Знайдіть усі a, при яких рівняння має два різні корені: 1) ax2+2x−1=0; 2) (a+1)x2−(2a−3)x+a=0.
Розв’язання
1) При a=0 рівняння лінійне: 2x−1=0, лише один корінь — не підходить. При a=0: D=22−4⋅a⋅(−1)=4+4a. Два різні корені, якщо 4+4a>0, тобто a>−1. З урахуванням a=0: a∈(−1;0)∪(0;+∞).
2) При a=−1 рівняння лінійне: −(−2−3)x−1=0, 5x−1=0, один корінь — не підходить. При a=−1: D=(2a−3)2−4a(a+1)=4a2−12a+9−4a2−4a=9−16a. Умова 9−16a>0 дає a<169. З урахуванням a=−1: a∈(−∞;−1)∪(−1;169).
Відповідь:
1) (−1;0)∪(0;+∞); 2) (−∞;−1)∪(−1;169).
Розбір зрозумілий?
5. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжкиЗавдання 5.47с. 44
Два різні корені
Умова
Знайдіть усі a, при яких рівняння має два різні корені: 1) ax2+2x−1=0; 2) (a+1)x2−(2a−3)x+a=0.
Що треба знати
Лінійне рівняння kx=b при k=0 має єдиний корінь x=kb, а при k=0 — або жодного кореня, або безліч. Квадратне рівняння (a=0) має два різні корені, якщо D>0, і не має коренів, якщо D<0. Якщо коефіцієнт при x2 залежить від параметра, окремо розглядають випадок, коли він дорівнює нулю.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Окремо перевір значення параметра, при якому рівняння стає лінійним, а далі вимагай D>0.
Розв’язання крок за кроком
1) При a=0 рівняння лінійне: 2x−1=0, лише один корінь — не підходить. При a=0: D=22−4⋅a⋅(−1)=4+4a. Два різні корені, якщо 4+4a>0, тобто a>−1. З урахуванням a=0: a∈(−1;0)∪(0;+∞).
2) При a=−1 рівняння лінійне: −(−2−3)x−1=0, 5x−1=0, один корінь — не підходить. При a=−1: D=(2a−3)2−4a(a+1)=4a2−12a+9−4a2−4a=9−16a. Умова 9−16a>0 дає a<169. З урахуванням a=−1: a∈(−∞;−1)∪(−1;169).
