Завдання 24.61, 24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 24.61

Системи рівнянь (10 пунктів)

Розв’яжіть систему: 1) $x - 4 y = - 6$ , $x^{2} + 4 y^{2} = 8$ ; 2) $3 x + y = - 2$ , $3 x^{2} - 2 x y = 28$ ; 3) $x + 2 y = 13$ , $x y = 15$ ; 4) $3 x - 2 y = 18$ , $x y = - 12$ ; 5) $x^{2} - y^{2} = 21$ , $x + y = - 3$ ; 6) $x^{2} - x y + y^{2} = 7$ , $x - y = 1$ ; 7) $(x - 1) (y - 1) = - 2$ , $x + y = 1$ ; 8) $(x - 2) (y + 1) = 1$ , $x - y = 3$ ; 9) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}$ , $x + y = 12$ ; 10) $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}$ , $y - x = 4$ .

Розв’язання

1) $x = 4 y - 6$ : $20 y^{2} - 48 y + 28 = 0$ , $5 y^{2} - 12 y + 7 = 0$ , $y = 1$ або $1, 4$ : $(- 2; 1)$ , $(- 0, 4; 1, 4)$ .
2) $y = - 2 - 3 x$ : $9 x^{2} + 4 x - 28 = 0$ , $x = - 2$ або $\frac{14}{9}$ : $(- 2; 4)$ , $(\frac{14}{9}; - \frac{20}{3})$ .
3) $x = 13 - 2 y$ : $2 y^{2} - 13 y + 15 = 0$ , $y = 5$ або $1, 5$ : $(3; 5)$ , $(10; 1, 5)$ .
4) $y = \frac{3 x - 18}{2}$ : $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ , $x = 2$ або $4$ : $(2; - 6)$ , $(4; - 3)$ .
5) $(x - y) (x + y) = 21$ , тож $x - y = - 7$ ; з $x + y = - 3$ : $(- 5; 2)$ .
6) $x = y + 1$ : $y^{2} + y - 6 = 0$ , $y = 2$ або $- 3$ : $(3; 2)$ , $(- 2; - 3)$ .
7) $u = x - 1$ , $v = y - 1$ : $u + v = - 1$ , $uv = - 2$ , ${u, v} = {1, - 2}$ : $(2; - 1)$ , $(- 1; 2)$ .
8) $u = x - 2$ , $v = y + 1$ : $u - v = 0$ , $uv = 1$ , $u = v = \pm 1$ : $(3; 0)$ , $(1; - 2)$ .
9) $\frac{x + y}{x y} = \frac{3}{8}$ , $x y = 32$ ; $t^{2} - 12 t + 32 = 0$ : $(4; 8)$ , $(8; 4)$ .
10) $\frac{y - x}{x y} = \frac{4}{5}$ , $x y = 5$ ; $x (x + 4) = 5$ , $x = 1$ або $- 5$ : $(1; 5)$ , $(- 5; - 1)$ .

Відповідь:

1) $(- 2; 1)$ , $(- 0, 4; 1, 4)$ ; 2) $(- 2; 4)$ , $(\frac{14}{9}; - \frac{20}{3})$ ; 3) $(3; 5)$ , $(10; 1, 5)$ ; 4) $(2; - 6)$ , $(4; - 3)$ ; 5) $(- 5; 2)$ ; 6) $(3; 2)$ , $(- 2; - 3)$ ; 7) $(2; - 1)$ , $(- 1; 2)$ ; 8) $(3; 0)$ , $(1; - 2)$ ; 9) $(4; 8)$ , $(8; 4)$ ; 10) $(1; 5)$ , $(- 5; - 1)$ .

Розбір зрозумілий?

24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу Завдання 24.61 с. 251

Системи рівнянь (10 пунктів)

Умова

Що треба знати

Системи з двома змінними розв’язують підстановкою (з лінійного рівняння виражаємо одну змінну), додаванням/відніманням рівнянь або заміною $s = x + y$ , $p = x y$ : тоді $x$ і $y$ — корені рівняння $t^{2} - s t + p = 0$ . Корисні тотожності: $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ , $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У 1)–4), 6) — підстановка; у 5) — різниця квадратів; у 7)–8) — заміна u = x − 1 тощо; у 9)–10) зведи дроби до спільного знаменника.

Розв’язання крок за кроком

1) $x = 4 y - 6$ : $20 y^{2} - 48 y + 28 = 0$ , $5 y^{2} - 12 y + 7 = 0$ , $y = 1$ або $1, 4$ : $(- 2; 1)$ , $(- 0, 4; 1, 4)$ .
2) $y = - 2 - 3 x$ : $9 x^{2} + 4 x - 28 = 0$ , $x = - 2$ або $\frac{14}{9}$ : $(- 2; 4)$ , $(\frac{14}{9}; - \frac{20}{3})$ .
3) $x = 13 - 2 y$ : $2 y^{2} - 13 y + 15 = 0$ , $y = 5$ або $1, 5$ : $(3; 5)$ , $(10; 1, 5)$ .
4) $y = \frac{3 x - 18}{2}$ : $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ , $x = 2$ або $4$ : $(2; - 6)$ , $(4; - 3)$ .
5) $(x - y) (x + y) = 21$ , тож $x - y = - 7$ ; з $x + y = - 3$ : $(- 5; 2)$ .
6) $x = y + 1$ : $y^{2} + y - 6 = 0$ , $y = 2$ або $- 3$ : $(3; 2)$ , $(- 2; - 3)$ .
7) $u = x - 1$ , $v = y - 1$ : $u + v = - 1$ , $uv = - 2$ , ${u, v} = {1, - 2}$ : $(2; - 1)$ , $(- 1; 2)$ .
8) $u = x - 2$ , $v = y + 1$ : $u - v = 0$ , $uv = 1$ , $u = v = \pm 1$ : $(3; 0)$ , $(1; - 2)$ .
9) $\frac{x + y}{x y} = \frac{3}{8}$ , $x y = 32$ ; $t^{2} - 12 t + 32 = 0$ : $(4; 8)$ , $(8; 4)$ .
10) $\frac{y - x}{x y} = \frac{4}{5}$ , $x y = 5$ ; $x (x + 4) = 5$ , $x = 1$ або $- 5$ : $(1; 5)$ , $(- 5; - 1)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?