Завдання 3.21, 3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.21

Діагональ і півпериметр

Опуклий чотирикутник: доведіть, що будь-яка з його діагоналей коротша за половину периметра.

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — опуклий чотирикутник, $P = A B + B C + C D + D A$ .
Діагональ $A C$ : з $△ A B C$ маємо $A C < A B + B C$ , з $△ A C D$ маємо $A C < C D + D A$ . Додаємо почленно: $2 A C < P$ , тобто $A C < \frac{P}{2}$ .
Діагональ $B D$ : з $△ A B D$ маємо $B D < A B + D A$ , з $△ B C D$ маємо $B D < B C + C D$ . Додаємо почленно: $2 B D < P$ , тобто $B D < \frac{P}{2}$ .

Відповідь:

Доведено: $A C < \frac{P}{2}$ і $B D < \frac{P}{2}$ .

Розбір зрозумілий?

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу Завдання 3.21 с. 27

Діагональ і півпериметр

Умова

Опуклий чотирикутник: доведіть, що будь-яка з його діагоналей коротша за половину периметра.

Що треба знати

Нерівність трикутника: кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються в точці, яка лежить усередині кожної з них. Нерівності однакового знака можна почленно додавати.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Діагональ є стороною двох трикутників — порівняй її із сумою двох інших сторін у кожному з них.

Розв’язання крок за кроком

Нехай $A B C D$ — опуклий чотирикутник, $P = A B + B C + C D + D A$ .
Діагональ $A C$ : з $△ A B C$ маємо $A C < A B + B C$ , з $△ A C D$ маємо $A C < C D + D A$ . Додаємо почленно: $2 A C < P$ , тобто $A C < \frac{P}{2}$ .
Діагональ $B D$ : з $△ A B D$ маємо $B D < A B + D A$ , з $△ B C D$ маємо $B D < B C + C D$ . Додаємо почленно: $2 B D < P$ , тобто $B D < \frac{P}{2}$ .

Відповідь:

Доведено: $A C < \frac{P}{2}$ і $B D < \frac{P}{2}$ .

Розбір зрозумілий?