Завдання 5.48, 5. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 5.48

Рівняння без коренів

Знайдіть усі $a$ , при яких рівняння $(a - 2) x^{2} + (2 a + 1) x + a = 0$ не має коренів.

Розв’язання

При $a = 2$ рівняння лінійне: $5 x + 2 = 0$ , $x = - 0, 4$ — корінь є, тому $a = 2$ не підходить.
При $a \neq = 2$ : $D = (2 a + 1)^{2} - 4 a (a - 2) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} + 8 a = 12 a + 1$ .
Коренів немає, якщо $D < 0$ : $12 a + 1 < 0$ , $12 a < - 1$ , $a < - \frac{1}{12}$ . Значення $a = 2$ до цього проміжку не входить.

Відповідь:

$a < - \frac{1}{12}$ , тобто $a \in (- \infty; - \frac{1}{12})$ .

Розбір зрозумілий?

5. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки Завдання 5.48 с. 44

Рівняння без коренів

Умова

Знайдіть усі $a$ , при яких рівняння $(a - 2) x^{2} + (2 a + 1) x + a = 0$ не має коренів.

Що треба знати

Лінійне рівняння $k x = b$ при $k \neq = 0$ має єдиний корінь $x = \frac{b}{k}$ , а при $k = 0$ — або жодного кореня, або безліч. Квадратне рівняння ( $a \neq = 0$ ) має два різні корені, якщо $D > 0$ , і не має коренів, якщо $D < 0$ . Якщо коефіцієнт при $x^{2}$ залежить від параметра, окремо розглядають випадок, коли він дорівнює нулю.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь окремо $a = 2$ , а для інших $a$ вимагай $D < 0$ .

Розв’язання крок за кроком

При $a = 2$ рівняння лінійне: $5 x + 2 = 0$ , $x = - 0, 4$ — корінь є, тому $a = 2$ не підходить.
При $a \neq = 2$ : $D = (2 a + 1)^{2} - 4 a (a - 2) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} + 8 a = 12 a + 1$ .
Коренів немає, якщо $D < 0$ : $12 a + 1 < 0$ , $12 a < - 1$ , $a < - \frac{1}{12}$ . Значення $a = 2$ до цього проміжку не входить.

Відповідь:

$a < - \frac{1}{12}$ , тобто $a \in (- \infty; - \frac{1}{12})$ .

Розбір зрозумілий?