Завдання 3.23, 3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.23

Нерівності з квадратами

Доведіть: 1) з $a < b < 0$ випливає $a^{2} > b^{2}$ ; 2) з $a > 0$ , $b > 0$ і $a^{2} > b^{2}$ випливає $a > b$ .

Розв’язання

1) Множимо $a < b < 0$ на $- 1$ : $- a > - b > 0$ . Числа $- a$ і $- b$ додатні, тому $(- a)^{2} > (- b)^{2}$ , тобто $a^{2} > b^{2}$ .
2) $a^{2} - b^{2} > 0$ , тобто $(a - b) (a + b) > 0$ . Оскільки $a > 0$ і $b > 0$ , то $a + b > 0$ . Добуток додатний і множник $a + b$ додатний, отже, $a - b > 0$ , тобто $a > b$ .

Відповідь:

Обидва твердження доведено.

Розбір зрозумілий?

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу Завдання 3.23 с. 27

Нерівності з квадратами

Умова

Доведіть: 1) з $a < b < 0$ випливає $a^{2} > b^{2}$ ; 2) з $a > 0$ , $b > 0$ і $a^{2} > b^{2}$ випливає $a > b$ .

Що треба знати

Нерівності однакового знака можна почленно додавати: з $a > b$ і $c > d$ випливає $a + c > b + d$ . Якщо до того ж усі числа $a$ , $b$ , $c$ , $d$ додатні, то їх можна почленно перемножити: $a c > b d$ ; зокрема, при $a > b > 0$ маємо $a^{n} > b^{n}$ . Щоб оцінити вираз, спочатку оцінюють кожен доданок чи множник, різницю записують як суму з протилежним числом, а частку — як добуток на обернене число.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У 1) перейди до протилежних (додатних) чисел, у 2) розклади різницю квадратів на множники.

Розв’язання крок за кроком

1) Множимо $a < b < 0$ на $- 1$ : $- a > - b > 0$ . Числа $- a$ і $- b$ додатні, тому $(- a)^{2} > (- b)^{2}$ , тобто $a^{2} > b^{2}$ .
2) $a^{2} - b^{2} > 0$ , тобто $(a - b) (a + b) > 0$ . Оскільки $a > 0$ і $b > 0$ , то $a + b > 0$ . Добуток додатний і множник $a + b$ додатний, отже, $a - b > 0$ , тобто $a > b$ .

Відповідь:

Обидва твердження доведено.

Розбір зрозумілий?