Завдання 6.40, 6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 6.40

Розташування коренів рівняння

Знайдіть усі $a$ , при яких один із коренів рівняння $3 x^{2} - (2 a + 5) x + 2 + a - a^{2} = 0$ менший від $- 2$ , а другий більший за 3.

Розв’язання

$D = (2 a + 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 + a - a^{2}) = 4 a^{2} + 20 a + 25 - 24 - 12 a + 12 a^{2} = 16 a^{2} + 8 a + 1 = (4 a + 1)^{2}$ .
$x = \frac{2 a + 5 \pm ( 4 a + 1 )}{6}$ : $x_{1} = \frac{6 a + 6}{6} = a + 1$ , $x_{2} = \frac{4 - 2 a}{6} = \frac{2 - a}{3}$ .
Випадок 1: $x_{1} < - 2$ , $x_{2} > 3$ . ${a + 1 < - 2, \frac{2 - a}{3} > 3;$ ${a < - 3, 2 - a > 9;$ ${a < - 3, a < - 7;$ отже, $a < - 7$ .
Випадок 2: $x_{1} > 3$ , $x_{2} < - 2$ . ${a + 1 > 3, \frac{2 - a}{3} < - 2;$ ${a > 2, 2 - a < - 6;$ ${a > 2, a > 8;$ отже, $a > 8$ .
Об’єднуємо випадки: $a < - 7$ або $a > 8$ . Перевірка: при $a = - 8$ корені $- 7$ і $\frac{10}{3}$ ; при $a = 9$ корені $10$ і $- \frac{7}{3}$ — умова виконується.

Відповідь:

$a < - 7$ або $a > 8$ , тобто $a \in (- \infty; - 7) \cup (8; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною Завдання 6.40 с. 56

Розташування коренів рівняння

Умова

Що треба знати

Корені квадратного рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ знаходять за формулою $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ , де $D = b^{2} - 4 a c$ . Якщо $D$ є повним квадратом виразу з параметром, корені виражаються через параметр, і умови на корені стають системою лінійних нерівностей.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Дискримінант — повний квадрат: знайди обидва корені й розглянь два випадки, який із них менший від −2.

Розв’язання крок за кроком

$D = (2 a + 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 + a - a^{2}) = 4 a^{2} + 20 a + 25 - 24 - 12 a + 12 a^{2} = 16 a^{2} + 8 a + 1 = (4 a + 1)^{2}$ .
$x = \frac{2 a + 5 \pm ( 4 a + 1 )}{6}$ : $x_{1} = \frac{6 a + 6}{6} = a + 1$ , $x_{2} = \frac{4 - 2 a}{6} = \frac{2 - a}{3}$ .
Випадок 1: $x_{1} < - 2$ , $x_{2} > 3$ . ${a + 1 < - 2, \frac{2 - a}{3} > 3;$ ${a < - 3, 2 - a > 9;$ ${a < - 3, a < - 7;$ отже, $a < - 7$ .
Випадок 2: $x_{1} > 3$ , $x_{2} < - 2$ . ${a + 1 > 3, \frac{2 - a}{3} < - 2;$ ${a > 2, 2 - a < - 6;$ ${a > 2, a > 8;$ отже, $a > 8$ .
Об’єднуємо випадки: $a < - 7$ або $a > 8$ . Перевірка: при $a = - 8$ корені $- 7$ і $\frac{10}{3}$ ; при $a = 9$ корені $10$ і $- \frac{7}{3}$ — умова виконується.

Відповідь:

$a < - 7$ або $a > 8$ , тобто $a \in (- \infty; - 7) \cup (8; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?