Завдання 24.62, 24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 24.62

Системи рівнянь (складніші)

Розв’яжіть: 1) $x^{2} + y^{2} = 5$ , $x y = 2$ ; 2) $x y + x + y = 11$ , $x y (x + y) = 30$ ; 3) $x + x y + y = 5$ , $x - x y + y = 1$ ; 4) $x - y = 2$ , $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}$ ; 5) $x^{2} + 2 x y + y^{2} = 25$ , $x^{2} - 3 x y = 4$ ; 6) $2 x^{2} - y^{2} = 14$ , $x y = - 6$ ; 7) $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{10}$ , $x y = 50$ ; 8) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15}$ , $x^{2} - y^{2} = 16$ ; 9) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}$ , $x^{2} + y^{2} = 25$ ; 10) $x^{2} + 2 x y = 5$ , $y^{2} - 4 x y = - 4$ .

Розв’язання

1) $(x + y)^{2} = 9$ , $x + y = \pm 3$ , $x y = 2$ : $(1; 2)$ , $(2; 1)$ , $(- 1; - 2)$ , $(- 2; - 1)$ .
2) $p + s = 11$ , $p s = 30$ : ${p, s} = {5, 6}$ . $s = 6$ , $p = 5$ : $(1; 5)$ , $(5; 1)$ ; $s = 5$ , $p = 6$ : $(2; 3)$ , $(3; 2)$ .
3) Додаємо: $2 (x + y) = 6$ ; віднімаємо: $2 x y = 4$ . $s = 3$ , $p = 2$ : $(1; 2)$ , $(2; 1)$ .
4) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} = \frac{2 ( x + y )}{x y} = \frac{5}{6}$ , $x = y + 2$ : $5 y^{2} - 14 y - 24 = 0$ , $y = 4$ або $- 1, 2$ : $(6; 4)$ , $(0, 8; - 1, 2)$ .
5) $x + y = \pm 5$ . При $y = 5 - x$ : $4 x^{2} - 15 x - 4 = 0$ , $x = 4$ або $- \frac{1}{4}$ ; при $y = - 5 - x$ : $4 x^{2} + 15 x - 4 = 0$ , $x = - 4$ або $\frac{1}{4}$ . Розв’язки: $(4; 1)$ , $(- 0, 25; 5, 25)$ , $(- 4; - 1)$ , $(0, 25; - 5, 25)$ .
6) $y = - \frac{6}{x}$ : $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ , $x^{2} = 9$ : $(3; - 2)$ , $(- 3; 2)$ .
7) $\frac{y - x}{x y} = \frac{1}{10}$ , $y - x = 5$ ; $x (x + 5) = 50$ : $(5; 10)$ , $(- 10; - 5)$ .
8) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} = \frac{16}{15}$ , звідси $x y = 15$ ; $x^{4} - 16 x^{2} - 225 = 0$ , $x^{2} = 25$ : $(5; 3)$ , $(- 5; - 3)$ .
9) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y} = \frac{25}{12}$ , $x y = 12$ ; $(x + y)^{2} = 49$ , $(x - y)^{2} = 1$ : $(4; 3)$ , $(3; 4)$ , $(- 4; - 3)$ , $(- 3; - 4)$ .
10) $4 (x^{2} + 2 x y) + 5 (y^{2} - 4 x y) = 0$ : $4 x^{2} - 12 x y + 5 y^{2} = (2 x - y) (2 x - 5 y) = 0$ . $y = 2 x$ : $5 x^{2} = 5$ — $(1; 2)$ , $(- 1; - 2)$ ; $x = \frac{5 y}{2}$ : $\frac{45 y ^{2}}{4} = 5$ — $(\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ , $(- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3})$ .

Відповідь:

Див. розв’язки кожної системи в кроках (усі перевірено підстановкою).

Розбір зрозумілий?

24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу Завдання 24.62 с. 252

Системи рівнянь (складніші)

Умова

Що треба знати

Системи з двома змінними розв’язують підстановкою (з лінійного рівняння виражаємо одну змінну), додаванням/відніманням рівнянь або заміною $s = x + y$ , $p = x y$ : тоді $x$ і $y$ — корені рівняння $t^{2} - s t + p = 0$ . Корисні тотожності: $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ , $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У 2), 3) — заміна s = x + y, p = xy; у 8), 9) з першого рівняння знайди xy; у 10) помнож перше на 4, друге на 5 і додай.

Розв’язання крок за кроком

1) $(x + y)^{2} = 9$ , $x + y = \pm 3$ , $x y = 2$ : $(1; 2)$ , $(2; 1)$ , $(- 1; - 2)$ , $(- 2; - 1)$ .
2) $p + s = 11$ , $p s = 30$ : ${p, s} = {5, 6}$ . $s = 6$ , $p = 5$ : $(1; 5)$ , $(5; 1)$ ; $s = 5$ , $p = 6$ : $(2; 3)$ , $(3; 2)$ .
3) Додаємо: $2 (x + y) = 6$ ; віднімаємо: $2 x y = 4$ . $s = 3$ , $p = 2$ : $(1; 2)$ , $(2; 1)$ .
4) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} = \frac{2 ( x + y )}{x y} = \frac{5}{6}$ , $x = y + 2$ : $5 y^{2} - 14 y - 24 = 0$ , $y = 4$ або $- 1, 2$ : $(6; 4)$ , $(0, 8; - 1, 2)$ .
5) $x + y = \pm 5$ . При $y = 5 - x$ : $4 x^{2} - 15 x - 4 = 0$ , $x = 4$ або $- \frac{1}{4}$ ; при $y = - 5 - x$ : $4 x^{2} + 15 x - 4 = 0$ , $x = - 4$ або $\frac{1}{4}$ . Розв’язки: $(4; 1)$ , $(- 0, 25; 5, 25)$ , $(- 4; - 1)$ , $(0, 25; - 5, 25)$ .
6) $y = - \frac{6}{x}$ : $x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$ , $x^{2} = 9$ : $(3; - 2)$ , $(- 3; 2)$ .
7) $\frac{y - x}{x y} = \frac{1}{10}$ , $y - x = 5$ ; $x (x + 5) = 50$ : $(5; 10)$ , $(- 10; - 5)$ .
8) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} = \frac{16}{15}$ , звідси $x y = 15$ ; $x^{4} - 16 x^{2} - 225 = 0$ , $x^{2} = 25$ : $(5; 3)$ , $(- 5; - 3)$ .
9) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y} = \frac{25}{12}$ , $x y = 12$ ; $(x + y)^{2} = 49$ , $(x - y)^{2} = 1$ : $(4; 3)$ , $(3; 4)$ , $(- 4; - 3)$ , $(- 3; - 4)$ .
10) $4 (x^{2} + 2 x y) + 5 (y^{2} - 4 x y) = 0$ : $4 x^{2} - 12 x y + 5 y^{2} = (2 x - y) (2 x - 5 y) = 0$ . $y = 2 x$ : $5 x^{2} = 5$ — $(1; 2)$ , $(- 1; - 2)$ ; $x = \frac{5 y}{2}$ : $\frac{45 y ^{2}}{4} = 5$ — $(\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ , $(- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3})$ .

Відповідь:

Див. розв’язки кожної системи в кроках (усі перевірено підстановкою).

Розбір зрозумілий?