На площині 100 точок, і через будь-які чотири з них проходить графік деякої квадратичної функції. Доведіть, що всі 100 точок лежать на графіку однієї квадратичної функції.
Розв’язання
Будь-які дві точки входять у деяку четвірку, що лежить на графіку функції, тому їхні абсциси різні.
Зафіксуємо три точки A, B, C. Візьмемо будь-яку іншу точку D. За умовою A, B, C, D лежать на графіку деякої квадратичної функції fD.
Але через A, B, C проходить лише одна така парабола (див. теорію), тому всі fD — це одна й та сама функція f.
Отже, кожна точка D лежить на графіку f, тобто всі 100 точок належать графіку однієї квадратичної функції.
Відповідь:
Доведено.
Розбір зрозумілий?
19. Сума n перших членів геометричної прогресіїЗавдання 19.26с. 183
100 точок на одній параболі
Умова
На площині 100 точок, і через будь-які чотири з них проходить графік деякої квадратичної функції. Доведіть, що всі 100 точок лежать на графіку однієї квадратичної функції.
Що треба знати
Через три точки з різними абсцисами проходить не більше одного графіка функції виду y=ax2+bx+c: якщо два таких многочлени збігаються в трьох точках, їхня різниця — многочлен степеня не вище 2 з трьома коренями, тобто тотожний нуль.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Зафіксуй три точки й покажи, що будь-яка четверта лежить на тій самій параболі.
Розв’язання крок за кроком
Будь-які дві точки входять у деяку четвірку, що лежить на графіку функції, тому їхні абсциси різні.
Зафіксуємо три точки A, B, C. Візьмемо будь-яку іншу точку D. За умовою A, B, C, D лежать на графіку деякої квадратичної функції fD.
Але через A, B, C проходить лише одна така парабола (див. теорію), тому всі fD — це одна й та сама функція f.
Отже, кожна точка D лежить на графіку f, тобто всі 100 точок належать графіку однієї квадратичної функції.
