Завдання 3.25, 3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.25

Чи завжди правильна нерівність

Нехай $b > 0$ і $a > b$ . Чи завжди правильна нерівність: 1) $a^{2} + a > b^{2} + b$ ; 2) $a^{2} - a > b^{2} - b$ ; 3) $2 - a^{2} < 2 - b^{2}$ ; 4) $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ ?

Розв’язання

1) $a > b > 0$ , тож $a^{2} > b^{2}$ . Додаємо почленно $a^{2} > b^{2}$ і $a > b$ : $a^{2} + a > b^{2} + b$ — правильна завжди.
2) Не завжди: $(a^{2} - a) - (b^{2} - b) = (a - b) (a + b - 1)$ , і при $a + b < 1$ ця різниця від’ємна. Наприклад, $a = 0, 6$ , $b = 0, 2$ : $a^{2} - a = - 0, 24$ , $b^{2} - b = - 0, 16$ , а $- 0, 24 < - 0, 16$ .
3) $a^{2} > b^{2}$ , тоді $- a^{2} < - b^{2}$ і $2 - a^{2} < 2 - b^{2}$ — правильна завжди.
4) Не завжди: $(a + \frac{1}{a}) - (b + \frac{1}{b}) = (a - b) - \frac{a - b}{ab} = \frac{( a - b ) ( ab - 1 )}{ab}$ , і при $ab < 1$ ця різниця від’ємна. Наприклад, $a = 1$ , $b = 0, 5$ : $1 + 1 = 2$ , $0, 5 + 2 = 2, 5$ , а $2 < 2, 5$ .

Відповідь:

1) так; 2) ні (правильна лише при $a + b > 1$ ); 3) так; 4) ні (правильна лише при $ab > 1$ ).

Розбір зрозумілий?

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу Завдання 3.25 с. 27

Чи завжди правильна нерівність

Умова

Що треба знати

Нерівності однакового знака можна почленно додавати: з $a > b$ і $c > d$ випливає $a + c > b + d$ . Якщо до того ж усі числа $a$ , $b$ , $c$ , $d$ додатні, то їх можна почленно перемножити: $a c > b d$ ; зокрема, при $a > b > 0$ маємо $a^{n} > b^{n}$ . Щоб оцінити вираз, спочатку оцінюють кожен доданок чи множник, різницю записують як суму з протилежним числом, а частку — як добуток на обернене число.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Правильну нерівність виведи з $a^{2} > b^{2}$ , а для неправильної досить одного контрприкладу.

Розв’язання крок за кроком

1) $a > b > 0$ , тож $a^{2} > b^{2}$ . Додаємо почленно $a^{2} > b^{2}$ і $a > b$ : $a^{2} + a > b^{2} + b$ — правильна завжди.
2) Не завжди: $(a^{2} - a) - (b^{2} - b) = (a - b) (a + b - 1)$ , і при $a + b < 1$ ця різниця від’ємна. Наприклад, $a = 0, 6$ , $b = 0, 2$ : $a^{2} - a = - 0, 24$ , $b^{2} - b = - 0, 16$ , а $- 0, 24 < - 0, 16$ .
3) $a^{2} > b^{2}$ , тоді $- a^{2} < - b^{2}$ і $2 - a^{2} < 2 - b^{2}$ — правильна завжди.
4) Не завжди: $(a + \frac{1}{a}) - (b + \frac{1}{b}) = (a - b) - \frac{a - b}{ab} = \frac{( a - b ) ( ab - 1 )}{ab}$ , і при $ab < 1$ ця різниця від’ємна. Наприклад, $a = 1$ , $b = 0, 5$ : $1 + 1 = 2$ , $0, 5 + 2 = 2, 5$ , а $2 < 2, 5$ .

Відповідь:

1) так; 2) ні (правильна лише при $a + b > 1$ ); 3) так; 4) ні (правильна лише при $ab > 1$ ).

Розбір зрозумілий?