frac{1}{3}; 3]$ .

Розбір зрозумілий?