Завдання 24.58, 24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 24.58

Два різні корені з параметром

При яких $a$ рівняння має два різні корені: 1) $2 x^{2} + a x + a - 2 = 0$ ; 2) $(2 a - 1) x^{2} + (a - 3) x + 1 = 0$ ; 3) $a x^{2} - (3 a + 1) x + a = 0$ ?

Розв’язання

1) $D = a^{2} - 8 a + 16 = (a - 4)^{2} > 0 ⟺ a \neq = 4$ .
2) Потрібно $a \neq = \frac{1}{2}$ і $D = (a - 3)^{2} - 4 (2 a - 1) = a^{2} - 14 a + 13 = (a - 1) (a - 13) > 0$ : $a < 1$ або $a > 13$ . Відповідь: $(- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \cup (13; + \infty)$ .
3) Потрібно $a \neq = 0$ і $D = (3 a + 1)^{2} - 4 a^{2} = 5 a^{2} + 6 a + 1 = (5 a + 1) (a + 1) > 0$ : $a < - 1$ або $a > - \frac{1}{5}$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- \frac{1}{5}; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $a \neq = 4$ ; 2) $(- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \cup (13; + \infty)$ ; 3) $(- \infty; - 1) \cup (- \frac{1}{5}; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу Завдання 24.58 с. 251

Два різні корені з параметром

Умова

При яких $a$ рівняння має два різні корені: 1) $2 x^{2} + a x + a - 2 = 0$ ; 2) $(2 a - 1) x^{2} + (a - 3) x + 1 = 0$ ; 3) $a x^{2} - (3 a + 1) x + a = 0$ ?

Що треба знати

Для $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ): $D = b^{2} - 4 a c$ ; два різні корені при $D > 0$ . Теорема Вієта: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Якщо старший коефіцієнт залежить від параметра, окремо розглядаємо випадок, коли він дорівнює нулю.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У 2) і 3) спочатку виключи значення a, при яких рівняння стає лінійним.

Розв’язання крок за кроком

1) $D = a^{2} - 8 a + 16 = (a - 4)^{2} > 0 ⟺ a \neq = 4$ .
2) Потрібно $a \neq = \frac{1}{2}$ і $D = (a - 3)^{2} - 4 (2 a - 1) = a^{2} - 14 a + 13 = (a - 1) (a - 13) > 0$ : $a < 1$ або $a > 13$ . Відповідь: $(- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \cup (13; + \infty)$ .
3) Потрібно $a \neq = 0$ і $D = (3 a + 1)^{2} - 4 a^{2} = 5 a^{2} + 6 a + 1 = (5 a + 1) (a + 1) > 0$ : $a < - 1$ або $a > - \frac{1}{5}$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- \frac{1}{5}; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $a \neq = 4$ ; 2) $(- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \cup (13; + \infty)$ ; 3) $(- \infty; - 1) \cup (- \frac{1}{5}; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?