Завдання 3.22, 3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.22

Протилежні сторони і діагоналі

Опуклий чотирикутник: доведіть, що дві його протилежні сторони разом коротші, ніж обидві діагоналі разом.

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — опуклий чотирикутник, $O$ — точка перетину діагоналей; вона лежить усередині $A C$ і $B D$ , тому $A O + O C = A C$ , $B O + O D = B D$ .
З $△ A O B$ : $A B < A O + O B$ ; з $△ C O D$ : $C D < C O + O D$ .
Додаємо почленно: $A B + C D < (A O + O C) + (B O + O D) = A C + B D$ .
Для другої пари протилежних сторін так само з $△ B O C$ і $△ A O D$ : $B C + A D < (B O + O D) + (C O + O A) = A C + B D$ .

Відповідь:

Доведено: $A B + C D < A C + B D$ і $B C + A D < A C + B D$ .

Розбір зрозумілий?

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу Завдання 3.22 с. 27

Протилежні сторони і діагоналі

Умова

Опуклий чотирикутник: доведіть, що дві його протилежні сторони разом коротші, ніж обидві діагоналі разом.

Що треба знати

Нерівність трикутника: кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються в точці, яка лежить усередині кожної з них. Нерівності однакового знака можна почленно додавати.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь точку перетину діагоналей і два трикутники, що прилягають до протилежних сторін.

Розв’язання крок за кроком

Нехай $A B C D$ — опуклий чотирикутник, $O$ — точка перетину діагоналей; вона лежить усередині $A C$ і $B D$ , тому $A O + O C = A C$ , $B O + O D = B D$ .
З $△ A O B$ : $A B < A O + O B$ ; з $△ C O D$ : $C D < C O + O D$ .
Додаємо почленно: $A B + C D < (A O + O C) + (B O + O D) = A C + B D$ .
Для другої пари протилежних сторін так само з $△ B O C$ і $△ A O D$ : $B C + A D < (B O + O D) + (C O + O A) = A C + B D$ .

Відповідь:

Доведено: $A B + C D < A C + B D$ і $B C + A D < A C + B D$ .

Розбір зрозумілий?