Завдання 3.20, 3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.20

Периметр і діагоналі

Покажіть, що сума всіх сторін чотирикутника (його периметр $P$ ) більша, ніж сума двох його діагоналей.

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — чотирикутник, $A C$ і $B D$ — його діагоналі, $P = A B + B C + C D + D A$ (рисунок: чотирикутник із проведеними діагоналями). Три сусідні вершини чотирикутника не лежать на одній прямій, тому нерівності трикутника нижче строгі.
З $△ A B C$ : $A B + B C > A C$ ; з $△ A C D$ : $C D + D A > A C$ .
З $△ A B D$ : $A B + D A > B D$ ; з $△ B C D$ : $B C + C D > B D$ .
Додаємо почленно чотири нерівності: $2 (A B + B C + C D + D A) > 2 (A C + B D)$ , тобто $2 P > 2 (A C + B D)$ .
Отже, $P > A C + B D$ , що й треба було довести.

Відповідь:

Доведено: $P > A C + B D$ .

Розбір зрозумілий?

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу Завдання 3.20 с. 27

Периметр і діагоналі

Умова

Покажіть, що сума всіх сторін чотирикутника (його периметр $P$ ) більша, ніж сума двох його діагоналей.

Що треба знати

Нерівність трикутника: кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються в точці, яка лежить усередині кожної з них. Нерівності однакового знака можна почленно додавати.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Кожна діагональ ділить чотирикутник на два трикутники — запиши для них нерівність трикутника.

Розв’язання крок за кроком

Нехай $A B C D$ — чотирикутник, $A C$ і $B D$ — його діагоналі, $P = A B + B C + C D + D A$ (рисунок: чотирикутник із проведеними діагоналями). Три сусідні вершини чотирикутника не лежать на одній прямій, тому нерівності трикутника нижче строгі.
З $△ A B C$ : $A B + B C > A C$ ; з $△ A C D$ : $C D + D A > A C$ .
З $△ A B D$ : $A B + D A > B D$ ; з $△ B C D$ : $B C + C D > B D$ .
Додаємо почленно чотири нерівності: $2 (A B + B C + C D + D A) > 2 (A C + B D)$ , тобто $2 P > 2 (A C + B D)$ .
Отже, $P > A C + B D$ , що й треба було довести.

Відповідь:

Доведено: $P > A C + B D$ .

Розбір зрозумілий?