Завдання 4.16, 4. Нерівності з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 4.16

Нерівності з дробами

Серед нерівностей укажіть ту, розв’язком якої є будь-яке число, і ту, що не має розв’язків: 1) $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} ⩾ 0$ ; 2) $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} < 1$ ; 3) $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} ⩾ 1$ ; 4) $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} ⩾ 0$ .

Розв’язання

1) Дріб має зміст лише при $x \neq = 0$ ; тоді він додатний. Розв’язки — усі числа, крім $0$ .
2) $x^{2} + 1 > 0$ при всіх $x$ , тому дріб дорівнює $1$ , а $1 < 1$ — хибно. Розв’язків немає.
3) При $x = \pm 1$ знаменник дорівнює нулю; при інших $x$ дріб дорівнює $1$ і $1 ⩾ 1$ — правильно. Розв’язки — усі числа, крім $- 1$ і $1$ .
4) $x^{2} ⩾ 0$ і $x^{2} + 1 > 0$ , тому $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} ⩾ 0$ при будь-якому $x$ . Розв’язок — будь-яке число.

Відповідь:

Будь-яке число є розв’язком нерівності 4); не має розв’язків нерівність 2).

Розбір зрозумілий?

4. Нерівності з однією змінною Завдання 4.16 с. 34

Нерівності з дробами

Умова

Що треба знати

При будь-якому $x$ : $x^{2} ⩾ 0$ і $∣ x ∣ ⩾ 0$ , причому нулю вони дорівнюють лише при $x = 0$ ; $x$ має зміст лише при $x ⩾ 0$ і $x ⩾ 0$ . Дріб має зміст, лише коли його знаменник не дорівнює нулю.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спершу з’ясуй, коли знаменник дорівнює нулю, а потім — чому дорівнює або який знак має дріб.

Розв’язання крок за кроком

1) Дріб має зміст лише при $x \neq = 0$ ; тоді він додатний. Розв’язки — усі числа, крім $0$ .
2) $x^{2} + 1 > 0$ при всіх $x$ , тому дріб дорівнює $1$ , а $1 < 1$ — хибно. Розв’язків немає.
3) При $x = \pm 1$ знаменник дорівнює нулю; при інших $x$ дріб дорівнює $1$ і $1 ⩾ 1$ — правильно. Розв’язки — усі числа, крім $- 1$ і $1$ .
4) $x^{2} ⩾ 0$ і $x^{2} + 1 > 0$ , тому $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} ⩾ 0$ при будь-якому $x$ . Розв’язок — будь-яке число.

Відповідь:

Будь-яке число є розв’язком нерівності 4); не має розв’язків нерівність 2).

Розбір зрозумілий?